/清單02一元二次方程（5個考點梳理+16種題型解讀+提升訓練）清單01一元二次方程基礎一元二次方程的定義：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，它的特征：等號左邊是一個關于未知數的二次多項式，等號右邊是0.其中：【補充說明】1)一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理后都可以化成ax22)二次項系數、一次項系數和常數項都是在一般形式下定義的，所以在確定一元二次方程各項的系數時，應先將方程化為一般形式，并且在說明各項系數的時，一定要帶上前面的符號.3)當方程中的二次項系數含有字母時，若字母的取值不確定，則這個方程不一定是一元二次方程.【易錯/熱考】如果明確了ax2+一元二次方程的根的定義：能使一元二次方程左、右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解（根）.清單02解一元二次方程基本思路：通過“降次”，將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程，分別解兩個一元一次方程，得到的兩個解就是原方程的解.1.直接開平方法（基礎）定義：通過開平方運算解一元二次方程的方法叫直接開平法.形如ax2=b 當b＞0時，則x1=ba=，x2=- 當b＝0時，則，此時方程有兩個相等的實數根； 當b＜0時，則方程無實數根.2.配方法（基礎）定義：通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法叫做配方法.配方的實質：將方程化為的形式，當m≥0時，直接用直接開平方法求解.3.公式法定義：一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)用公式法解一元二次方程的一般步驟：1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值(若系數是分數通常將其化為整數，方便計算)；2）求出的值，根據其值的情況確定一元二次方程是否有解；3）如果,將a、b、c的值代入求根公式：；4）最后求出.【補充說明】求根公式的使用條件：4.因式分解法定義：利用因式分解，將方程化為兩個一次因式乘積等于0的形式，再使這兩個一次因式分別等于0，從而實現降次，這種解法叫做因式分解法.依據：如果兩個一次因式的積為0，那么這兩個因式中至少一個為0，即若ab=0，則a=0或b=0.口訣：右化零，左分解，兩因式，各求解.【補充說明】利用因式分解法解方程時，含有未知數的式子可能為零，所以在解方程時，不能在兩邊同時除以含有未知數的式子，以免丟根，需通過移項,將方程右邊化為0.清單03根的判別式根的判別式的定義：一般地，式子叫做一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母Δ表示，即.根的情況與判別式的關系：在實數范圍內，一元二次方程的根的情況由其系數a，b，c，即確定.1）方程有兩個不相等的實根:x=?b±b2）方程有兩個相等的實根：x1=x3）方程無實根.【補充說明】由此可知，一元二次方程有解分兩種情況：1）有兩個相等的實數根；2）有兩個不相等的實數根．清單04韋達定理若一元二次方程的兩個根是，則與方程的系數a，b，c之間有如下關系：x1+x2＝?ba，x1【補充說明】1）一元二次方程的根與系數的關系又稱之為“韋達定理”；2）一元二次方程根與系數關系的使用條件：.3）運用根與系數的關系和運用根的判別式一樣,都必須先把方程化為一般形式，以便正確確定a、b、c的值.4）利用根與系數的關系還可以求出關于、的代數式的值，涉及到的變形如下：清單05一元二次方程的應用用一元二次方程解決實際問題的步驟：審：理解并找出實際問題中的等量關系;設：用代數式表示實際問題中的基礎數據;列：找到所列代數式中的等量關系，以此為依據列出方程;解：求解方程;驗：考慮求出的解是否具有實際意義;答：實際問題的答案.【考點題型一】識別一元二次方程（）1．（21-22八年級下·浙江寧波·期末）下列方程中，屬于一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是一元二次方程的定義，即只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．根據一元二次方程的定義對各選項進行逐一分析即可．【詳解】解：A、，不符合一元二次方程的定義，故本選項不符合題意；B、，符合一元二次方程的定義，故本選項符合題意；C、，含有兩個未知數，是二元二次方程，故本選項不符合題意；D、，分母中含有未知數，是分式方程，故本選項不符合題意；故選：B．2．（23-24八年級下·浙江杭州·期末）下列方程中是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的定義：只含有一個未知數，未知數的最高次數為2的整式方程是一元二次方程，注意將各個方程進行整理化簡后為一般式后，再去進行判斷．【詳解】解：A、含有兩個未知數，不是一元二次方程，不符合題意；B、未知數最高次數為1，不是一元二次方程，不符合題意；C、是一元二次方程，不符合題意；D、不是整式方程，不符合題意；故選：C．3．（23-24八年級下·浙江寧波·期末）下列方程中，為一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，只含有一個未知數，且未知數的最高次為2的整式方程叫做一元二次方程，據此逐一判斷即可．【詳解】解：A、是一元二次方程，符合題意；B、未知數的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合題意；C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意；D、含有兩個未知數，不是一元二次方程，不符合題意；故選：A．【考點題型二】化成一元二次方程一般式（）4．（21-22九年級·全國·假期作業）將方程改寫成的形式，則，，的值分別為（）A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，，【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握“任何一個關于的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式（）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次項，叫做二次項系數；叫做一次項，是一次項系數；叫做常數項”是解題的關鍵．【詳解】解：∵可化為，∴它的二次項系數，一次項系數和常數項分別為2，，7，故選：C．5．（22-23八年級下·浙江·期末）把一元二次方程化成一般形式，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據一元二次方程的一般形式為求解即可．【詳解】解：由得：，則，故選：A．【點睛】本題考查一元二次方程方程的一般形式，熟記一元二次方程的一般形式結構特征是解答的關鍵．6．（21-22八年級下·浙江溫州·期末）把一元二次方程化為一般形式，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將方程整理為一般式即可．【詳解】解：，，即．故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式的形式為是解題的關鍵．7．（20-21八年級下·浙江杭州·期末）把一元二次方程化為一般形式為，一次項系數為．【答案】x2-6x+5=06【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0），在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．【詳解】解：把一元二次方程（x-3）2=4化為一般形式為：x2-6x+5=0，一次項系數為-6，故答案為：x2-6x+5=0，6．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，去括號的過程中要注意符號的變化，以及注意不能漏乘，移項時要注意變號．注意在說明二次項系數，一次項系數，常數項時，一定要帶上前面的符號．【考點題型三】已知一元二次方程的解求參數或代數式的值（）8．（24-25八年級上·浙江寧波·期末）關于x的一元二次方程的一個根為0，則a的值為（

）A．2 B． C．1或 D．2或【答案】B【分析】本題考查一元二次方程的定義和方程的解，因為方程為一元二次方程，所以二次項系數，然后根據方程的一個根為0，將代入方程可求出a的值．【詳解】解：∵一元二次方程的一個根為0，∴且，∴，故選：B．9．（23-24八年級下·浙江紹興·期末）若一元二次方程有一個根為1，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的解，解題的關鍵是掌握一元二次方程解的定義．把代入方程可得關于a的一元一次方程，即可解得答案．【詳解】解：∵一元二次方程有一個根為1，∴，解得，故選：D．10．（23-24八年級下·浙江衢州·期末）如果關于x的一元二次方程的一個解是，則代數式的值為（

）A． B． C．2023 D．2025【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程解的定義得到，然后把變形為，再利用整體代入的方法計算．【詳解】解：把代入方程得，所以，所以．故選：C．11．（23-24八年級下·浙江寧波·期末）若一元二次方程的一個根為，則代數式的值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程解的定義；根據方程的解代入方程滿足等式關系，再整體代入計算求值即可；【詳解】解：∵一元二次方程的一個根為，∴，即∴故答案為：．【考點題型四】解一元二次方程-直接開平方法（）12．（21-22八年級下·浙江杭州·期末）一元二次方程的解是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程．利用直接開平方法，將方程兩邊直接開平方即可．【詳解】解；，兩邊直接開平方得：，，，故選：D．13．（23-24八年級下·浙江嘉興·期末）若關于x的方程（h，k均為常數）的解是，，則關于y的方程的解是．【答案】，【分析】此題考查了方程的解，解一元二次方程直接開平方法，熟練掌握平方根定義是解本題的關鍵．仿照已知方程的解確定出所求方程的解即可．【詳解】解：關于的方程，均為常數）的解是，，的解是或，即，．故答案為：，．14．（22-23九年級上·浙江臺州·期末）對于解關于x的一元二次方程，可以通過降次轉化為兩個一元一次方程，若其中一個一元一次方程是，則m的值為．【答案】4【分析】本題考查了解利用直接開平方法一元二次方程，利用直接開平方法解一元二次方程得到，結合其中一個解進行計算即可．【詳解】解：根據題意得，∵其中一個一元一次方程是，∴，則．故答案為：4．【考點題型五】解一元二次方程-配方法（）15．（22-23八年級下·浙江麗水·期末）用配方法解方程:，下列配方正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了解一元二次方程-配方法，根據題意把常數項2移項后，應在左右兩邊分別同時加上一次項系數的一半的平方，即可求出答案．【詳解】解：把方程的常數項移到等號的右邊，得到，方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，得到，配方得．故選：A．16．（23-24八年級下·浙江寧波·期末）用配方法解方程，下列變形正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了配方法解一元二次方程；方程左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方，再利用完全平方公式變形即可．【詳解】解：方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方得：，由完全平方公式得：，故選：C．17．（23-24八年級下·浙江紹興·期末）用配方法解方程時，變形結果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步驟是解題的關鍵．根據配方法的步驟先把常數項移到等號的右邊，再在等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方，配成完全平方的形式，從而得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴；故選：A．18．（23-24八年級下·浙江麗水·期末）若方程經配方法轉化成，則的值是．【答案】【分析】本題考查了解一元二次方程配方法．利用完全平方公式把變形為一般式，從而得到的值．【詳解】解：，，．故答案為：．19．（23-24八年級下·浙江金華·期末）解方程(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟知直接開平方法和配方法是解題的關鍵．（1）利用直接開平方解方程即可；（2）利用配方法解方程即可．【詳解】（1）解：，，．（2）解：，，，，，．【考點題型六】解一元二次方程-公式法（）20．（23-24八年級下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根時，小珺正確地代入了a，b，c得到，則她求解的一元二次方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，解題的關鍵是掌握求根公式中字母所表示的意義．根據求根公式解答．【詳解】解：由知：，，．所以該一元二次方程為：．故選：A．21．（21-22八年級下·浙江·期末）用公式法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0時，計算b2﹣4ac的結果為（

）A．17 B．14 C．11 D．8【答案】A【分析】根據公式法求解一元二次方程可進行求解．【詳解】解：由一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0可知：，∴；故選A．【點睛】本題主要考查公式法求一元二次方程，熟練掌握公式法是解題的關鍵．22．（21-22八年級下·全國·單元測試）關于的一元二次方程＝的兩根為．【答案】，【分析】整理成一般式后，利用公式法求解可得．【詳解】解：整理得：，∵，，，∴，∴，∴，．故答案為：，．【點睛】本題主要考查了公式法解一元二次方程，熟練掌握求根公式是解題的關鍵．23．（22-23八年級下·浙江紹興·期末）在學習多邊形的相關知識時，小張同學和小王同學對老師布置“探究多邊形的對角線條數”的作業很感興趣，小張同學探究得到了邊形的對角線條數的公式，并通過上網查證自己探究的結論是正確的．下圖是兩位同學進行交流的情景．小王同學把哪個多邊形對角線的條數數錯了？請你通過計算或者畫圖來說明．

【答案】對角線為10條的數錯了，見解析【分析】方法一：用公式做，已知邊形的對角線條數為，若邊形的對角線條數為10，則，，不是完全平方數，因為為正整數，所以方程的解不符合題意，所以多邊形的對角線條數為10條是錯誤的．方法二：畫圖說明，邊形的對角線條數隨的增大而增大，畫出六邊形、七邊形的對角線條數分別9條、14條（如下圖），10個于9與14之間，所以10條是錯誤的．【詳解】解：對角線為10條的數錯了．方法一：用公式做，已知邊形的對角線條數為，若邊形的對角線條數為10，則，化簡得，，不是完全平方數，因為為正整數，所以方程的解不符合題意，所以多邊形的對角線條數為10條是錯誤的．（直接解得，，兩個解均不符合題意，由此得到這個多邊形的對角線條數為10條是錯誤的）或：若邊形的對角線條數為14，則，解得（舍去），．所以對角線是14條是正確的，10條是錯誤的．方法二：畫圖說明邊形的對角線條數隨的增大而增大，畫出六邊形、七邊形的對角線條數分別9條、14條（如下圖），10個于9與14之間，所以10條是錯誤的．六邊形：

七邊形：

【點睛】本題考查多邊形的對角線，正確理解題意是解題的關鍵．【考點題型七】解一元二次方程-因式分解法（）24．（23-24八年級下·浙江杭州·期末）方程的兩個根的和是（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】C【分析】此題主要考查了因式分解法解方程，解方程求出兩個根，可得結論．正確分解因式是解題關鍵．【詳解】解：∵，∴或，∴，，∴，故選：C．25．（21-22八年級下·浙江紹興·期末）方程的根是(

)A． B． C．， D．，【答案】C【分析】把原方程化為或，從而可得答案．【詳解】解：，∴或，解得：，，故選C【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解一元二次方程是解本題的關鍵．26．（22-23九年級上·云南楚雄·期末）已知一元二次方程的兩個根是菱形的兩條對角線長，則這個菱形的周長為（

）A．20 B．24 C．40 D．48【答案】A【分析】利用因式分解法求出的值，從而得出菱形的邊長，再利用菱形對角線互相平分、垂直的性質得出邊長，從而得出答案．【詳解】解：，，解得或，則菱形的兩條對角線的長為6和8，菱形的邊長為，菱形的周長為20，故選A．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，勾股定理，菱形的性質，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．27．（23-24八年級下·浙江杭州·期末）已知a，b為常數，若方程的兩個根與方程的兩個根相同，則．【答案】【分析】本題主要考查了解一元二次方程-因式分解法，先求出方程的解，進而可求出的值，據此可解決問題．熟知因式分解法解一元二次方程是解題的關鍵．【詳解】解：由方程得，，．因為方程的兩個根與方程的兩個根相同，則將代入得，，解方程得，，，所以．故答案為：．【考點題型八】不解方程判斷一元二次方程根的情況（）28．（2024·河南駐馬店·三模）下列一元二次方程中，有兩個不相等的實數根的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查根的判別式．分別求出每個方程判別式的值，根據判別式的值與方程的解的個數間的關系得出答案．【詳解】解：A、，方程沒有實數根，不符合題意；B、，方程有兩個相等的實數根，不符合題意；C、，方程有兩個不相等的實數根，符合題意；D、，方程沒有實數根，不符合題意；故選：C．29．（22-23八年級下·浙江杭州·期末）關于x的方程的根的情況是（）A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根C．只有一個實數根 D．沒有實數根【答案】B【分析】先計算根的判別式的值，然后利用根的判別式的意義判斷方程根的情況即可.【詳解】解：∵，∴方程有兩個不相等的實數根，故選：B.【點睛】本題主要考查根的判別式，要熟練掌握各種情況，準確判斷根的個數.30．（22-23八年級下·浙江寧波·期末）一元二次方程的根的情況為（

）A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根C．沒有實數根 D．無法確定【答案】B【分析】求出判別式的值，進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴方程有兩個不相等的實數根，故選B．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式．熟練掌握判別式與根的個數的關系，是解題的關鍵．31．（21-22八年級下·北京海淀·期中）關于的一元二次方程的根的情況為．【答案】方程有兩個不相等的實數根【分析】根據根的判別式的值的符號可以判斷根的情況．【詳解】解：，，，，方程有兩個不相等的實數根．故答案為：方程有兩個不相等的實數根．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的情況與判別式的關系：（1），方程有兩個不相等的實數根；（2），方程有兩個相等的實數根；（3），方程沒有實數根，掌握一元二次方程根的判定方法是解題的關鍵．【考點題型九】根據一元二次方程根的情況求參數（）32．（23-24八年級下·浙江紹興·期末）若方程有兩個相等的實數根，則的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【分析】本題主要考查解一元二次方程根的判別式，掌握根的判別式是解題的關鍵．本題有兩個相等的實數根，即，代入數值計算求解即可．【詳解】解：∵該方程有兩個相等實根，∴，解得；故答案為：C．33．（22-23八年級下·浙江嘉興·期末）已知關于x的一元二次方程有兩個大于2的實數根，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據方程有兩個實數根，得到，根據根與系數的關系，得到，進行求解即可．【詳解】解：設方程的兩個根為，則，∴，∴解得，又方程有兩個實數根，∴，∴，∴；故選D．【點睛】本題考查根與判別式以及根與系數的關系．熟練掌握相關知識點，列出不等式，是解題的關鍵．34．（23-24八年級下·浙江衢州·期末）的一邊為5，另外兩邊的長恰好是方程的兩個根，則m的取值范圍．【答案】【分析】本題主要考查了三角形和一元二次方程結合．熟練掌握三角形三邊關系，一元二次方程根與系數的關系，根的判別式與根和關系是解決問題的關鍵．根據一元二次方程的根與系數的關系及三角形的三邊關系可得到，把兩根之積與兩根之和代入的變形中，可求得m的取值范圍，再由根的判別式確定出m的最后取值范圍．【詳解】解：由根與系數的關系可得：，，又由三角形的三邊關系可得：，∴，即，解得：；∵方程有兩個實根，∴，解得．∴．故答案為：．35．（22-23八年級下·浙江溫州·期中）若關于x的方程有實數根，則k的取值范圍是．【答案】【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有實數根，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根．【考點題型十】一元二次方程根與系數的關系（）36．（23-24八年級下·浙江金華·期末）已知一元二次方程的兩根分別為，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，若，為方程的兩個根，則，與系數的關系式：，直接根據根與系數的關系求解即可．【詳解】解：∵∴，∴，故選：D．37．（23-24八年級下·浙江紹興·期末）在解一元二次方程時，小馬同學粗心地將項的系數與常數項對換了，使得方程也變了．他正確地解出了這個不同的方程，得到一個根是2，另一根等于原方程的一個根．則原方程兩根的平方和是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設原方程為，兩個根為和．新方程為，兩個根為2和．則可得，，．將①②聯立可解得．則可得或，再與聯立可得a、b、c之間的關系．由根與系數的關系可求出與的值，進而可求出的值．本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，推導出a、b、c之間的關系是解題的關鍵．【詳解】解：設原方程為，兩個根為和．新方程為，兩個根為2和．則，，，得，由題意得，∴，∴，∴．當時，，聯立，得，則，，則．當時，，聯立，得，則，，則．綜上，原方程兩根的平方和是．故選：D．38．（23-24八年級下·浙江寧波·期末）已知是方程的兩個根，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了根與系數的關系等知識點，根據一元二次方程根與系數的關系得出和，再利用整體思想即可解決問題，熟知一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．【詳解】∵，是方程的兩個根，∴，，∴，故選：B．39．（23-24八年級下·浙江寧波·期末）已知、是方程的兩個實根，則的值是．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程根和系數的關系，同底數冪乘法的逆用，掌握一元二次方程根和系數的關系是解題關鍵．由題意可知，，，進而整理出，將其代入化簡求值即可．【詳解】解：、是方程的兩個實根，，，，，，故答案為：．40．（23-24八年級下·浙江嘉興·期末）若一元二次方程的兩根為m，n，則．【答案】【分析】本題考查一元二次方程的解、一元二次方程根與系數關系、代數式求值，先將一元二次方程的解代入方程中得，再根據一元二次方程根與系數關系得到，，然后變形所求代數式，進而代值求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程的兩根為m，n，∴，，，即，∴，故答案為：．41．（21-22八年級下·浙江紹興·期末）解答下列各題：(1)用配方法解方程：．(2)設，是一元二次方程的兩根，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先配方，再開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；（2）利用韋達定理得到，，，然后代入計算即可．【詳解】（1），∴，∴，∴，∴，；（2）由一元二次方程的根與系數的關系，得，，∴．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，一元二次方程根與系數的關系，即如果方程的兩個實數根是，那么，；也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商，解題的關鍵是掌握配方法和根與系數的關系進行解題．【考點題型十一】已知一元二次方程的一個解，利用韋達定理求另一個解（）42．（22-23八年級下·浙江寧波·階段練習）一元二次方程的一根為3，則另一根為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】設方程的另一根為t，根據根與系數的關系得到，然后解一次方程即可．【詳解】解：設方程的另一根為t，根據題意得，解得，即方程的另一根為．故選：A．【點睛】本題考查了根與系數的關系：設為一元二次方程的兩根，則有如下關系：，．43．（22-23八年級下·浙江杭州·期末）若關于x的一元二次方程的一個實數根為2，則另一實數根和m的值分別為（）A．， B．，8 C．4， D．4，8【答案】A【分析】設方程的另一實數根為，根據題意得，，然后先求出的值，再計算的值．【詳解】解：設方程的另一實數根為t，根據題意得，，解得，，即方程的另一根為，的值為．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根時，則，．44．（23-24八年級下·浙江杭州·期末）已知方程的一個根為2，則另一個根為．【答案】【分析】本題主要考查了根與系數的關系，利用一元二次方程根與系數的關系即可解決問題．【詳解】解：令方程的另一個根為，則，所以，即方程的另一個根為．故答案為：．【考點題型十二】一元二次方程與實際應用-傳播問題（）45．（2024·重慶沙坪壩·一模）某種植物只有一個主干，該主干上長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是111，設一個主干長出x個支干，則下列方程中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程．由一個主干長出個支干且每個支干又長出同樣數目的小分支，可得出共長出個小分支，再結合主干、支干和小分支的總數是111，即可列出關于的一元二次方程．【詳解】解：一個主干長出個支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，共長出個小分支．根據題意得：．故選：C．46．（21-22八年級下·浙江寧波·期末）一種病毒每輪傳播的人數為x，若某人被感染后，未經有效防護，經過兩輪傳播共感染了144人，則x為（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】A【分析】根據兩輪傳播共感染了144人直接列出一元二次方程即可．【詳解】解：由題意，得1+x+x(1+x)=144，即（1+x）2=144，解得：x1=11，x2=-13（舍去），故選：A．【點睛】本題考查一元二次方程的應用，理解題意，正確列出方程是解答的關鍵．47．（20-21八年級下·浙江嘉興·期末）某校八年級組織籃球賽，若每兩班之間賽一場，共進行了28場，則該校八年級有個班級．【答案】8【分析】設八年級有x個班，根據“各班均組隊參賽，賽制為單循環形式，且共需安排15場比賽”，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【詳解】解：設八年級有x個班，依題意得：x（x-1）=28，整理得：x2-x-56=0，解得：x1=8，x2=-7（不合題意，舍去）．則該校八年級有8個班級．故答案為：8．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．48．（21-22八年級下·浙江紹興·期末）請根據圖片內容，回答下列問題：(1)每輪傳染中，平均一個人傳染了幾個人？(2)按照這樣的速度傳染，第三輪將新增多少名感染者（假設每輪傳染人數相同）？【答案】(1)每輪傳染中，平均一個人傳染了10個人(2)第三輪將新增1210名感染者【分析】（1）設平均一個人傳染了x個人，第一輪傳染了x人，第一輪傳染后一共有（1+x）名感染者；第二輪傳染時這（1+x）人每人又傳染了x人，則第二輪傳染了x（1+x）人，列出方程求解即可；（2）根據（1）中的結果進行計算即可．【詳解】（1）解：設平均一個人傳染了x個人．則可列方程：．解得，（舍去）．答：每輪傳染中，平均一個人傳染了10個人．（2）（名）．答：按照這樣的速度傳染，第三輪將新增1210名感染者．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，正確地理解題意，找出題目中的等量關系列出方程求解是解題的關鍵．【考點題型十三】一元二次方程與實際應用-增長率問題（）49．（22-23八年級下·浙江·期末）“讀萬卷書，行萬里路”，某校為了豐富學生的閱歷知識，堅持開展課外閱讀活動，學生人均閱讀量從七年級的每年100萬字增加到九年級的每年144萬字．設該校七至九年級人均閱讀量年均增長率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查一元二次方程的實際應用，根據平均增長率的等量關系：，列出方程即可．【詳解】解：設該校七至九年級人均閱讀量年均增長率為，則可列方程為；故選A．50．（23-24八年級下·浙江紹興·期末）某種品牌運動服經過兩次降價，每件零售價由元降為元，已知第二次降價的百分率是第一次的倍，求第一次降價的百分率．設第一次降價的百分率為，下面所列的方程中正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的應用——增長率問題．根據某種品牌運動服經過兩次降價，每件零售價由元降為元，已知第二次降價的百分率是第一次的倍，可以列出相應的方程．【詳解】解：由題意可得，．故選：C．51．（22-23八年級下·浙江寧波·期末）2023年杭州亞運會吉祥物一開售，就深受大家的喜愛，某商店以每件35元的價格購進某款亞運會吉祥物，以每件58元的價格出售，經統計，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件．(1)求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率；(2)從7月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經試驗，發現該吉祥物每降價1元，月銷售量就會增加20件．當該吉祥物售價為多少元時，月銷售利潤達8400元？【答案】(1)(2)該款吉祥物售價為50或63元時，月銷售利潤達8400元【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．（1）設該款吉祥物月份到月份銷售量的月平均增長率為，列方程，求解即可；（2）設該吉祥物售價為元，則每件的銷售利潤為元，月銷售量為件，列方程，求解即可．【詳解】（1）解：設該款吉祥物月份到月份銷售量的月平均增長率為，

根據題意得：，

解得：，（不符合題意，舍去）．

答：該款吉祥物月份到月份銷售量的月平均增長率為；（2）解：設該吉祥物售價為元，則每件的銷售利潤為元，月銷售量為件，

根據題意得：，

整理得：，解得：，（不符合題意，舍去）．

答：該款吉祥物售價為或63元時，月銷售利潤達元．【考點題型十四】一元二次方程與實際應用-圖形問題（）52．（23-24八年級下·浙江寧波·期末）《九章算術》．是中國傳統數學重要的著作之一其中第九卷《勾股》記載了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠，則折斷后的竹子高度為多少尺？”(備注：1丈尺)如果設折斷后的竹子高度為x尺，根據題意，可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，勾股定理的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．設折斷后的竹子高度為x尺，根據各部分的長，可得出折斷部分的竹子長尺，利用勾股定理，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：∵竹子原長一丈，折斷后的竹子高度為x尺，∴折斷部分的竹子長尺．根據題意得：．故選：A．53．（23-24八年級下·浙江衢州·期末）“直田積（矩形面積）八百六十四平方步，闊不及長一十二步（寬比長少一十二步），問闊及長各幾步”（選自《田畝比類乘除算法》）．設闊為x步，可列出方程（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的應用與圖形有關的古代問題；由題意得長步，由矩形面積公式建立方程即可．【詳解】解：由題意，闊為x步，則長步，由矩形面積得：；故選：C．54．（23-24八年級下·浙江紹興·期末）如圖，某小區規劃在一個長為、寬為的長方形場地上修建三條同樣寬的通道，使其中兩條與平行，另一條與平行，其余部分種花草．要使每一塊草坪的面積都為，若設通道的寬為．請補全關于的方程：_________．【答案】/【分析】本題考查一元二次方程的應用，如果設通道的寬度為,那么草坪的總長度和總寬度應該為；那么根據每一塊草坪的面積都為，可得出方程【詳解】解：設通道的寬度為，那么草坪的總長度和總寬度應該為；根據題意即可得出方程為：，故答案為：．55．（22-23八年級下·浙江麗水·期末）如圖，以a，b為邊長的矩形面積為，以c為邊長的正方形面積為，已知．（1）當時，則c的值是；（2）若c為整數，，則矩形和正方形的周長之和的值是．【答案】228或【分析】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意得出一元二次方程是解題的關鍵．根據矩形與正方形的面積公式可得，，代入，得出．（1）將代入，解方程即可求出的值；（2）由可得．代入，變形得出，根據為整數，求出可能為2或1．再求出的值，進而得到矩形和正方形的周長之和．【詳解】解：由題意可得，，，．（1）當時，，解得（負值舍去），即．故答案為：2；（2），．，，，為整數，可能取值有：4或1，可能為2或1．當時，，解得（負值舍去）；當時，，解得（負值舍去），矩形和正方形的周長之和為：．當，時，；當，時，．故答案為：28或．56．（23-24八年級下·浙江衢州·期末）實驗基地有一長為10米的墻，研究小組想利用墻和長37米的籬笆，在前面的空地圍出一個矩形種植園，且在墻對面的籬笆上開一個寬為1米的門．

(1)小徐按圖1的方案圍成矩形種植園（為墻的一部分），當矩形種植園的面積為時，求出矩形種植園一邊的長．(2)小祝按照圖2的方案圍成矩形種植園（墻為邊的一部分），能否圍成面積為的矩形種植園，若能，請求出矩形種植園的一組鄰邊長；若不能，請說明理由．【答案】(1)矩形種植園一邊的長15米(2)不能圍成面積為的矩形種植園【分析】本題主要考查了一元一次不等式組的應用和一元二次方程的應用，根據題意，列出等量關系式，然后再求解即可得出結果，理解題意是解題關鍵．（1）方案1：設的長為x米，根據題意得出面積的等量關系式，然后求解即可；（2）方案2：設的長為x米，然后確定相應面積關系式求解即可；【詳解】（1）解：設的長為x米，則，解得：．∵，

∴，∴舍去，．

答：矩形種植園一邊的長15米．（2）解：設的長為x米，則，化簡得，，

∴不能圍成，答：不能圍成面積為的矩形種植園．57．（23-24八年級下·浙江紹興·期末）如圖，某校旁邊有一塊長為，寬為的矩形荒地，地方政府準備在此對該校進行擴建，打算建造教學樓和行政樓．圖中陰影部分為通道，通道的寬度均相等，中間三個矩形空白區域將建造教學樓和行政樓（其中每個矩形的一邊長均為（））．(1)設通道的寬度為，則________（用含的代數式表示）；(2)若建造教學樓和行政樓的空白區域的總占地面積為，請問通道的寬度為多少？【答案】(1)(2)通道的寬度為．【分析】本題考查了列代數式及一元二次方程的應用，（1）結合圖形可得：長為，內部兩個矩形的寬為，通道寬為，可得式，化簡即可得；（2）結合圖形，利用大面積減去黑色部分的面積可得方程，求解即可得．【詳解】（1）解：結合圖形可得：長為，內部兩個矩形的寬為，通道寬為，∴，，故答案為：；（2）解：根據題意得：，∵，∴，解得（不合題意，舍去）．∴通道的寬度為．【考點題型十五】一元二次方程與實際應用-數字問題（）58．（24-25九年級上·遼寧鐵嶺·期末）我國民間流傳著一道《周瑜壽數》的詩歌形式的數學題：“大江東去浪淘盡，千古風流數人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數；十位恰小個位三，個位平方與壽符；哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？”大意為：“周瑜逝世時年齡為兩位數，該數的十位數字比個位數字小3，個位數字的平方恰好等于該數．”若設周瑜逝世年齡的個位數字為，則根據題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元二次方程，正確理解題意找到等量關系是解題的關鍵．設周瑜逝世年齡的個位數字為，根據題意列出方程即可．【詳解】設周瑜逝世年齡的個位數字為，根據題意得，．故選：B．59．（2024八年級下·全國·專題練習）一個兩位數，個位上的數字比十位上的數字小4，且個位數字與十位數字的平方和比這個兩位數大4．設個位數字為，則方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的應用，數的表示方法，要會利用未知數表示兩位數，然后根據題意列出對應的方程求解．根據個位數與十位數的關系，可知十位數為，那么這兩位數為：，這兩個數的平方和為：，再根據兩數的值相差4即可得出答案．【詳解】解：依題意得：十位數字為：，這個數為：這兩個數的平方和為：，兩數相差4，．故選：D．60．（24-25九年級上·湖南衡陽·期中）一個兩位數，個位數字與十位數字之和是5，十位數字與個位數字對調后所得的數與原數相乘，得736，這個兩位數是．【答案】23或32【分析】本題主要考查一元二次方程的應用．設原數的個位數字是，則十位數字是，然后根據等量關系“個位數字與十位數字對調后所得新數比原數小9”列一元二次方程求解即可．【詳解】解：設原數的個位數字是，則十位數字是．根據題意得：，解得：或，則或．則這個兩位數是23或32．故答案為：23或32．61．（22-23八年級·上海·假期作業）一個兩位數是一個一位數的平方，把這個一位數放在這個兩位數的左邊所成的三位數，比把這個一位數放在這個兩位數的右邊所成的三位數大，求這個兩位數．【答案】16或49【分析】設一位數為，則兩位數為，根據題意列出方程求解即可．【詳解】設一位數為，則兩位數為．則根據題意可得：，

整理得：．分解得：，解得：，．答：這個兩位數為16或49．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，把一個一位數放在這個兩位數的左邊所成的三位數，可以表示為；把一個一位數放在這個兩位數的右邊所成的三位數，可以表示為，讀懂題意，找出等量關系式是解題的關鍵．【考點題型十六】一元二次方程與實際應用-動態幾何問題（）62．（21-22八年級