/1.3探索三角形全等的條件教材知識總結教材知識總結全等三角形判定1——“角邊角”兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.【例如】如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.全等三角形判定2——“邊角邊”兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.【例如】如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對應邊的夾角.有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.

要點一、全等三角形判定3——“邊邊邊”全等三角形判定3——“邊邊邊”三邊對應相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.【例如】如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.全等三角形判定4——“角角邊”兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）【例如】由三角形的內角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對應相等SASAASASA兩角對應相等ASAAAS兩邊對應相等SASSSS2.如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；（2）可以從已知出發，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；（3）由條件和結論一起出發，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構造全等三角形.判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應相等，或兩直角邊對應相等，這兩個直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三角形所獨有的，一般三角形不具備.【點撥】（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.看例題，漲知識看例題，漲知識【例題1】如圖，已知點A、E、F、C在同一直線上，，AE=CF，AD=CB．(1)求證：△ADF≌△CBE;(2)判斷BE與DF的位置關系，并說明理由．【例題2】如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，已知O是AC的中點，AE=CF，DF∥BE．(1)求證：△BOE≌△DOF；(2)若2DO=AC，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請證明你的結論．【例題3】如圖，已知BE⊥CD，BE=DE，BC=AD．(1)求證：△BEC≌△DEA；(2)求∠DFC的度數．【例題4】如圖，點、、、在一條直線上，，，與交于點．(1)求證：；(2)若，，求的度數．課后習題鞏固一下課后習題鞏固一下一、單選題1．如圖所示，某同學把一塊三角形的玻璃不小心打碎成了三塊，現在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶哪一塊去（）A．① B．② C．③ D．①和②2．圖中是全等的三角形是（

）A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁3．下列語句中不正確的是（

）A．斜邊和一銳角對應相等的兩個直角三角形一定全等 B．有兩邊對應相等的兩個直角三角形不一定全等C．有一直角邊和一銳角對應相等的兩個直角三角形一定全等 D．有兩個銳角相等的兩個直角三角形不一定全等4．作一個角等于已知角的尺規作圖過程如圖，要說明，需要證明，則這兩個三角形全等的依據是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS5．如圖，點、在線段上，若，則添加下列條件，不一定能使的是（

）A．， B．，C．， D．，6．如圖，已知，添加下列條件后，仍無法證明△△的是（）A． B． C． D．二、填空題7．命題“如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的面積相等”的逆命題是__________命題（選填“真”或“假”）．8．如圖所示，已知是的角平分線上的一點，請添加一個條件：________，使得．9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，CD⊥AB，在AC上取一點E，使EC＝4cm，過點E作EF⊥AC交CD的延長線于點F．若AE＝1cm，則EF＝______cm．10．如圖，∠1＝∠2，要使△ABC≌△BAD，還需添加一個條件是_____（只需寫出一種情況）三、解答題11．如圖，已知AB=BE，AB∥DE，∠ABD=80°，∠E=50°．(1)求∠DBE的度數；(2)若∠A=30°，求證AC=BD．12．如圖，AD，BC相交于點O，AD=BC，∠C=∠D=90°．(1)求證：△ACB≌△BDA；(2)若∠CAB=54°，求∠CAO的度數．13．如圖，在△ABC中，D是AB上一點，CF//AB，DF交AC于點E，．(1)求證：(2)若，，求BD的長．14．已知：，，，垂足分別為D，E，且BD，CE相交于點F．(1)如圖①，求證：．(2)如圖②，連接AF，在不添加任何輔助線的情況下，寫出圖中的全等三角形（至少寫出兩對）．15．如圖，點A，D，B，E在同一條直線上，AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF，BC與DF交于點O．（1）求證：△ABC≌△EDF．（2）若∠CBE＝125°，求∠BOD的度數．16．如圖，在△ABC與△ABD中，AC=BD，且CE=DE，AE=BE，AD與BC交于點E．（1）求證：△ACE≌△BDE；（2）若AC=3，BC=5，求△ACE的周長．/

1.3探索三角形全等的條件教材知識總結教材知識總結全等三角形判定1——“角邊角”兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.【例如】如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.全等三角形判定2——“邊角邊”兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.【例如】如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對應邊的夾角.有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.

要點一、全等三角形判定3——“邊邊邊”全等三角形判定3——“邊邊邊”三邊對應相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.【例如】如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.全等三角形判定4——“角角邊”兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）【例如】由三角形的內角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對應相等SASAASASA兩角對應相等ASAAAS兩邊對應相等SASSSS2.如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；（2）可以從已知出發，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；（3）由條件和結論一起出發，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構造全等三角形.判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應相等，或兩直角邊對應相等，這兩個直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三角形所獨有的，一般三角形不具備.【點撥】（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.看例題，漲知識看例題，漲知識【例題1】如圖，已知點A、E、F、C在同一直線上，，AE=CF，AD=CB．(1)求證：△ADF≌△CBE;(2)判斷BE與DF的位置關系，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)，見解析【分析】（1）根據SAS證明三角形全等即可；（2）結論：，利用全等三角形的性質即可證明．【解析】(1)證明：∵，∴∠A＝∠C（兩直線平行，內錯角相等），∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS）；(2)解：結論：．理由：∵△ADF≌△CBE，∴∠AFD＝∠CEB，∴（內錯角相等，兩直線平行）．【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質，平行線的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考常考題型．【例題2】如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，已知O是AC的中點，AE=CF，DF∥BE．(1)求證：△BOE≌△DOF；(2)若2DO=AC，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請證明你的結論．【答案】(1)證明見解析；(2)矩形；證明見解析【分析】（1）由DF∥BE，得到兩對內錯角相等，再由O為AC的中點，得到OA＝OC，又AE＝CF，得到OE＝OF，利用AAS即可得證；（2）若2DO=AC，則四邊形ABCD為矩形，理由為：由2DO=AC，得到2OB＝AC，即OD＝OA＝OC＝OB，利用對角線互相平分且相等的四邊形為矩形即可得證．【解析】(1)證明：∵DF∥BE，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，∵O為AC的中點，∴OA＝OC，∵AE＝CF，∴OA?AE＝OC?CF，即OE＝OF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（AAS）；(2)若2DO=AC，則四邊形ABCD是矩形，理由為：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝DO，∴2DO=BD，∵2DO=AC，∴OA＝OB＝OC＝OD，BD＝AC，∴四邊形ABCD為矩形（對角線相等且互相平分的四邊形是矩形）．【點撥】此題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，以及平行線的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．【例題3】如圖，已知BE⊥CD，BE=DE，BC=AD．(1)求證：△BEC≌△DEA；(2)求∠DFC的度數．【答案】(1)見解析；(2)∠DFC=90°．【分析】（1）由“HL”可證Rt△BEC≌Rt△DEA；（2）由全等三角形的性質可得∠B=∠D，由三角形內角和定理可求∠DFC=90°．【解析】(1)證明：∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEA=90°，在Rt△BEC和Rt△DEA中：，∴Rt△BEC≌Rt△DEA（HL）；(2)解：∵Rt△BEC≌Rt△DEA，∴∠B=∠D，∵∠DAE=∠BAF，∴∠BFA=∠DEA=90°，∴∠DFC=90°．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質，證明三角形全等是解題的關鍵．【例題4】如圖，點、、、在一條直線上，，，與交于點．(1)求證：；(2)若，，求的度數．【答案】(1)見解析；(2)55°【分析】（1）由可求得，利用可證得：；（2）由，得，得出，根據三角形內角和定理求解即可．【解析】(1)解：證明：，，即，在與中，，；(2)解：，，，，，，．【點撥】本題主要考查全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，解題的關鍵是對全等三角形的判定條件的掌握與應用．課后習題鞏固一下課后習題鞏固一下一、單選題1．如圖所示，某同學把一塊三角形的玻璃不小心打碎成了三塊，現在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶哪一塊去（）A．① B．② C．③ D．①和②【答案】C【分析】觀察每塊玻璃形狀特征，利用ASA判定三角形全等可得出答案．【解析】解：第一塊和第二塊只保留了原三角形的一個角和部分邊，根據這兩塊中的任一塊均不能配一塊與原來完全一樣的；第三塊不僅保留了原來三角形的兩個角還保留了一邊，則可以根據ASA來配一塊一樣的玻璃．應帶③去．故選：C．【點撥】本題屬于利用ASA判定三角形全等的實際應用，難度不大，但形式較穎，要善于將所學知識與實際問題相結合，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理．2．圖中是全等的三角形是（

）A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁【答案】B【分析】比較三條邊的長度一致的就是全等三角形．【解析】解：比較三角形的三邊長度，發現乙和丁的長度完全一樣，即為全等三角形，故選：B．【點撥】本題考查全等三角形的判定SSS，三邊對應相等，兩三角形全等．3．下列語句中不正確的是（

）A．斜邊和一銳角對應相等的兩個直角三角形一定全等 B．有兩邊對應相等的兩個直角三角形不一定全等C．有一直角邊和一銳角對應相等的兩個直角三角形一定全等 D．有兩個銳角相等的兩個直角三角形不一定全等【答案】B【分析】根據直角三角形全等的判定定理求解判斷即可．【解析】解：A、直角三角形的斜邊和一銳角對應相等，那么另一銳角必然相等，根據ASA定理，這兩個直角三角形全等，故本選項正確，不符合題意；B、兩邊對應相等的兩個直角三角形一定全等，若是兩條直角邊，可以根據SAS判定全等，若是直角邊與斜邊，可根據HL判定全等，故本選項不正確，符合題意；C、有一直角邊和一銳角對應相等的兩個直角三角形符合ASA或AAS定理，故本選項正確，不符合題意；D、兩個銳角對應相等的兩個直角三角形可能全等，也可能不全等，故本選項正確，不符合題意；故選：B．【點撥】本題考查了直角三角形全等的判定，熟記直角三角形全等的判定定理是解題的關鍵．4．作一個角等于已知角的尺規作圖過程如圖，要說明，需要證明，則這兩個三角形全等的依據是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【分析】根據三條邊對應相等的兩個三角形全等，即可判斷；【解析】解：由圖可知：OC′=OC，OD′=OD，C′D′=CD，∴△D′O′C′≌△DOC（SSS），故選：A；【點撥】本題主要考查全等三角形的判定（SSS）；熟記判定方法是解題關鍵．5．如圖，點、在線段上，若，則添加下列條件，不一定能使的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】利用三角形全等的判定方法進行分析即可．【解析】解：A．添加∠C=∠D，AC=DE可利用ASA判定△ABC≌△EFD，故此選項不合題意；B．添加BC=FD，AC=ED不能判定△ABC≌△EFD，故此選項符合題意；C．添加∠ABC=∠DFE，AC=DE可利用AAS判定△ABC≌△EFD，故此選項不合題意；D．添加AC=DE，AB=EF可利用SAS判定△ABC≌△EFD，故此選項不合題意；故選：B．【點撥】本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．6．如圖，已知，添加下列條件后，仍無法證明△△的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用SSS、SAS、ASA、AAS、HL進行分析即可．【解析】解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此選項錯誤；B、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此選項正確；C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此選項錯誤；D、添加AB＝CD可利用SAS判定△ABC≌△DCB，故此選項錯誤；故選：B．【點撥】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．二、填空題7．命題“如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的面積相等”的逆命題是__________命題（選填“真”或“假”）．【答案】假【分析】先寫出逆命題，然后判斷逆命題即可求解．【解析】解：命題“如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的面積相等”的逆命題是：如果兩個三角形的面積相等，那么這兩個三角形全等，是假命題故答案為：假【點撥】本題考查了判斷真假命題，逆命題，全等三角形的判定，掌握相關知識是解題的關鍵．8．如圖所示，已知是的角平分線上的一點，請添加一個條件：________，使得．【答案】（答案不唯一）【分析】根據全等三角形的判定方法，結合已知條件，求解即可．【解析】解：由題意可得：，平分∴∴可添加，通過AAS判定故答案為：，（答案不唯一）【點撥】此題考查了全等三角形的判定，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法．9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，CD⊥AB，在AC上取一點E，使EC＝4cm，過點E作EF⊥AC交CD的延長線于點F．若AE＝1cm，則EF＝______cm．【答案】5【分析】先根據題意可知∠ACB=∠CEF=90°，即可求出∠F=∠A，然后根據“ASA”證明△ACB≌△FEC，再根據“全等三角形的對應邊相等”得出答案．【解析】根據題意，得∠ACB=∠CEF=90°，∴EF∥BC，∴∠F=∠BCD．在Rt△ACD中，∠ACD+∠A=90°，∵∠BCD+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD=∠F．∵BC=CE，∴△ACB≌△FEC（ASA），∴EF=AC=AE+CE=5cm．故答案為：5．【點撥】本題主要考查了全等三角形的性質和判定，靈活的選擇判定定理是解題的關鍵．10．如圖，∠1＝∠2，要使△ABC≌△BAD，還需添加一個條件是_____（只需寫出一種情況）【答案】BC=AD或∠C=∠D或∠CAB=∠DBA或∠CAD=∠DBC【分析】由于∠1＝∠2，加上公共邊AB，則根據全等三角形的判定方法可添加條件．【解析】解：∵∠1＝∠2，AB＝BA，∴當添加BC＝AD時，可根據“SAS”判斷△ABC≌△BAD；當添加∠C＝∠D時，可根據“AAS”判斷△ABC≌△BAD；當添加∠CAB＝∠DBA時，可根據“ASA”判斷△ABC≌△BAD；當添加∠CAD＝∠DBC時，則∠C＝∠D或∠CAB＝∠DBA，可根據“AAS”或“SAS”判斷△ABC≌△BAD；故答案為：BC＝AD或∠C＝∠D或∠CAB＝∠DBA或∠CAD＝∠DBC．【點撥】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵.選用哪一種判定方法，取決于題目中的已知條件．三、解答題11．如圖，已知AB=BE，AB∥DE，∠ABD=80°，∠E=50°．(1)求∠DBE的度數；(2)若∠A=30°，求證AC=BD．【答案】(1)30°；(2)見解析【分析】（1）根據平行線的性質得到∠ABE=∠E=50°，則∠DBE=∠ABD-∠ABE=30°；（2）只需要利用ASA證明△ABC≌△BED即可得到AC=BD．【解析】(1)解：∵ABDE，∠E=50°，∴∠ABE=∠E=50°，又∵∠ABD=80°，∴∠DBE=∠ABD-∠ABE=30°；(2)解：在△ABC和△BED中，，∴△ABC≌△BED（ASA），∴AC=BD．【點撥】本題主要考查了平行線的性質，全等三角形的性質與判定，熟知全等三角形的性質與判定，平行線的性質是解題的關鍵．12．如圖，AD，BC相交于點O，AD=BC，∠C=∠D=90°．(1)求證：△ACB≌△BDA；(2)若∠CAB=54°，求∠CAO的度數．【答案】(1)見解析；(2)18°【分析】（1）根據HL證明Rt△ABC≌Rt△BAD；（2）先求出∠ABC的度數，即可利用全等三角形的性質求出∠BAD的度數，由此即可得到答案．【解析】(1)證明：∵∠D=∠C=90°，∴△ABC和△BAD都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；(2)解：在Rt△ABC中，∠CAB=54°，∠ACB=90°，∴∠ABC=36°，∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠ABC=∠BAD=36°，∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=54°-36°=18°．【點撥】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，直角三角形兩銳角互余，熟練掌握全等三角形的性質與判定條件是解題的關鍵．13．如圖，在△ABC中，D是AB上一點，CF//AB，DF交AC于點E，．(1)求證：(2)若，，求BD的長．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）由題意易得，然后