/專題01相交線與平行線（7個考點梳理+14種題型解讀+提升訓練）清單01垂線定義：當兩條相交直線所成的四個角中，有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.垂線的性質：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.垂線段的定義：如圖，點P為直線外一點,PO⊥m，垂足為0，稱PO為點P到直線m的垂線段.垂線段最短定理：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡稱垂線段最短.如圖，點P與直線m上的各點連線中，線段PO最短.點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.【注意】1）垂線段是一個幾何圖形，而點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數量，容易出現概念混淆的錯誤；2）過直線外一點和直線上各點的線段有無數條，但只有一條是垂線段，且垂線段是最短的.清單02相交線形成的角1.對頂角與鄰補角種類圖形頂點邊的關系大小關系對頂角有公共頂點一個角的兩邊分別是另一角的兩邊的反向延長線∠1=∠2，∠3=∠4鄰補角有公共頂點兩個角有一條公共邊，且它們的另一邊互為反向延長線.∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180°2.同位角、內錯角、同旁內角角的名稱位置特征基本圖形圖形結構特征同位角在截線的同側，在被截兩條直線同側形如字母“F”內錯角在截線的兩側，且夾在兩條被截直線之間形如字母“Z”同旁內角在截線的同側，在被截兩條直線之間形如字母“U”清單03平行線的基礎平行線的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號“∥”表示.如圖，直線AB與CD平行，記作;AB∥CD，讀作：AB平行于CD.平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.平行公理的前提條件：經過直線外一點.平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行.【拓展】1）平行線具有傳遞性：若多條直線都與同一條直線平行，則這多條直線也相互平行.2）在同一平面內，垂直于同一直線的兩條直線相互平行，即在同一平面內，若a⊥b，b⊥c，則a∥c.清單04平行線的判定判定方法1判定方法2判定方法3兩條直線平行的判定同位角相等，兩直線平行內錯角相等，兩直線平行同旁內角互補，兩直線平行圖示符號語言∵∠1＝∠2∴AB∥CD∵∠1＝∠2∴AB∥CD∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD清單05平行線的性質性質1性質2性質3兩條直線平行的性質兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內錯角相等兩直線平行，同旁內角互補圖示符號語言∵AB∥CD∴∠1＝∠2∵AB∥CD∴∠1＝∠2∵AB∥CD∴∠1+∠2=180°清單06平行線間的距離平行線之間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離叫做這兩條平行線之間的距離.性質：1）夾在兩條平行線間的平行線段處處相等；2）平行線間的距離處處相等.清單07平移定義：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，圖形這種移動叫做平移．它是由移動方向和距離決定的.平移的性質：1）平移不改變圖形的大小、形狀，只改變圖形的位置，因此平移前后的兩個圖形全等.2）平移前后對應線段平行（或在同一條直線上）且相等、對應角相等.3）任意兩組對應點的連線平行（或在同一條直線上）且相等，對應點之間的距離就是平移的距離.【考點題型一】垂線的定義（）1．（22-23七年級上·浙江寧波·期末）下列四個說法：①兩點確定一條直線；②過直線上一點有且只有一條直線垂直于已知直線；③連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短；④從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離，其中正確的說法的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（21-22七年級上·浙江·期末）下列說法中，正確的是（

）A．相等的角是對頂角B．若，則點是線段的中點C．過一點有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線D．若一個角的余角和補角都存在，則這個角的補角一定比這個角的余角大度3．（20-21七年級下·浙江·期末）下列結論正確的是（

）A．兩直線被第三條直所截，同位角相等 B．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直C．不相交的兩條直線叫做平行線 D．過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行【考點題型二】根據現實情況描述數學依據（）4．（23-24七年級上·浙江湖州·期末）如圖是小周同學在校運會上投擲實心球的場景，當投擲完畢時，測量員選取的長度作為小周的成績，其依據是（

）A．垂線段最短 B．兩點之間線段最短C．兩點確定一條直線 D．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直5．（21-22七年級下·浙江臺州·期末）小明從點A起跳，落腳點為點B，已知AB＝2.5m，則小明跳遠的成績可能是（

）A．2.45m B．2.55m C．2.6m D．2.7m6．（23-24七年級下·浙江臺州·期末）小茗同學練習跳遠，如圖，點A是她落地時腳后跟所在點，則這次跳遠成績是圖中線段________的長度（

）A． B． C． D．【考點題型三】三線八角的識別（）7．（23-24七年級下·浙江舟山·期末）如圖，直線、被所截，下列個角中，與是同位角的是（

）A． B． C． D．8．（23-24七年級下·浙江杭州·期末）圖中與為內錯角的是（

）A． B． C． D．9．（23-24七年級下·浙江嘉興·期末）如圖，下列各對角中，屬于同旁內角是（

）A．與 B．與C．與 D．與【考點題型四】利用對頂角、鄰補角的性質求解（）10．（23-24七年級下·浙江臺州·期末）如圖，直線，相交于點O，下列命題中，是真命題的是（

）A．若，則B．若，則與互為對頂角C．若，則D．若，則與互為鄰補角11．（23-24七年級下·浙江紹興·期末）如圖，已知，則的度數為（

）A． B． C． D．12．（24-25七年級上·浙江金華·期末）如圖，直線，相交于點，平分，設，，下列結論：①，則；②若，則；③若，則；④若平分．則，其中正確的結論是（

）A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④【考點題型五】根據已知條件判定兩直線平行（）13．（23-24七年級下·浙江臺州·期末）如圖，下列條件中能判定的是(

)

A． B．C． D．14．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）如圖，下列說法正確的是（

）

A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則15．（20-21七年級下·浙江·期末）如圖，直角三角形的頂點A在直線m上，分別度量：①；②；③；④，可判斷直線m與直線n是否平行的是．【考點題型六】證明兩直線平行（）16．（23-24七年級下·浙江杭州·期末）請將下列證明過程補充完整．如圖，已知，．求證：．證明：∵（），∴（同旁內角互補，兩直線平行）．∴（）．又∵（已知），∴（等量代換）．∴（內錯角相等，兩直線平行），∴（）．17．（23-24七年級下·浙江紹興·期末）如圖，，，，點，，在同一條直線上．(1)判斷，的位置關系，并說明理由．(2)若，求的度數．18．（23-24七年級上·浙江杭州·期末）如圖，平分平分．判斷是否平行，并說明理由．【考點題型七】利用平行線的性質求解（）19．（23-24七年級下·浙江杭州·期末）如圖，交于上一點，已知，且，則（

）A． B． C． D．20．（23-24七年級下·浙江杭州·期末）將一張長方形紙條折疊成如圖形狀，若，則．

21．（22-23七年級下·浙江臺州·期末）直線，將一塊含角的直角三角板按如圖方式放置，其中斜邊與直線n交于點D．若，則的度數為．

22．（22-23七年級下·浙江嘉興·期末）已知：如圖，，．

(1)判斷與的位置關系，并說明理由．(2)若，，求的度數．【考點題型八】根據平行線的性質探究角的關系（）23．（22-23七年級下·浙江寧波·期末）如圖，已知直線，直線和直線交于點和，點是直線上的一個動點．

(1)如圖1，點在段段上，，則______；(2)如果點運動到之間時，試探究之間的關系，并說明理由；(3)若點在兩點的外則運動時（點與點不重合），之間的關系是否發生改變？請說明理由．24．（21-22七年級下·浙江紹興·期末）已知AB∥CD，(1)如圖1，若∠ABE＝160°，∠CDE＝120°，求∠BED的度數；(2)如圖2，若BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，則∠BFD與∠BED有怎樣的數量關系，并說明理由；(3)如圖3，若BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，則∠BFD與∠BED有怎樣的數量關系，并說明理由．25．（22-23七年級下·廣東深圳·期中）【問題提出】小穎同學在學習中自主探究以下問題，請你解答她提出的問題：（1）如圖1所示，已知，點E為，之間一點，連接，，得到．請猜想與，之間的數量關系，并證明；（2）如圖2所示，已知，點E為，之間一點，和的平分線相交于點F，若，求的度數；【類比遷移】小穎結合角平分線的知識將問題進行深入探究，如圖3所示，已知：，點E的位置移到上方，點F在延長線上，且平分與的平分線相交于點G，請直接寫出與之間的數量關系；【變式挑戰】小穎在本次探究的最后將條件去掉，提出了以下問題：已知與不平行，如圖4，點M在上，點N在上，連接，且同時平分和，請直接寫出，，之間的數量關系．【考點題型九】平行線性質在實際生活中的應用（）26．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）光線在不同介質中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時，要發生折射．由于折射率相同，在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如下圖是從玻璃杯底部發出的一束平行光線經過水面折射形成的光線示意圖，水面與玻璃杯的底面平行．若，，則的度數是（）A． B． C． D．27．（20-21七年級下·浙江·期末）如圖，的兩邊均為平面反光鏡，，在上有一點，從點射出一束光線經上的點反射后，反射光線恰好與平行，這里，則的度數是（

）

A． B． C． D．28．（21-22七年級下·浙江金華·期中）如圖1，赤道式日晷是中國古代最經典和傳統的計時儀器，由底座、晷面、晷針三部分組成，其中底座面與日晷所處地地球半徑垂直：（1）晷針與晷面夾角為；（2）如圖2，日晷所處緯度為39.8°，若太陽光（平行光）與日晷底座夾角為60°，則太陽光和該晷面所夾銳角角度為．29．（20-21七年級下·浙江杭州·期末）（1）若組成和的兩條邊互相平行，且是的2倍小，求的度數．（2）如圖，放置在水平操場上的籃球架的橫梁始終平行于與上拉桿形成的，主柱垂直于地面，通過調整和后拉桿的位置來調整籃筐的高度．當時，點H，D，B在同一直線上，求的度數．【考點題型十】利用平行線間的距離解決問題（）30．（22-23七年級下·浙江寧波·期末）如圖，正方形被分割成個2長方形和2個正方形，要求圖中陰影部分的面積，只要知道下列圖形的面積是（

）

A．長方形 B．長方形C．長方形 D．長方形31．（22-23七年級下·湖南株洲·期中）如圖，已知梯形中，，和相交于點G，和相交于點H，，，則陰影部分的面積為．【考點題型十一】尺規畫垂線/平行/平移（）32．（2025七年級下·浙江·專題練習）如圖，在邊長為個單位的正方形網格中，經過平移后得到，點的對應點為，根據下列條件，利用網格點和無刻度的直尺畫圖并解答，保留痕跡：(1)畫出，線段掃過的圖形的面積為______；(2)在的右側確定格點，使的面積和的面積相等，請問這樣的點有______個？33．（20-21七年級下·浙江金華·期末）如圖，在正方形網格中（每個小方格均是邊長為1的正方形）有一個△ABC，按要求進行下列作圖．(1)過點B畫出AC的平行線；(2)將△ABC向右上方平移，使點A平移到點A′，請畫出經平移后得到的△A′B′C′．(3)請求出△ABC平移過程中線段AB掃過的圖形的面積．34．（23-24七年級下·廣東廣州·階段練習）如圖，內部有一點，過點畫交于點C，畫交于點D．．35．（23-24七年級下·浙江臺州·期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點坐標分別為，，，將向右平移3個單位長度再向下平移2個單位長度得到，點A，B，C的對應點分別為，，．

(1)直接寫出的坐標；(2)請在直角坐標系中畫出；(3)點為內一點，其平移后的對應點為，求實數，的值．【考點題型十二】生活中的平移現象（）36．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）甲骨文主要流行于商周時期，是迄今為止中國發現的年代最早的成熟文字系統，是漢字的源頭和中華優秀傳統文化的根脈，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（

）A．杯 B．立 C．比 D．曲37．（21-22七年級下·浙江寧波·期末）“潮涌”是2022年杭州亞運會會徽，錢塘江和錢江潮頭是會徽的形象核心，如圖（1）是會徽的一部分，圖（1）通過四次變換使它組合成一個新圖案如圖）（2）在這四次變換中，是由該圖經過平移得到的是（

）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁38．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）如圖是鎮海學伴小組的，下列圖案能用原圖平移得到的是（

）A．

B． C． D．39．（23-24七年級下·浙江紹興·期末）下列物體的運動屬于平移的是（

）A．汽車方向盤的轉動 B．小紅蕩秋千C．電梯上顧客的升降運動 D．火車在彎曲的鐵軌上行駛【考點題型十三】利用平移的性質求解（）40．（22-23七年級下·浙江湖州·期末）如圖，將三角形沿水平方向向右平移到三角形的位置．已知點A，D之間的距離為1，，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．54