/2.1圓【推本溯源】1.在小學的時候我們有接觸過圓，可以說一下與圓有關的概念嘛？2.在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做，固定的端點O叫做，線段OA叫做.以點O為圓心的圓，記作“”，讀作“”圓的兩大要素：確定圓的位置——；確定圓的大小——。圓的集合性定義：在平面內，圓是到的距離等于的點的集合。比如：OA=2，O是定點，A是動點，因此點A的軌跡是以O為圓心半徑為2的圓。與三角形的關系：圓上任意兩點與圓心構成得到三角形都是。3.點與圓的位置關系點與圓的位置關系特點性質及判定圖示點在圓內點在圓上點在圓外注：“”讀作“等價于”，它表示從左端可以推出右端，從右端也可以推出左端；點在圓上是指點在圓周上，而不是點在圓面上。4.與圓有關的概念（1）弦弦：叫做弦（如圖AB）.直徑：叫做直徑（如圖CD）.弦心距：叫做弦心距（如圖OE）.

直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.為什么直徑是圓中最長的弦？如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O中任意一條弦，求證：AB≥CD.

證明：連結OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(當且僅當CD過圓心O時，取“=”號)

∴直徑AB是⊙O中最長的弦.

（2）弧

弧：叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.

半圓：叫做半圓（如圖弧CD）；

優弧：叫做優弧（如圖弧ADB）；

劣弧：叫做劣弧（如圖弧ACB）.

注：①；②.

（3）等弧

叫做等弧.

注：①等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視；②圓中兩平行弦所夾的弧相等.（4）同心圓與等圓

叫做同心圓.

能夠互相重合的兩個圓叫做等圓.因此，半徑相等兩個圓是等圓。注：.（5）圓心角叫做圓心角（如圖∠AOB）.【解惑】例1：如圖，在中，，，的中點為O．求證：A，B，C，D四點在以O為圓心的圓上．

例2：如果的半徑為，點到圓心的距離為，則點和的位置關系是（

）A．點在內 B．點在上 C．點在外 D．不能確定例3：如圖，矩形中，，，以A為圓心，r為半徑作，使得點D在圓內，點C在圓外，則半徑r的取值范圍是________．

例4：（1）圖①中有___________條弧，分別為___________；（2）寫出圖②中的一個半圓___________；劣弧：___________；優弧：___________．例5：下列圖形中的角是圓心角的是（

）

B．

C．

D．

【摩拳擦掌】1.（2023·廣東肇慶·校考一模）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A．等邊三角形 B．平行四邊形 C．圓 D．等腰三角形2．（2023·江蘇連云港·統考中考真題）如圖，甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過圓心O的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，下列敘述正確的是（

）A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形3．（2023·江蘇·九年級假期作業）已知的半徑為，若，那么點與的位置關系是（）A．點P在圓內 B．點P在圓上 C．點P在圓外 D．都有可能4．（2022秋·浙江臺州·九年級校考階段練習）已知直徑為6，線段的長度為2，則點P與的位置關系是（）A．點P在內 B．點P在上 C．點P在外 D．無法確定5．（2023春·全國·九年級專題練習）已知的半徑為1cm，點O與點P之間的距離，則點P在_____．（填“圓內”、“圓上”或“圓外”）6．（2023·上海普陀·統考二模）已知矩形，，，以點為圓心，為半徑畫圓，那么點的位置是在______．7．（2022秋·九年級單元測試）已知的半徑為，，則點與的位置關系是：點在________．8．（2022秋·九年級單元測試）如果外一點到上所有點的距離中，最大距離是，最小距離是，那么的半徑長等于_______．9．（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，線段過圓心O，點A，B，C，D均在上，請指出哪些是直徑、半徑、弦，并把它們表示出來．10．（2022秋·九年級單元測試）在直角坐標平面內，的半徑是5，圓心的坐標為，試判斷點與的位置關系．11．（2023·廣東揭陽·模擬預測）已知：如圖，、、是的三條半徑，，、分別為、的中點．求證：．【知不足】1．（2023·廣東廣州·統考一模）已知的半徑為5，當線段時，則點與的位置關系是（

）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內 D．不能確定2．（2023春·全國·九年級專題練習）已知點P在圓外，它到圓的最近距離是1cm，到圓的最遠距離是7cm，則圓的半徑為（）A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm3．（2023·上海長寧·統考二模）如圖，已知及其所在平面內的個點．如果半徑為，那么到圓心距離為的點可能是（

）A．點 B．點 C．點 D．點4．（2022秋·九年級單元測試）已知點到上所有點的距離中，最大距離為厘米，最小距離為厘米，那么的半徑長等于________厘米．5．（2023·湖南永州·校考三模）我們知道，兩點之間線段最短，因此，連接兩點間線段的長度叫做兩點間的距離；同理，連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，因此，直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．類似地，連接曲線外一點與曲線上各點的所有線段中，最短線段的長度，叫做點到曲線的距離．依此定義，如圖，在平面直角坐標系中，點到以原點為圓心，以1為半徑的圓的最短距離為__________．最長距離為__________．

6．（2022·廣東湛江·一模）已知，有一量角器如圖擺放，中心O在邊上，為刻度線，為刻度線，角的另一邊與量角器半圓交于C，D兩點，點C，D對應的刻度分別為，，則=_______．

7．（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，為的直徑，C是延長線上一點，點D在上，且，的延長線交于點E，若，試求的度數．8．（2023·安徽亳州·統考一模）如圖，在中，是邊上的中線，，．（1）當時，________；（2）當面積最大時，則________．9．（2022秋·九年級單元測試）如圖，已知、是的兩條弦，且，D是延長線上一點，連接并延長交于點E，連接并延長交于點F．求證：．

【一覽眾山小】1．（2023秋·九年級單元測試）的半徑為3，若點P在內，則的長可能為(

)A．2 B．3 C．4 D．以上都有可能2．（2022秋·九年級單元測試）圓的面積擴大為原來的4倍，則半徑（

）A．擴大為4倍 B．擴大為倍 C．不變 D．擴大為2倍3．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，在中，．以點A為圓心，r為半徑作圓，當點C在內且點B在外時，r的值可能是（）

A．3 B．4 C．5 D．64．（2022春·九年級單元測試）如圖，的半徑為2，圓心M的坐標為，點P是上的任意一點，，且與x軸分別交于A，B兩點，若點A，B關于原點O對稱，則的最小值為（）A．3 B．4 C．6 D．85．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學校考模擬預測）如圖，是的直徑，為的弦，且．若，則的度數為（

）．

A． B． C． D．6．（2022春·九年級單元測試）將一個含有角的三角板，按圖所示的方式擺放在半圓形紙片上，O為圓心，則_____度．

7．（2023·湖南湘西·統考模擬預測）如圖，與的邊相切，切點為．將繞點按順時針方向旋轉得到，使點落在上，邊交線段于點．若，則_________度．8．（2023·安徽安慶·校考一模）如圖，E是邊長為4的正方形的邊上的一個動點，F是以為直徑的半圓上的一個動點，連接，，則的最小值是___________．9．（2023·山東煙臺·統考中考真題）如圖，將一個量角器與一把無刻度直尺水平擺放，直尺的長邊與量角器的外弧分別交于點A，B，C，D，連接，則的度數為_______．

10．（2023·安徽合肥·合肥壽春中學校考一模）如圖，在中，直徑為，正方形的四個頂點分別在半徑、以及上，并且．(1)若，求的長度；(2)若半徑是5，求正方形的邊長．11．（2023秋·甘肅慶陽·九年級統考期末）如圖，在中，是的平分線，是上一點，以為半徑的經過點D，交于點E、G．(1)求證：．(2)若，求的長．12．（2023春·江西吉安·九年級江西省泰和中學校考階段練習）如圖，，，是上的點，且四邊形是平行四邊形，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中作出的中點．(2)在圖2中作出的中點．13．（2022·江蘇南京·統考中考真題）如圖，在中，，點、在上，，過、、三點作，連接并延長，交于點．(1)求證：；(2)若，，，求的半徑長．14．（2023·江蘇無錫·統考二模）如圖，在中，，點D、E在上，，過A，D，E三點作，連接并延長，交于點F．

(1)求證：；(2)若，求的半徑長．15．（2023·江蘇·九年級假期作業）已知：如圖，在正方形中，、分別是、的中點．(1)線段與有何關系．說明理由；(2)延長、交于點H，則B、D、G、H這四個點是否在同一個圓上．說明理由．

2.1圓教材知識總結教材知識總結圓的定義1.圓的描述概念如圖，在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑.以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．【點撥】

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.2.圓的集合概念圓心為O，半徑為r的圓是平面內到定點O的距離等于定長r的點的集合.

平面上的一個圓，把平面上的點分成三類：圓上的點，圓內的點和圓外的點.圓的內部可以看作是到圓心的距離小于半徑的的點的集合；圓的外部可以看成是到圓心的距離大于半徑的點的集合.【點撥】

①定點為圓心，定長為半徑；

②圓指的是圓周，而不是圓面；

③強調“在一個平面內”是非常必要的，事實上，在空間中，到定點的距離等于定長的點的集合是球面，一個閉合的曲面.點與圓的位置關系點和圓的位置關系有三種：點在圓內，點在圓上，點在圓外.若⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，那么：點P在圓內d＜r；點P在圓上d=r；點P在圓外d＞r.“”讀作“等價于”，它表示從左端可以推出右端，從右端也可以推出左端.與圓有關的概念1.弦弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦；直徑：經過圓心的弦叫做直徑。弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.

【點撥】直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.

2.弧

弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.

半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；優弧：大于半圓的弧叫做優弧；劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧.

【點撥】①半圓是弧，而弧不一定是半圓；②無特殊說明時，弧指的是劣弧.

3.等弧：在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.

【點撥】①等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視；②圓中兩平行弦所夾的弧相等.4.同心圓與等圓

圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓；圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓。5.圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.【點撥】在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，反之也成立.看例題，漲知識看例題，漲知識【例題1】已知兩點A、B和直線l，求作一圓，使之經過A、B兩點，且圓心在直線l上．【答案】見解析【分析】連接AB，作出AB的垂直平分線交直線l于O點，以O為圓心，OA為半徑作圓．【解析】解：連接AB，作線段AB的垂直平分線交直線于點O．以點O為圓心，AO為半徑作圓，則⊙O即為所求，【例題2】已知點P、Q，且PQ＝4cm，（1）畫出下列圖形：到點P的距離等于2cm的點的集合；到點Q的距離等于3cm的點的集合．（2）在所畫圖中，到點P的距離等于2cm，且到點Q的距離等于3cm的點有幾個？請在圖中將它們表示出來．【答案】(1)見解析；(2)見解析.【分析】根據圓的定義即可解決問題；【解析】解：（1）到點P的距離等于2cm的點的集合圖中⊙P；到點Q的距離等于3cm的點的集合圖中⊙Q．（2）到點P的距離等于2cm，且到點Q的距離等于3cm的點有2個，圖中C、D．【例題3】如圖，在ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，點D是AB的中點，若以點D為圓心，r為半徑作⊙D，使點B在⊙D內，點C在⊙D外，試求r的取值范圍．【答案】【分析】連接，過點作于點．過點作于點，顯然，解直角三角形求出，即可判斷．【解析】解：連接，過點作于點．過點作于點，∴，，，，，點是中點，即是中位線，，，，又∵，∴的取值范圍是．【例題4】如圖，、為中兩條直徑，點，在直徑上，且．求證：．【答案】見解析【分析】由于AB通過圓心O點，故OA=OB，再由對頂角相等，CE=DF推出OF=OE，從而證明，最后由對應邊相等得出．【解析】證明：∵，為中兩條直徑，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴．課后習題鞏固一下課后習題鞏固一下一、單選題1．已知的半徑為，點P在上，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據點在圓上，點到圓心的距離等于圓的半徑求解．【解析】解：∵⊙O的半徑為4cm，點P在⊙O上，∴OP＝4cm．故選：A．2．已知的半徑是4，點P到圓心O的距離為5，則點P在（

）A．的內部 B．的外部C．上或的內部 D．上或的外部【答案】B【分析】根據d、r判斷位置關系．【解析】∵的半徑是4，點P到圓心O的距離為5，∴PO＞r，∴點P在的外部，故選B．3．已知⊙O的直徑為10cm，則⊙O的弦不可能是（

）A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm【答案】D【分析】根據直徑是圓中最長的弦解答即可．【解析】解：∵⊙O的直徑為10cm，∴⊙O的弦不可能比10cm更長，故選：D．4．在平面內與點的距離為1cm的點的個數為（

）A．無數個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】根據在平面內到定點的距離等于定長的點組成的圖形為圓進行求解即可．【解析】解：∵在平面內與點的距離為1cm的點在以P為圓心，以1cm長為半徑的圓上，∴在平面內與點的距離為1cm的點的個數為無數個，故選：A．5．如圖，在中，，，．以點為圓心，為半徑作圓，當點在內且點在外時，的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先利用勾股定理可得，再根據“點在內且點在外”可得，由此即可得出答案．【解析】解：在中，，，，，點在內且點在外，，即，觀察四個選項可知，只有選項C符合，故選：C．6．如圖，是的直徑，弦，若，則的度數為（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】由OA=OC，得∠C=∠A=25°，再由三角形外角性質得∠AOD=50°，然后根據平行線的性質可求解．【解析】解：∵是的直徑，∴OA=OC，∴∠C=∠A=25°，∴∠AOD=∠C+∠A=50°，∵OADE，∴∠D=∠AOD=50°，故選：C．7．圖，菱形的三個頂點、、在上，則（

）．A．100° B．150° C．120° D．60°【答案】C【分析】連結OC，根據圓的半徑相等得出OA=OB=OC，根據菱形性質得出OA=AC=CB=OB=OC，可證△OAC和△OBC均為等邊三角形，得出∠ACO=∠BCO=60°即可．【解析】：連結OC，∵點、、在上，∴OA=OB=OC，又∵四邊形OACB為菱形，∴OA=AC=CB=OB=OC，∴△OAC和△OBC均為等邊三角形，∴∠ACO=∠BCO=60°，∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=120°．故選：C．8．如圖，已知、是的弦，，點C在弦上，連接CO并延長CO交于于點D，，則的度數是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】連接OA，根據圓的半徑相等證明∠OAB=∠B和∠OAD=∠D，得到答案．【解析】解：連接OA，∵OA=OB，∴∠OAB=∠B=30°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠D=20°，∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=50°，故選：C．二、填空題9．如圖，在Rt△ABC中，以點C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E，∠BCD＝40°，則∠A＝__．【答案】20°【分析】由圓的性質得CB＝CD，由等邊對等角得∠B＝∠CDB，利用三角形內角和定理求出∠B，再利用直角三角形兩個銳角互余即可求出∠A．【解析】解：∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB，∵∠B+∠CDB+∠BCD＝180°，∴∠B（180°－∠BCD）（180°－40°）＝70°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－∠B＝20°．故答案為20°．10．如圖，為⊙的直徑，過點的弦平行于半徑，若的度數是25°，則的度數為_____________．【答案】【分析】由，得出，由三角形的外角性質得出，再由平行線的性質即可得出的度數．【解析】解：∵，，∴，∴，∵，∴故答案為：．11．已知⊙O的半徑為6cm，當線段OA＝8cm時，點A和⊙O的位置關系是_________．【答案】點A在⊙O外【分析】根據點與圓