/第13講 圖形思想課--相似三角形的性質、應用及位似知識梳理（一）黃金分割在線段AB上，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC＞BC)，如果AC＝eq\f(\r(5)－1,2)AB，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比，黃金比約為0.618，一條線段的黃金分割點有2個.（二）相似三角形的性質1、相似三角形對應角相等，對應邊成比例.2、相似三角形對應高的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比.3、相似三角形周長的比等于相似比.4、相似三角形面積的比等于相似比的平方.（三）利用三角形相似測量高度方法1、利用陽光下的影子測量物高根據太陽光線是平行的，尋找相似三角形.在同一時刻，EQ\F(被測量物體的實際高度,被測量物體的影長)=\F(某物體的實際高度,某物體的影長)2、利用標桿測量物高觀測者的眼睛、標桿頂端、旗桿頂端“三點一線”.3、利用鏡子原理測量物高借助“反射角等于入射角”找出相等的角，得到三角形相似.（四）圖形的位似1、位似圖形的定義兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，并且對應邊互相平行或位于同一直線上，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個交點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。2、圖形位似的性質位似圖形的任意一對對應點與位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。（1）位似圖形對應線段的比等于相似比； （2）位似圖形的對應角都相等；（3）位似圖形對應點連線的交點是位似中心； （4）位似圖形面積的比等于相似比的平方；（5）位似圖形高、周長的比都等于相似比； （6）位似圖形對應邊互相平行或在同一直線上。01.黃金分割01.黃金分割例題精講 例題精講例1、已知線段AB=8，點C是AB的黃金分割點，則AC=例2、如圖，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分線交AC于點D，交AB于點E，若AE=BC，則點E是線段AB的黃金分割點嗎？說明你的理由．02.相似三角形的性質02.相似三角形的性質例題精講 例題精講例1、兩個相似三角形的面積比為4：9，周長和是20cm，則這兩個三角形的周長分別是（）A．8cm和12cm B．7cm和13cm C．9cm和11cm D．6cm和14cm例2、以邊長為1的正方形ABCD的邊AB為對角線作第二個正方形AEBO1，再以BE為對角線作第三個正方形EFBO2，如此作下去，…，則所作的第n個正方形的面積Sn=．03.利用三角形相似測高距03.利用三角形相似測高距例題精講 例題精講例1、某數學課外實習小組想利用樹影測量樹高，他們在同一時刻測得一身高為1.5米的同學的影子長為1.35米，因大樹靠近一棟建筑物，大樹的影子不全在地面上，他們測得地面部分的影子長BC=3.6米，墻上影子高CD=1.8米，求樹高AB。例2、如圖，某校數學興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來測量操場旗桿AB的高度，他們通過調整測量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點A在同一直線上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目測點D到地面的距離DG=1.5米，到旗桿的水平距離DC=20米，求旗桿的高度．例3、小紅用下面的方法來測量學校教學大樓AB的高度：如圖，在水平地面點E處放一面平面鏡，鏡子與教學大樓的距離AE=20米．當她與鏡子的距離CE=2.5米時，她剛好能從鏡子中看到教學大樓的頂端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，請你幫助小紅測量出大樓AB的高度（注：入射角=反射角）．04.圖形的位似04.圖形的位似例題精講 例題精講例1、對于平面圖形上的任意兩點P，Q，如果經過某種變換得到新圖形上的對應點P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我們把這種變換稱為“等距變換”，下列變換中不一定是等距變換的是（）A．平移 B．旋轉 C．軸對稱 D．位似例2、如圖，在平面直角坐標中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為，點A，B，E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為6，則C點坐標為（）A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）舉一反三 舉一反三1、將一個三角形改成與它相似的三角形，如果面積擴大為原來的9倍，那么周長擴大為原來的（）A．9倍 B．3倍 C．81倍 D．18倍2、己知兩個相似三角形周長的比為3：2，其中較小的三角形面積為12，則較大的三角形的面積是（）A．27 B．24 C．18 D．163、已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為，則△ABC與△DEF對應中線的比為（）A． B． C． D．4、如圖，以點O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，則△A′B′C′與△ABC的面積比為（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：95、如圖，為了測量一水塔的高度，小強用2米的竹竿做測量工具，移動竹竿，使竹竿、水塔的頂端的影子恰好落在地面的同一點．此時，竹竿與這一點相距8米，與水塔相距32米，則水塔的高度為米．第4題圖 第5題圖6、兩個相似三角形周長之比為4∶9，面積之和為291，則面積分別是。7、在同一時刻兩根木竿在太陽光下的影子如圖所示，其中木竿AB=2.5m，它的影子BC=2m，木竿PQ的影子有一部分落在了墻上，PM=1.6m，MN=1m，求木竿PQ的長度．8、如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件PQMN，使正方形PQMN的邊QM在BC上，其余兩個項點P，N分別在AB，AC上．求這個正方形零件PQMN面積S.課后鞏固 課后鞏固1、如圖，已知點P是線段AB的黃金分割點，AP＞PB，若AB=1，則AP長約為（）A．1 B．0.618 C．0.5 D．0.3822、兩個相似三角形，他們的周長分別是36和12．周長較大的三角形的最大邊為15，周長較小的三角形的最小邊為3，則周長較大的三角形的面積是（）A．52 B．54 C．56 D．583、已知兩個相似三角形的對應邊長分別為9cm和11cm，它們的周長相差20cm，則這兩個三角形的周長分別為（）A．45cm，65cm B．90cm，110cm C．45cm，55cm D．70cm，90cm4、如圖，M是Rt△ABC的斜邊BC上一點（M不與B、C重合），過點M作直線截△ABC，所得的三角形與△ABC相似，這樣的直線共有（）A．0條 B．2條 C．3條 D．無數條第4題圖 第5題圖 第6題圖 第7題圖5、如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點A的對應點A′的坐標是（）A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）6、如圖，△ABC是一塊銳角三角形的材料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是mm．7、趙亮同學想利用影長測量學校旗桿的高度，如圖，他在某一時刻立1米長的標桿測得其影長為1.2米，同時旗桿的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墻上，分別測得其長度為9.6米和2米，則學校旗桿的高度為米．8、為了測量校園水平地面上一棵樹的高度，數學興趣小組利用一根標桿、皮尺，設計如圖所示的測量方案．已知測量同學眼睛A、標桿頂端F、樹的頂端E在同一直線上，此同學眼睛距地面1.6米，標桿高為3.2米，且BC=2米，CD=6米，求樹ED的高．9、學習投影后，小明、小穎利用燈光下自己的影子長度來測量一路燈的高度，并探究影子長度的變化規律．如圖，在同一時間，身高為1.6m的小明（AB）的影子BC長是3m，而小穎（EH）剛好在路燈燈泡的正下方H點，并測得HB=6m．（1）請在圖中畫出形成影子的光線，并確定路燈燈泡所在的位置G；（2）求路燈燈泡的垂直高度GH；（3）如果小明沿線段BH向小穎（點H）走去，當小明走到BH中點B1處時，求其影子B1C1的長；當小明繼續走剩下路程的到B2處時，求其影子B2C2的長；當小明繼續走剩下路程的到B3處，…按此規律繼續走下去，當小明走剩下路程的到Bn處時，其影子BnCn的長為m．（直接用n的代數式表示）

直擊中考 直擊中考1、小明想測量一棵樹的高度，他發現樹的影子恰好落在地面和一斜坡上，如圖，此時測得地面上的影長為8米，坡面上的影長為4米．已知斜坡的坡角為30°，同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2米，則樹的高度為（）A.（6+）米B.12米C.（4﹣2）米D.10米已知，△ABC∽△DEF，△ABC的周長為3，△DEF的周長為1，則△ABC與△DEF的面積之比為__________．3、小明想利用太陽光測量樓高．他帶著皮尺來到一棟樓下，發現對面墻上有這棟樓的影子，針對這種情況，他設計了一種測量方案，具體測量情況如下：如示意圖，小明邊移動邊觀察，發現站到點E處時，可以使自己落在墻上的影子與這棟樓落在墻上的影子重疊，且高度恰好相同．此時，測得小明落在墻上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（點A、E、C在同一直線上）．已知小明的身高EF是1.7m，請你幫小明求出樓高AB．（結果精確到0.1m）/

第13講圖形思想課--相似三角形的性質、應用及位似知識梳理（一）黃金分割在線段AB上，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC＞BC)，如果AC＝eq\f(\r(5)－1,2)AB，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比，黃金比約為0.618，一條線段的黃金分割點有2個.（二）相似三角形的性質1、相似三角形對應角相等，對應邊成比例.2、相似三角形對應高的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比.3、相似三角形周長的比等于相似比.4、相似三角形面積的比等于相似比的平方.（三）利用三角形相似測量高度方法1、利用陽光下的影子測量物高根據太陽光線是平行的，尋找相似三角形.在同一時刻，EQ\F(被測量物體的實際高度,被測量物體的影長)=\F(某物體的實際高度,某物體的影長)2、利用標桿測量物高觀測者的眼睛、標桿頂端、旗桿頂端“三點一線”.3、利用鏡子原理測量物高借助“反射角等于入射角”找出相等的角，得到三角形相似.（四）圖形的位似1、位似圖形的定義兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，并且對應邊互相平行或位于同一直線上，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個交點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。2、圖形位似的性質位似圖形的任意一對對應點與位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。（1）位似圖形對應線段的比等于相似比； （2）位似圖形的對應角都相等；（3）位似圖形對應點連線的交點是位似中心； （4）位似圖形面積的比等于相似比的平方；（5）位似圖形高、周長的比都等于相似比； （6）位似圖形對應邊互相平行或在同一直線上。01.黃金分割01.黃金分割例題精講 例題精講例1、已知線段AB=8，點C是AB的黃金分割點，則AC=【解析】根據黃金分割點的概念，應有兩種情況，當AC是較長線段時，AC=4×=2﹣2；當AC是較短線段時，則AC=4﹣2+2=6﹣2．故本題答案為：2﹣2或6﹣2．例2、如圖，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分線交AC于點D，交AB于點E，若AE=BC，則點E是線段AB的黃金分割點嗎？說明你的理由．【解析】點E是線段AB的黃金分割點．證明（略）02.相似三角形的性質02.相似三角形的性質例題精講 例題精講例1、兩個相似三角形的面積比為4：9，周長和是20cm，則這兩個三角形的周長分別是（）A．8cm和12cm B．7cm和13cm C．9cm和11cm D．6cm和14cm【解析】A．例2、以邊長為1的正方形ABCD的邊AB為對角線作第二個正方形AEBO1，再以BE為對角線作第三個正方形EFBO2，如此作下去，…，則所作的第n個正方形的面積Sn=．【解析】∵正方形ABCD的邊長為1，∴AB=1，AC=，∴AE=AO1=，則：AO2=AB=，∴S2=，S3=，S4=，∴作的第n個正方形的面積Sn=．故答案為：．03.利用三角形相似測高距03.利用三角形相似測高距例題精講 例題精講例1、某數學課外實習小組想利用樹影測量樹高，他們在同一時刻測得一身高為1.5米的同學的影子長為1.35米，因大樹靠近一棟建筑物，大樹的影子不全在地面上，他們測得地面部分的影子長BC=3.6米，墻上影子高CD=1.8米，求樹高AB。【解析】過點D作DE⊥AB于E，根據題題意得：四邊形BCDE是矩形，∴BE=CD=1.8m，∴EQ\F(AE,DE)=\F(1.5,1.35)\F(AE,3.6)=\F(1.5,1.35)解得：AE=4，∴AB=AE+BE=4+1.8=5.8（m），樹高AB為5.8m．例2、如圖，某校數學興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來測量操場旗桿AB的高度，他們通過調整測量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點A在同一直線上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目測點D到地面的距離DG=1.5米，到旗桿的水平距離DC=20米，求旗桿的高度．【解析】由題意可得：△DEF∽△DCA，則=，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，∴=，解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），旗桿的高度為11.5m．例3、小紅用下面的方法來測量學校教學大樓AB的高度：如圖，在水平地面點E處放一面平面鏡，鏡子與教學大樓的距離AE=20米．當她與鏡子的距離CE=2.5米時，她剛好能從鏡子中看到教學大樓的頂端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，請你幫助小紅測量出大樓AB的高度（注：入射角=反射角）．【解析】∵根據反射定律知：∠FEB=∠FED，∴∠BEA=∠DEC∵∠BAE=∠DCE=90°∴△BAE∽△DCE∴；∵CE=2.5米，DC=1.6米，∴；∴AB=12.8∴大樓AB的高為12.8米．04.圖形的位似04.圖形的位似例題精講 例題精講例1、對于平面圖形上的任意兩點P，Q，如果經過某種變換得到新圖形上的對應點P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我們把這種變換稱為“等距變換”，下列變換中不一定是等距變換的是（）A．平移 B．旋轉 C．軸對稱 D．位似【解析】位似變換的性質：位似變換的兩個圖形是相似形，則位似變換不一定是等距變換，故選：D．例2、如圖，在平面直角坐標中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為，點A，B，E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為6，則C點坐標為（）A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）【解析】∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為，∴=，∵BG=6，∴AD=BC=2，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴=，∴=，解得：OA=1，∴OB=3，∴C點坐標為：（3，2），故選：A．舉一反三 舉一反三1、將一個三角形改成與它相似的三角形，如果面積擴大為原來的9倍，那么周長擴大為原來的（）A．9倍 B．3倍 C．81倍 D．18倍【解析】B．2、己知兩個相似三角形周長的比為3：2，其中較小的三角形面積為12，則較大的三角形的面積是（）A．27 B．24 C．18 D．16【解析】A3、已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為，則△ABC與△DEF對應中線的比為（）A． B． C． D．【解析】A4、如圖，以點O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，則△A′B′C′與△ABC的面積比為（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9【解析】∵OB=3OB′，∴，∵以點O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽ABC，∴=．∴=，故選D5、如圖，為了測量一水塔的高度，小強用2米的竹竿做測量工具，移動竹竿，使竹竿、水塔的頂端的影子恰好落在地面的同一點．此時，竹竿與這一點相距8米，與水塔相距32米，則水塔的高度為10米．【解析】∵BC⊥AD，ED⊥AD，∴BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴，即，∴DE=10，即水塔的高度是10米．6、兩個相似三角形周長之比為4∶9，面積之和為291，則面積分別是。【解析】48；2437、在同一時刻兩根木竿在太陽光下的影子如圖所示，其中木竿AB=2.5m，它的影子BC=2m，木竿PQ的影子有一部分落在了墻上，PM=1.6m，MN=1m，求木竿PQ的長度．【解析】過N點作ND⊥PQ于D，如圖所示：∴，又∵AB=2，BC=1.6，DN=PM=1.2，NM=0.8，∴QD===1.5，∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+1=2.5（m）．木竿PQ的長度為2.5m．8、如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件PQMN，使正方形PQMN的邊QM在BC上，其余兩個項點P，N分別在AB，AC上．求這個正方形零件PQMN面積S.【解析】PN與AD交于點E，如圖，設MN=xmm，易得四邊形MNED為矩形，則ED=MN=x，∴AE=AD﹣ED=80﹣x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴=，即=，∴PN=（80﹣x），∵PN=MN，∴（80﹣x）=x，解得x=48．故正方形零件PQMN面積S為：48×48=2304（mm2）．9、“福龍麗景”的居民籌集資金650元，計劃在樓前一塊上底5m、下底10m的梯形（如圖①）空地上種植花草，美化環境．（1）試求△AED與△BEC的面積比；（2）他們在△AED和△BEC地帶上種康乃馨，單價為10元/m2，共花250元．若其余地帶（△ABE和△DCE）可種蘭花或茉莉花，單價分別為20元/m2、15元/m2，那么應選擇種哪種花，剛好用完所籌集資金？（3）若梯形ABCD為等腰梯形（如圖②），請你設計一種花壇圖案，即在梯形內找到一點P，使得△APB≌△DPC，S△APD=S△BPC，并說明理由．【解析】（1）∵梯形ABCD的邊AD∥BC，∴△AED∽△BEC，∴△AED與△BEC的面積比=（AD：BC）2=（5：10）2=1：4；（2）設△AED的邊AD上的高為h，∵△AED∽△BEC，∴△BEC的邊BC上的高為h=2h，∴×5h+×10×2h=250÷10，解得h=2，∴梯形的高為h+2h=2+2×2=6，△ABE和△DCE的面積之和=×（5+10）×6﹣250÷10=45﹣25=20m2，∴所種花的單價=（650﹣250）÷20=20元/m2，答：選擇種蘭花，剛好用完所籌集資金；（3）∵△APB≌△DPC，∴點P在對稱軸上，∵AD=5cm，BC=10cm，S△APD=S△BPC，∴點P到AD的距離等于到BC的距離的2倍，點P的位置如圖所示．課后鞏固 課后鞏固1、如圖，已知點P是線段AB的黃金分割點，AP＞PB，若AB=1，則AP長約為（）A．1 B．0.618 C．0.5 D．0.382【解析】由于P為線段AB=1的黃金分割點，且AP是較長線段；則AP=AB=≈0.618．2、兩個相似三角形，他們的周長分別是36和12．周長較大的三角形的最大邊為15，周長較小的三角形的最小邊為3，則周長較大的三角形的面積是（）A．52 B．54 C．56 D．58【解析】B．3、已知兩個相似三角形的對應邊長分別為9cm和11cm，它們的周長相差20cm，則這兩個三角形的周長分別為（）A．45cm，65cm B．90cm，110cm C．45cm，55cm D．70cm，90cm【解析】B．4、如圖，M是Rt△ABC的斜邊BC上一點（M不與B、C重合），過點M作直線截△ABC，所得的三角形與△ABC相似，這樣的直線共有（）A．0條 B．2條 C．3條 D．無數條【解析】C．5、如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點A的對應點A′的坐標是（）A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）【解析】∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，∴點A的對應點A′的坐標為（﹣3×，6×）或[﹣3×（﹣），6×（﹣）]即A′點的坐標為（﹣1，2）或（1，﹣2）．故選D6、如圖，△ABC是一塊銳角三角形的材料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是mm．【解析】∵正方形PQMN的QM邊在BC上，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴．設ED=x，∴PN=MN=ED=x，，∴解得：x=48，∴這個正方形零件的邊長是48mm．故答案為：48．7、趙亮同學想利用影長測量學校旗桿的高度，如圖，他在某一時刻立1米長的標桿測得其影長為1.2米，同時旗桿的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墻上，分別測得其長度為9.6米和2米，則學校旗桿的高度為米．【解析】1米長的標桿測得其影長為1.2米，即某一時刻實際高度和影長之比為定值，所以墻上的2米投射到地面上實際為2.4米，即旗桿影長為12米，因此旗桿總高度為10米．8、為了測量校園水平地面上一棵樹的高度，數學興趣小組利用一根標桿、皮尺，設計如圖所示的測量方案．已知測量同學眼睛A、標桿頂端F、樹的頂端E在同一直線上，此同學眼睛距地面1.6米，標桿高為3.2米，且BC=2米，CD=6米，求樹ED的高．【解析】過A作AH垂直ED，垂足為H，交線段FC與G，由題知，∵FG∥EH，∴△AFG∽△AEH，∴=，又因為AG=BC=2，AH=BD=2+6=8，FG=FC﹣GC=3.2﹣1.6=1.6，所以=，解得：EH=6.4，則ED=EH+HD=6.4+1.6=8（m）．樹ED的高為8米．9、