/7.6 銳角三角函數(shù)的應(yīng)用【推本溯源】1.銳角三角函數(shù)揭示了直角三角形的邊與角的關(guān)系，在許多實際問題中，我們可以根據(jù)其中的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系找出（或構(gòu)造出）一個直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識解決問題。2.在上一章做題過程中，其實我們已經(jīng)接觸了一點應(yīng)用，這邊再總結(jié)一下幾個經(jīng)典的應(yīng)用類型：坡度：；坡角:.

小試牛刀：如圖，河堤的堤高米，迎水坡的坡比是，則河堤底的寬度的長為（

）米 B．米 C．米 D．米（2）方位角：

小試牛刀：數(shù)學興趣小組為了實地測量兩岸互相平行的一段河的寬度，在河的南岸點處測得河的北岸點在其北偏東方向，然后向西走80米到達點，測得點在點的北偏東方向，求河寬．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，，，，）

（3）仰角與俯角：

小試牛刀：如圖，熱氣球在A處測得一棟樓的樓頂端B的仰角，樓底部C的俯角，若點A到這棟樓的距離米，則這棟樓的高度為（

）（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：）

A．米 B．米 C．米 D．米3.用解直角三角形的知識解決實際問題的基本方法是：（1）把實際問題抽象成數(shù)學問題(解直角三角形)，就是要舍去實際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形(點、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系．

（2）借助生活常識以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實際問題抽象為數(shù)學問題．

（3）當需要求解的三角形不是直角三角形時，應(yīng)恰當?shù)刈鞲撸比切螢橹苯侨切卧偾蠼狻！窘饣蟆坷?：如圖，攔水壩的橫斷面是梯形，高米，斜面坡度為，則斜坡的長為（

）A．米 B．米 C．米 D．米例2：小剛、小麗分別站在甲、乙兩棟大樓的樓頂M，N處，觀測地面上的點P，測得俯角分別為，則（

）A． B． C． D．例3：如圖，測量河寬（假設(shè)河的兩岸平行），在點測得，點測得，又，則河寬為（結(jié)果保留根號）．

例4：某校數(shù)學興趣小組的同學在教學樓頂端B處測得實驗樓頂部點A的仰角為，已知兩樓的間距為50米，教學樓高為16米（圖中所有點均在同一平面內(nèi)），求實驗樓的高度．（參考數(shù)據(jù)）例5：海中有一小島S，該島周圍內(nèi)有暗礁．今有快艇以的速度向正北航行，在A處看小島S在船的北偏東方向，航行40分鐘后到達B處，在B處看小島S在船的北偏東方向．

(1)A到B的距離是______；(2)求該快艇繼續(xù)向北航行有觸礁危險嗎？說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，）【摩拳擦掌】1.（2023年陜西省西安蓮湖區(qū)初中學業(yè)水平考試全真沖刺試卷（一））如圖是河堤的橫斷面示意圖，已知，堤高，則坡面的長度是（

）

A． B． C． D．2．（2023年浙江省金華市婺城區(qū)中考三模數(shù)學試題）如圖，廣場上空有一個氣球A，若，，則氣球A離地面的高度的長為（

）A． B． C． D．3．（2023年四川省南充市中考數(shù)學真題）如圖，小兵同學從處出發(fā)向正東方向走米到達處，再向正北方向走到處，已知，則，兩處相距（

）A．米 B．米 C．米 D．米4．（魯教版（五四制）九年級數(shù)學上冊第二章直角三角形的邊角關(guān)系單元測試卷）如圖所示，通過測量可以求得某市在冬至日正午時分的太陽入射角為，因此在規(guī)劃建設(shè)樓高為的小區(qū)時，兩樓間的距離最小為才能保證不擋光．（，結(jié)果精確到）

5．（浙江省杭州市上城區(qū)惠興中學2022-2023學年八年級下學期期中數(shù)學試題）如圖，水庫大壩截面的迎水坡的坡比（與的長度之比）為4：3，背水坡坡比為1：2，大壩高，壩頂寬，則大壩橫截面的周長為m．

6．（（挑戰(zhàn)壓軸）專項1.1銳角三角函數(shù)實際應(yīng)用-背靠背模型-2022-2023學年九年級數(shù)學下冊《同步考點解讀·專題訓練》（北師大版））如圖，由游客中心A處修建通往百米觀景長廊的兩條棧道，若，，則游客中心A到觀景長廊的距離的長約為m（）．7．（2023年浙江省臺州市仙居縣中考二模數(shù)學試題）圖1是外翻窗的示意圖，圖2是外翻窗的側(cè)面圖．當外翻窗從下面打開時，窗的一邊沿AB繞點旋轉(zhuǎn)到．已知，旋轉(zhuǎn)角最大為．當最大時，求點到AB的距離．（精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）

8．（2023年湖南省長沙市長郡教育集團中考數(shù)學一模試卷）長沙電視塔位于岳麓山峰頂（如圖），此峰頂距地面高度．電視塔集廣播電視信號發(fā)射和旅游觀光功能于一身．如右圖所示，小明同學在地面點A處測得峰頂N處的仰角為，由點A往前走至點B處，測得電視塔頂P處仰角為，請求出電視塔的高度．（假設(shè)圖中A、B、M三點在一條直線上，參考數(shù)據(jù)：，，）9．（2023年湖南省長沙市岳麓區(qū)麓山國際實驗學校中考模擬數(shù)學試題）長沙銀盆嶺大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔湘江之上已知大橋主塔垂直于橋面于點，其中兩條斜拉索、與橋面的夾角分別為和，兩固定點、之間的距離約為，求主塔的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）．

【知不足】1．（專題25銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用-2023年中考數(shù)學二輪復(fù)習核心考點專題提優(yōu)拓展訓練）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，垂直地面，垂足為點D，，垂足為點C．設(shè)，下列關(guān)系式正確的是（

）A． B． C． D．2．（浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）如圖，某游樂場一滑梯長為，滑梯的坡角為，那么滑梯的高的長為（

）A． B． C． D．3．（廣東省廣州市第五中學2022—2023學年九年級下學期3月月考數(shù)學試題）某倉儲中心有一斜坡AB，其坡比，頂部A處的高為4米，B、C在同一水平面上．則斜坡AB的水平寬度為米．

4．（海南省海口市龍華區(qū)海南華僑中學2021-2022學年九年級上學期期末數(shù)學試題）某人從水平地面沿坡度為的斜面前進，則此時他離地面的高度為．5．（山西省陽泉市山西陽泉經(jīng)濟開發(fā)區(qū)2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）如圖，河提橫斷面迎水坡的坡比（坡比也叫坡度，指點B向水平面做垂線，垂足為C，）是，河提的高米，則坡面的長度是米．

6．（廣東省佛山市禪城區(qū)瀾石中學2019—2022學年九年級上學期第二次月考數(shù)學試題）如圖，小明在公園放風箏，拿風箏線的手離地面高度為，風箏飛到處時的線長為，這時測得，求此時風箏離地面的高度．（精確到，）

7．（2023年吉林省白山市長白縣金華鄉(xiāng)中學、八道溝鎮(zhèn)中學等四校中考一模數(shù)學試題）如圖所示，無人機于空中處測得某建筑頂部處的仰角為，測得該建筑底部處的俯角為．若無人機的飛行高度為，求該建筑的高度（結(jié)果取整數(shù)）．(參考數(shù)據(jù)：，，)8．（山西省長治市2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）一種太陽能供電監(jiān)控系統(tǒng)示意圖如圖所示，為立桿，頂端A處安裝攝像頭，，表示兩塊太陽能電池板，與是兩個全等的三角形支架，，，電池板的傾角．冬至日當?shù)卣鐣r太陽光線與水平線的夾角，此時電池板恰好能全部被太陽照射．現(xiàn)測得點N到地面的距離為，求點M到地面的距離的長．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，，）

【一覽眾山小】1．（甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)第十一中學2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）如圖，一輛小車沿著坡度為的斜坡向上行駛了50米，則此時該小車上升的高度為（

）A．25米 B．米 C．米 D．50米2．（上海市青浦區(qū)實驗中學2022-2023學年九年級上學期期中數(shù)學試題）已知一斜坡的坡度，高度為5米，那么這一斜坡的坡長為米．3．（山西省晉城市愛物學校2022-2023學年九年級上學期1月期末數(shù)學試題）如圖，斜坡坡面的坡比，坡面米，則水平寬度的長為米．4．（湖北省黃石市黃石港區(qū)黃石市第十五中學2022-2023學年九年級下學期6月月考數(shù)學試題）如圖，某數(shù)學活動小組為測量學校旗桿的高度，從旗桿正前方米處的點C出發(fā)，沿斜面坡度的斜坡前進4米到達點D，在點D處安置測角儀，測得旗桿頂部A的仰角為，量得儀器的高為米．已知A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，．旗桿的高度為米．（參考數(shù)據(jù)：．計算結(jié)果保留根號）

5．（2023年湖北省武漢市江漢區(qū)中考三模數(shù)學試題）如圖，無人機在離地面的點處，測得操控者的俯角為30°，測得教學樓頂部點的俯角為45°．已知操控者和教學樓之間的水平距離為80m，教學樓的高度是m．6．（山西省呂梁市興縣東關(guān)中學2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）“手臂機器人”大家可能聽說過，如圖1所示的“手臂機器人”的手臂與人體上膠類似，這種機器人一般由大、小臂組成，立柱與大臂間形成肘關(guān)節(jié)，可使大臂作回轉(zhuǎn)運動和俯仰運動，小臂作俯仰擺動，如圖2，這是處于工作狀態(tài)的某型號手臂機器人的示意圖，是垂直于工作臺的移動基座，分別為機器人的大，小臂，其中小臂米，大臂米，移動基座米，當，時，求點C到工作臺的距離的長（參考數(shù)據(jù)：，，）

7．（上海市青浦區(qū)實驗中學2022-2023學年九年級上學期期中數(shù)學試題）如圖，小明想測量河對岸的一幢高樓的高度，小明在河邊處測得樓頂?shù)难鼋鞘牵嗵幟椎奶幱写睒欠浚∶鲝脑摌欠恐芯嗟孛婷椎奶帨y得樓頂?shù)难鼋鞘?點、、在同一直線上，且、均與地面垂直)．求樓的高度．

8．（山西省陽泉市山西陽泉經(jīng)濟開發(fā)區(qū)2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）“十一”期間，王紅與家人開車去鄉(xiāng)下看望爺爺和奶奶．她看到汽車尾部自動升起的后備箱，于是根據(jù)實際情況畫出了相關(guān)的示意圖．圖1是王紅家私家車側(cè)面示意圖，其中矩形表示該車的后備箱，圖2是在打開后備箱的過程中，箱蓋可以繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)角為時，箱蓋落在的位置的示意圖；王紅測得厘米，厘米，厘米．根據(jù)王紅提供的信息解答下列問題：

(1)求點到的距離；(2)求點E運動的距離．9．（2023年陜西省中考數(shù)學試卷（A卷））一天晚上，小明和爸爸帶著測角儀和皮尺去公園測量一景觀燈（燈桿底部不可到達）的高．如圖所示，當小明爸爸站在點處時，他在該景觀燈照射下的影子長為，測得；當小明站在爸爸影子的頂端處時，測得點的仰角為．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距離，點、、在同一條直線上，，，．求該景觀燈的高．（參考數(shù)據(jù)：，，

10．（2023年浙江省嘉興市南湖區(qū)中考二模數(shù)學試題）為了預(yù)防近視，要求學生寫字姿勢應(yīng)保持“一尺、一拳、一寸”，即眼睛與書本距離約為一尺（約），胸前與課桌距離約為一拳，握筆的手指與筆尖距離約為一寸．如圖，為桌面，某同學眼睛看作業(yè)本的俯角為為身體離書桌距離，眼睛到桌面的距離．

(1)通過計算，請判斷這位同學的眼睛與作業(yè)本的距離是否符合要求；(2)為確保符合要求，需將作業(yè)本沿方向移動．當眼睛看作業(yè)本的俯角為時，求作業(yè)本移動的距離．（，．結(jié)果精確到0.1）11．（2023年江蘇省泰州市中考數(shù)學真題）如圖，堤壩長為，坡度i為，底端A在地面上，堤壩與對面的山之間有一深溝，山頂D處立有高的鐵塔．小明欲測量山高，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線上，又在壩頂B處測得塔底D的仰角為．求堤壩高及山高．（，，，小明身高忽略不計，結(jié)果精確到）

12．（2023年遼寧省撫順市、葫蘆島市中考數(shù)學真題）小亮利用所學的知識對大廈的高度進行測量，他在自家樓頂B處測得大廈底部的俯角是，測得大廈頂部的仰角是，已知他家樓頂B處距地面的高度為40米（圖中點A，B，C，D均在同一平面內(nèi)）．

(1)求兩樓之間的距離（結(jié)果保留根號）；(2)求大廈的高度（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）13．（2023年吉林省松原市前郭縣學區(qū)九年級第二次模擬數(shù)學試題）某住宅小區(qū)，計劃在1號樓頂部和小區(qū)大門的上方之間掛一些彩燈．經(jīng)測量，大門的高度，大門與1號樓的距離．在大門處測得1號樓頂部的仰角為，而當時測傾器離地面的距離．求：

(1)1號樓的高度；(2)估算大門頂部與1號樓頂部的距離．（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）14．（2023年河南省安陽市中考一模數(shù)學試題）為了營造良好的文化氛圍，及時彰顯正能量，某中學在校園內(nèi)安裝了一塊垂直于水平地面的電子屏幕．學校數(shù)學興趣小組成員為了測量電子屏幕的寬度，如圖，先在地面D處垂直于地面安放12米高的測角儀，測得電子屏幕的右側(cè)底端B的仰角．設(shè)線段在地面上的正投影為點E，再將測角儀沿方向平移1.6米后到達處，又測得電子屏幕的右側(cè)頂端A的仰角．已知點B到地面的距離為4.2米，請計算電子屏幕的寬度約為多少米？（參考數(shù)據(jù)：，，，）

15．（山西省陽泉市山西陽泉經(jīng)濟開發(fā)區(qū)2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）如圖，某商場開業(yè)之際，為了美化和宣傳，該商場在樓上懸掛一塊長為3m的宣傳牌，即．數(shù)學小組的同學要在雙休日測量宣傳牌的底部點D到地面的距離．根據(jù)所學的相關(guān)知識，他們分別在點A和點B處放置兩個測傾儀，它們的高度是，站在點A處的同學測得宣傳牌底部點D的仰角為31°．站在點B處的同學測得宣傳牌頂部點C的仰角為45°．．依據(jù)他們測量的數(shù)據(jù)能否求出宣傳牌底部點D到地面的距離DH的長？若能，請求出；若不能，請說明理由．（圖中點A，B，C，D，E，F(xiàn)，H在同一平面內(nèi)．參考數(shù)據(jù)：，，）

16．（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學真題）幾位同學在老師的指導下到某景區(qū)進行戶外實踐活動，在登山途中發(fā)現(xiàn)該景區(qū)某兩座山之間風景優(yōu)美，但路陡難行，為了便于建議景區(qū)管理處在這兩山頂間建觀光索道，他們分別在兩山頂上取A、B兩點，并過點B架設(shè)一水平線型軌道（如圖所示），使得，從點B出發(fā)按方向前進20米到達點E，即米，測得．已知，，求A、B兩點間的距離．

17．（河北省保定市阜平縣2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）河北省博物館坐落在省會石家莊市中心，是全國愛國主義教育示范基地，某數(shù)學小組用皮尺和測角儀測量該博物館最高處的高度，如圖，他們在地面上架設(shè)測角儀，先在點C處測得博物館最高點A的仰角，然后沿方向前進到達點N處，測得點A的仰角（點M，N，B在一條直線上），測角儀的高度為，請利用同學們的測量數(shù)據(jù)求的長度和該博物館最高點A距離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）

7.6 銳角三角函數(shù)的應(yīng)用【推本溯源】1.銳角三角函數(shù)揭示了直角三角形的邊與角的關(guān)系，在許多實際問題中，我們可以根據(jù)其中的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系找出（或構(gòu)造出）一個直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識解決問題。2.在上一章做題過程中，其實我們已經(jīng)接觸了一點應(yīng)用，這邊再總結(jié)一下幾個經(jīng)典的應(yīng)用類型：坡度：；坡角:.

小試牛刀：如圖，河堤的堤高米，迎水坡的坡比是，則河堤底的寬度的長為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】根據(jù)坡比是，即可求解．【詳解】解：在中，∵，，∴，

（2）方位角：

小試牛刀：數(shù)學興趣小組為了實地測量兩岸互相平行的一段河的寬度，在河的南岸點處測得河的北岸點在其北偏東方向，然后向西走80米到達點，測得點在點的北偏東方向，求河寬．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，，，，）

【答案】米【詳解】解：過作于，設(shè)米，

在中，即，，在中，，即，，解得分，（米）．答：河寬大約為72.6米．

（3）仰角與俯角：

小試牛刀：如圖，熱氣球在A處測得一棟樓的樓頂端B的仰角，樓底部C的俯角，若點A到這棟樓的距離米，則這棟樓的高度為（

）（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【詳解】解：如圖，

由題意可知：，，，，3.用解直角三角形的知識解決實際問題的基本方法是：（1）把實際問題抽象成數(shù)學問題(解直角三角形)，就是要舍去實際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形(點、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系．

（2）借助生活常識以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實際問題抽象為數(shù)學問題．

（3）當需要求解的三角形不是直角三角形時，應(yīng)恰當?shù)刈鞲撸比切螢橹苯侨切卧偾蠼狻！窘饣蟆坷?：如圖，攔水壩的橫斷面是梯形，高米，斜面坡度為，則斜坡的長為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】根據(jù)坡度求出的長度，再利用勾股定理求出．【詳解】解：∵坡度，米，∴米，∴（米），故B正確．故選：B．【點睛】此題考查已知正切值求邊長，勾股定理求直角三角形邊長，熟記坡度定義求出是解題的關(guān)鍵．例2：小剛、小麗分別站在甲、乙兩棟大樓的樓頂M，N處，觀測地面上的點P，測得俯角分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，，再由，可得，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，∵，∴，∴．故選：C【點睛】本題主要考查了仰角和俯角，理解仰角和俯角的意義是解題的關(guān)鍵．例3：如圖，測量河寬（假設(shè)河的兩岸平行），在點測得，點測得，又，則河寬為（結(jié)果保留根號）．

【答案】【分析】在中，，，則，所以，在中，通過三角函數(shù)關(guān)系求得的長．【詳解】解：在中，，，∴∴在中，，∴（米），故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．例4：某校數(shù)學興趣小組的同學在教學樓頂端B處測得實驗樓頂部點A的仰角為，已知兩樓的間距為50米，教學樓高為16米（圖中所有點均在同一平面內(nèi)），求實驗樓的高度．（參考數(shù)據(jù)）【答案】實驗樓的高度為25米．【分析】利用正切函數(shù)的定義求得的長，即可求解．【詳解】解：由題意得，四邊形是矩形，∴，，∵，∴（米），∴（米），答：實驗樓的高度為25米．【點睛】本題考查解直角三角形－仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題．例5：海中有一小島S，該島周圍內(nèi)有暗礁．今有快艇以的速度向正北航行，在A處看小島S在船的北偏東方向，航行40分鐘后到達B處，在B處看小島S在船的北偏東方向．

(1)A到B的距離是______；(2)求該快艇繼續(xù)向北航行有觸礁危險嗎？說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)20(2)該快艇繼續(xù)向北航行不會有觸礁危險，見解析【分析】（1）根據(jù)速度、時間、路程之間的關(guān)系即可求解；（2）過點作于，由題意得，，設(shè)，在中求出即可解答．【詳解】（1）解：（1）由速度、時間、路程之間的關(guān)系可得，，故答案為：20；（2）解：該快艇繼續(xù)向北航行不會有觸礁危險，理由如下：過作，，設(shè)，在直角三角形中，∴∴，∴該快艇繼續(xù)向北航行不會有觸礁危險．

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題，掌握銳角三角形函數(shù)的定義并靈活運用是解題的關(guān)鍵．【摩拳擦掌】1.（2023年陜西省西安蓮湖區(qū)初中學業(yè)水平考試全真沖刺試卷（一））如圖是河堤的橫斷面示意圖，已知，堤高，則坡面的長度是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】在中，利用求出，再利用勾股定理求出的長度即可．【詳解】解：在中，，，∵，∴，∴，故選：A【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出是解題的關(guān)鍵．2．（2023年浙江省金華市婺城區(qū)中考三模數(shù)學試題）如圖，廣場上空有一個氣球A，若，，則氣球A離地面的高度的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得即可得到氣球A離地面的高度的長．【詳解】解：∵,∴，∵，∴，故選：B【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023年四川省南充市中考數(shù)學真題）如圖，小兵同學從處出發(fā)向正東方向走米到達處，再向正北方向走到處，已知，則，兩處相距（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)中余弦值的定義即可求出答案.【詳解】解：小兵同學從處出發(fā)向正東方向走米到達處，再向正北方向走到處，，米.，米.故選：B.【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)中的余弦值，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握余弦值的定義.余弦值就是在直角三角形中，銳角的鄰邊與斜邊之比.4．（魯教版（五四制）九年級數(shù)學上冊第二章直角三角形的邊角關(guān)系單元測試卷）如圖所示，通過測量可以求得某市在冬至日正午時分的太陽入射角為，因此在規(guī)劃建設(shè)樓高為的小區(qū)時，兩樓間的距離最小為才能保證不擋光．（，結(jié)果精確到）

【答案】【分析】由題意可知，光線，樓和地面構(gòu)成一個直角三角形．已知角和對邊，求鄰邊，用正切，即可求出兩樓間的距離．【詳解】解：由題意知，光線，樓和地面構(gòu)成一個直角三角形，∴樓高÷樓間距，∴樓間距；故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．正確的識圖，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．5．（浙江省杭州市上城區(qū)惠興中學2022-2023學年八年級下學期期中數(shù)學試題）如圖，水庫大壩截面的迎水坡的坡比（與的長度之比）為4：3，背水坡坡比為1：2，大壩高，壩頂寬，則大壩橫截面的周長為m．

【答案】【分析】過C點作與點F，如圖，則，，根據(jù)坡比的定義得到，，則可計算出，，再利用勾股定理計算出和，然后計算大壩橫截面的周長．【詳解】解：過C點作與點F，如圖，則，，∵水坡的坡比（與的長度之比）為4：3，∴，∴，∴，∵背水坡坡比為1：2，∴，∴，∴，∴大壩橫截面的周長．故答案為：．

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角：坡度是坡面的鉛直高度和水平寬度的比，又叫做坡比，一般用表示，常寫成的形式．6．（（挑戰(zhàn)壓軸）專項1.1銳角三角函數(shù)實際應(yīng)用-背靠背模型-2022-2023學年九年級數(shù)學下冊《同步考點解讀·專題訓練》（北師大版））如圖，由游客中心A處修建通往百米觀景長廊的兩條棧道，若，，則游客中心A到觀景長廊的距離的長約為m（）．【答案】60【分析】由，則，得到，設(shè)，則，由，則，由，解方程即可得到答案，【詳解】解：∵，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴游客中心A到觀景長廊的距離的長約為，故答案為：60．【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合和準確計算是解題的關(guān)鍵．7．（2023年浙江省臺州市仙居縣中考二模數(shù)學試題）圖1是外翻窗的示意圖，圖2是外翻窗的側(cè)面圖．當外翻窗從下面打開時，窗的一邊沿AB繞點旋轉(zhuǎn)到．已知，旋轉(zhuǎn)角最大為．當最大時，求點到AB的距離．（精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】米【分析】作過于點，在中，由求解即可．【詳解】解：作過于點，

在中，，，

∴∴米．答：點到AB的最大距離約為米．【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形并列出相應(yīng)關(guān)系式．8．（2023年湖南省長沙市長郡教育集團中考數(shù)學一模試卷）長沙電視塔位于岳麓山峰頂（如圖），此峰頂距地面高度．電視塔集廣播電視信號發(fā)射和旅游觀光功能于一身．如右圖所示，小明同學在地面點A處測得峰頂N處的仰角為，由點A往前走至點B處，測得電視塔頂P處仰角為，請求出電視塔的高度．（假設(shè)圖中A、B、M三點在一條直線上，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】電視塔的高度為【分析】在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，利用，求出的長度，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，于是利用得到結(jié)論．【詳解】解：在中，，，，，，，，在中，，，，答：電視塔的高度為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握仰角俯角的定義和銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．9．（2023年湖南省長沙市岳麓區(qū)麓山國際實驗學校中考模擬數(shù)學試題）長沙銀盆嶺大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔湘江之上已知大橋主塔垂直于橋面于點，其中兩條斜拉索、與橋面的夾角分別為和，兩固定點、之間的距離約為，求主塔的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）．

【答案】主塔的高度約為米．【分析】在中利用等腰三角形的性質(zhì)，用表示，在中利用直角三角形的邊角間關(guān)系，用表示出，最后利用線段的和差關(guān)系得結(jié)論．【詳解】解：在中，，．．在中，∵，∴．∵，∴．∴米．答：主塔的高度約為米．【點睛】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系及等腰直角三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【知不足】1．（專題25銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用-2023年中考數(shù)學二輪復(fù)習核心考點專題提優(yōu)拓展訓練）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，垂直地面，垂足為點D，，垂足為點C．設(shè)，下列關(guān)系式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：在中，，，∴，，，故選項A、B、D不符合題意，選項C符合題意，故選：C．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．2．（浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）如圖，某游樂場一滑梯長為，滑梯的坡角為，那么滑梯的高的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根據(jù)正弦的三角函數(shù)比計算即可．【詳解】由圖可知，∴，故選D．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用－坡度坡角問題和解直角三角形的應(yīng)用－坡度坡角問題，利用三角函數(shù)求解是解題的關(guān)鍵．3．（廣東省廣州市第五中學2022—2023學年九年級下學期3月月考數(shù)學試題）某倉儲中心有一斜坡AB，其坡比，頂部A處的高為4米，B、C在同一水平面上．則斜坡AB的水平寬度為米．

【答案】8【分析】根據(jù)坡比即可求解．【詳解】解：由題意結(jié)合坡比，代入，∴米，故答案為：8．【點睛】本題考查了坡比的定義，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握坡比定義即可．4．（海南省海口市龍華區(qū)海南華僑中學2021-2022學年九年級上學期期末數(shù)學試題）某人從水平地面沿坡度為的斜面前進，則此時他離地面的高度為．【答案】【分析】根據(jù)題意可設(shè)，再由勾股定理求出x的值，即可求解．【詳解】解：如圖：∵水平地面沿坡度為，∴可設(shè)，∴，解得：，即此時他離地面的高度為．故答案為：【點睛】此題主要考查了坡角問題的應(yīng)用，通過構(gòu)造直角三角形解答問題，利用銳角三角函數(shù)求解是解題關(guān)鍵．5．（山西省陽泉市山西陽泉經(jīng)濟開發(fā)區(qū)2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）如圖，河提橫斷面迎水坡的坡比（坡比也叫坡度，指點B向水平面做垂線，垂足為C，）是，河提的高米，則坡面的長度是米．

【答案】20【分析】由題意得：，由勾股定理即可求得．【詳解】解：∵，∴米，由勾股定理得：（米），故答案為：20．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，理解坡比的含義是關(guān)鍵．6．（廣東省佛山市禪城區(qū)瀾石中學2019—2022學年九年級上學期第二次月考數(shù)學試題）如圖，小明在公園放風箏，拿風箏線的手離地面高度為，風箏飛到處時的線長為，這時測得，求此時風箏離地面的高度．（精確到，）

【答案】此時風箏離地面的高度為【分析】根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的計算方法即可求解．【詳解】解：如圖所示，，，

由圖可知，人垂直于地面，即垂直于地面，點到地面的高度為，即垂直于地面，且，∴四邊形是矩形，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴此時風箏離地面的高度為．【點睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的計算方法，掌握以上知識的運用是解題的關(guān)鍵．7．（2023年吉林省白山市長白縣金華鄉(xiāng)中學、八道溝鎮(zhèn)中學等四校中考一模數(shù)學試題）如圖所示，無人機于空中處測得某建筑頂部處的仰角為，測得該建筑底部處的俯角為．若無人機的飛行高度為，求該建筑的高度（結(jié)果取整數(shù)）．(參考數(shù)據(jù)：，，)【答案】該建筑的高度約為【分析】作于，根據(jù)正切的定義求出，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，結(jié)合圖形計算即可．【詳解】如圖，過點作，垂足為，∴，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，由題意得：，，在中，，∴，在中，，．∵，∴．答：該建筑的高度約為．【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．8．（山西省長治市2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）一種太陽能供電監(jiān)控系統(tǒng)示意圖如圖所示，為立桿，頂端A處安裝攝像頭，，表示兩塊太陽能電池板，與是兩個全等的三角形支架，，，電池板的傾角．冬至日當?shù)卣鐣r太陽光線與水平線的夾角，此時電池板恰好能全部被太陽照射．現(xiàn)測得點N到地面的距離為，求點M到地面的距離的長．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，，）

【答案】【分析】在中，由，得到的長，在中，由得到的長，在中，由得到的長，結(jié)合圖中的隱含條件，求出的長．【詳解】解：在中，，，，，即，．在中，，，，即在中，，，，即，，，答：兩點間的距離約為．【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【一覽眾山小】1．（甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)第十一中學2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）如圖，一輛小車沿著坡度為的斜坡向上行駛了50米，則此時該小車上升的高度為（

）A．25米 B．米 C．米 D．50米【答案】A【分析】利用坡度為可求出，即可得到米，得到答案．【詳解】解：如圖，，米，∵，∴，∴（米），即此時該小車上升的高度為25米．故選：A【點睛】此題考查了坡度坡比問題，熟練掌握坡度的定義是解題的關(guān)鍵．2．（上海市青浦區(qū)實驗中學2022-2023學年九年級上學期期中數(shù)學試題）已知一斜坡的坡度，高度為5米，那么這一斜坡的坡長為米．【答案】【分析】設(shè)斜坡的水平寬度為米，根據(jù)坡度的定義可求出，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)斜坡的水平寬度為米，則：：，解得：，這一斜坡的坡長為（米）．故答案為：．【點睛】本題考查了坡度的定義與相關(guān)計算，掌握坡度等于垂直距離與水平寬度的比，是解題的根據(jù)．3．（山西省晉城市愛物學校2022-2023學年九年級上學期1月期末數(shù)學試題）如圖，斜坡坡面的坡比，坡面米，則水平寬度的長為米．

【答案】6【分析】先根據(jù)題意得到，設(shè)米，則米，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵斜坡坡面的坡比，∴，即，設(shè)米，則米，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴米，故答案為：6．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，勾股定理，正確推出是解題的關(guān)鍵．4．（湖北省黃石市黃石港區(qū)黃石市第十五中學2022-2023學年九年級下學期6月月考數(shù)學試題）如圖，某數(shù)學活動小組為測量學校旗桿的高度，從旗桿正前方米處的點C出發(fā)，沿斜面坡度的斜坡前進4米到達點D，在點D處安置測角儀，測得旗桿頂部A的仰角為，量得儀器的高為米．已知A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，．旗桿的高度為米．（參考數(shù)據(jù)：．計算結(jié)果保留根號）

【答案】【分析】如圖，延長交延長線于點F，則，解求得米，米，，作，可得米，米，，再求出可得答案．【詳解】解：如圖，延長交延長線于點F，則，

∵斜坡斜面坡度，∴在中，∴，∵米，∴米，米，∴米，過點E作于點G，則四邊形是矩形，∴米，米，又∵，∴中，米，∴米，∴旗桿的高度為米，故答案為：．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2023年湖北省武漢市江漢區(qū)中考三模數(shù)學試題）如圖，無人機在離地面的點處，測得操控者的俯角為30°，測得教學樓頂部點的俯角為45°．已知操控者和教學樓之間的水平距離為80m，教學樓的高度是m．

【答案】【分析】過點作于點，作于點，由，得到的長，再由四邊形是矩形以及，得出答案．【詳解】解：過點作于點，作于點，

由題可知：，，在中，，，(米)，(米)，，四邊形是矩形，(米)在，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用中仰角俯角問題，三角函數(shù)的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形．6．（山西省呂梁市興縣東關(guān)中學2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）“手臂機器人”大家可能聽說過，如圖1所示的“手臂機器人”的手臂與人體上膠類似，這種機器人一般由大、小臂組成，立柱與大臂間形成肘關(guān)節(jié)，可使大臂作回轉(zhuǎn)運動和俯仰運動，小臂作俯仰擺動，如圖2，這是處于工作狀態(tài)的某型號手臂機器人的示意圖，是垂直于工作臺的移動基座，分別為機器人的大，小臂，其中小臂米，大臂米，移動基座米，當，時，求點C到工作臺的距離的長（參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】米【分析】延長，，過點B作的平行線，與，分別交于M，N，在中，解直角三角形得到，在中，解直角三角形得到，從而得到．【詳解】解：如圖，延長，，過點B作的平行線，與，分別交于M，N，

則，∵，∴，在中，，，∴，∴，∴，∵，，∴，在中，，，∴，∴，∴的長為米．【點睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（上海市青浦區(qū)實驗中學2022-2023學年九年級上學期期中數(shù)學試題）如圖，小明想測量河對岸的一幢高樓的高度，小明在河邊處測得樓頂?shù)难鼋鞘牵嗵幟椎奶幱写睒欠浚∶鲝脑摌欠恐芯嗟孛婷椎奶帨y得樓頂?shù)难鼋鞘?點、、在同一直線上，且、均與地面垂直)．求樓的高度．

【答案】樓的高度為米【分析】過點作于點，設(shè)的長度為米，則米，在和中分別求出和的長度，然后根據(jù)，代入數(shù)值求出的值．【詳解】解：過點作于點，

則四邊形為矩形，設(shè)的長度為米，則米，在中，，即，在中，，，，米，，解得：．答：樓的高度為米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識求解．8．（山西省陽泉市山西陽泉經(jīng)濟開發(fā)區(qū)2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）“十一”期間，王紅與家人開車去鄉(xiāng)下看望爺爺和奶奶．她看到汽車尾部自動升起的后備箱，于是根據(jù)實際情況畫出了相關(guān)的示意圖．圖1是王紅家私家車側(cè)面示意圖，其中矩形表示該車的后備箱，圖2是在打開后備箱的過程中，箱蓋可以繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)角為時，箱蓋落在的位置的示意圖；王紅測得厘米，厘米，厘米．根據(jù)王紅提供的信息解答下列問題：

(1)求點到的距離；(2)求點E運動的距離．【答案】(1)厘米(2)厘米【分析】（1）過點作交于F，在中，可求得，由題意得四邊形是矩形，且，從而可求得的長；（2）連接，由勾股定理求得扇形半徑長，由弧長公式即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：過點作交于F，如圖，由旋轉(zhuǎn)知，厘米∵，厘米，∴在中，厘米，由題意得四邊形是矩形，∴厘米，∴厘米；

即點到BC的距離厘米；（2）解：連接，如圖，由題意得：，在中，由勾股定理得：（厘米），∴點E運動的距離為：（厘米）．

9．（2023年陜西省中考數(shù)學試卷（A卷））一天晚上，小明和爸爸帶著測角儀和皮尺去公園測量一景觀燈（燈桿底部不可到達）的高．如圖所示，當小明爸爸站在點處時，他在該景觀燈照射下的影子長為，測得；當小明站在爸爸影子的頂端處時，測得點的仰角為．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距離，點、、在同一條直線上，，，．求該景觀燈的高．（參考數(shù)據(jù)：，，

【答案】【分析】過點作，垂足為，根據(jù)題意可得：，，然后設(shè)，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，再根據(jù)垂直定義可得，從而證明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而列出關(guān)于的方程，進行計算即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，

由題意得：，，設(shè)，在中，，，，，，，，，，，，，解得：，，該景觀燈的高約為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，相似三角形的應(yīng)用，中心投影，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．10．（2023年浙江省嘉興市南湖區(qū)中考二模數(shù)學試題）為了預(yù)防近視，要求學生寫字姿勢應(yīng)保持“一尺、一拳、一寸”，即眼睛與書本距離約為一尺（約），胸前與課桌距離約為一拳，握筆的手指與筆尖距離約為一寸．如圖，為桌面，某同學眼睛看作業(yè)本的俯角為為身體離書桌距離，眼睛到桌面的距離．

(1)通過計算，請判斷這位同學的眼睛與作業(yè)本的距離是否符合要求；(2)為確保符合要求，需將作業(yè)本沿方向移動．當眼睛看作業(yè)本的俯角為時，求作業(yè)本移動的距離．（，．結(jié)果精確到0.1）【答案】(1)不符合要求(2)作業(yè)本移動的距離約為【分析】（1）依題意，，在中，求得的長，比較大小，即可求解．（2）依題意，移動后，，在中，求得的長，與在（1）中求得，求差即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，依題意，，

在中，，∴，∵∴這位同學的眼睛與作業(yè)本的距離不符合要求；（2）依題意，移動后，，在中，∴∴答：作業(yè)本移動的距離約為【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角形函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．11．（2023年江蘇省泰州市中考數(shù)學真題）如圖，堤壩長為，坡度i為，底端A在地面上，堤壩與對面的山之間有一深溝，山頂D處立有高的鐵塔．小明欲測量山高，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線上，又在壩頂B處測得塔底D的仰角為．求堤壩高及山高．（，，，小明身高忽略不計，結(jié)果精確到）

【答案】堤壩高為8米，山高為20米．【分析】過B作于H，設(shè)，，根據(jù)勾股定理得到，求得，過B作于F，則，設(shè)，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：過B作于H，

∵坡度i為，∴設(shè)，，∴，∴，∴，過B作于F，則，設(shè)，∵．∴，∴，∵坡度i為，∴，∴，∴（米），∴（米），答：堤壩高為8米，山高為20米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-俯角仰角，解直角三角形的應(yīng)用-坡角坡度，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（2023年遼寧省撫順市、葫蘆島市中考數(shù)學真題）小亮利用所學的知識對大廈的高度進行測量，他在自家樓頂B處測得大廈底部的俯角是，測得大廈頂部的仰角是，已知他家樓頂B處距地面的高度為40米（圖中點A，B，C，D均在同一平面內(nèi)）．

(1)求兩樓之間的距離（結(jié)果保留根號）；(2)求大廈的高度（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)米(2)92米【分析】（1）作于點E，利用三角函數(shù)解即可；（2）先證四邊形是矩形，再利用三角函數(shù)解求出，進而可求．【詳解】（1）解：如圖，作于點E，則，

由題意知，，，故，即兩樓之間的距離為米；（2）解：由題意知，四邊形是矩形，，，中，，，，即大廈的高度為92米．【點睛】本題主要考查解直角三角形的實際應(yīng)用，通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2023年吉林省松原市前郭縣學區(qū)九年級第二次模擬數(shù)學試題）某住宅小區(qū)，計劃在1號樓頂部和小區(qū)大門的上方之間掛一些彩燈．經(jīng)測量，大門的高度，大門與1號樓的距離．在大門處測得1號樓頂部的仰角為，而當時測傾器離地面的距離．求：

(1)1號樓的高度；(2)估算大門頂部與1號樓頂部的距離．（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)18.8米(2)33.5米【分析】（1）過點作于，則米，米，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，進行計算即可解答；（2）過點作于，則米，米，從而求出米，然后在中，利用勾股定理進行計算即可解