/2.3確定圓的條件【推本溯源】1.確定圓的條件條件作圓的個數圖例經過一個點作圓無數個經過兩個點作圓無數個經過不在同一條直線上的三個點作圓一個2.如圖，作AB和AC的垂直平分線OD和OF，證：點O在BC的垂直平分線上。∵∴∴∴因此，。3.如上圖，三角形的三個頂點確定一個圓，這個圓叫做三角形的；外接圓的圓心叫做三角形的心，這個三角形叫做圓的接三角形。外心的性質：（1）外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離；（2）三角形的外接圓有個，對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內接三角形卻有個，且這些三角形的外心重合。4.三角形外接圓的作法已知三角形ABC作法：（1）分別作邊AB、BC的垂直平分線l1，l2，兩條線交于點O；（2）以O為圓心，OA為半徑作圓，圓O就是所作的圓。5.不同三角形的外心位置類型銳角三角形直角三角形鈍角三角形位置外心在三角形的內部外心在直角三角形斜邊的中點外心在三角形的外部【解惑】例1：如圖，點，，，均在直線上，點在直線外，則經過其中任意三個點，最多可畫出圓的個數為（

）

A．3個 B．4個 C．5個 D．6個例2：下列說法：①三點確定一個圓，②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，③相等的圓心角所對的弦相等，④三角形的外心到三個頂點的距離相等，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例3：一個三角形的一邊長為12，另外兩邊長是一元二次方程的兩根，則這個三角形外接圓的半徑是（

）A． B．5 C． D．8例4：已知兩邊長分別是和，則它的外接圓的半徑是___________．例5：以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的3×3網格，的頂點均在格點上．利用網格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．(1)在圖①中，作出的重心G．(2)在圖②中，作出的外心O．【摩拳擦掌】1．（2023·四川廣安·統考一模）下列說法正確的是（

）A．角平分線上的點到角兩邊的距離相等B．平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C．平分弦的直徑垂直于這條弦D．經過平面內點可以作一個圓2．（2023秋·江蘇無錫·九年級統考期末）下列說法，錯誤的是（

）A．直徑是弦 B．等弧所對的圓心角相等C．弦的垂直平分線一定經過圓心 D．過三點可以確定一個圓3．（2023·黑龍江綏化·校聯考三模）下列命題是假命題的是（

）A．平行四邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形B．三角形的外心是三邊垂直平分線的交點C．線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等D．正方形的對角線相等，且互相垂直平分4．（2023春·山東濟南·九年級統考階段練習）下列說法正確的是（

）A．平分弦的直徑垂直于弦 B．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是圓的對稱軸C．等腰三角形的外心一定在其內部 D．等弧所對弦相等5．（2022秋·全國·九年級專題練習）點和圓的位置關系和點到圓心的距離的數量關系是相對應的，即知道位置關系就可以確定數量關系；知道數量關系也可以確定位置關系；____的三個點確定一個圓．6.（2023秋·河北張家口·九年級校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，，，．則的外心坐標為_____．7．（2023·江蘇·九年級假期作業）已知一個直角三角形的兩條直角邊長分別為和，則這個直角三角形的外接圓的半徑為_____________．8．（2023秋·青海西寧·九年級統考期末）如圖，平面直角坐標系中一條圓弧經過網格點，，，點在軸上，點的坐標為，則該圓弧所在圓內的圓心坐標為________．9．（2023·山東青島·統考一模）已知：．求作：的外接圓內的點P，使，．請用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．10．（2023春·北京西城·九年級北京鐵路二中校考階段練習）下面是證明定理的兩種方法，選擇其中一種完成證明．證明定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．已知：如圖，在中，，是斜邊上的中線，求證：．方法1：利用矩形判定和性質證明．方法2：利用圓的性質證明．11．（2023·黑龍江綏化·統考二模）如圖，在中，，平分，

(1)在邊上找一點O，以點O為圓心，且過A、D兩點作（不寫作法，保留作圖痕跡）．(2)在（1）的條件下，若，求的半徑．【知不足】1．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，是的外接圓，則點O是的（

）A．三條高線的交點 B．三條邊的垂直平分線的交點C．三條中線的交點 D．三角形三內角角平分線的交點2．（2023·江蘇·九年級假期作業）下列命題中，正確的是（）A．圓心角相等，所對的弦的弦心距相等 B．三點確定一個圓C．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧 D．弦的垂直平分線必經過圓心3．（2023·上海松江·統考二模）下列命題正確的是（

）A．三點確定一個圓 B．圓的任意一條直徑都是它的對稱軸C．等弧所對的圓心角相等 D．平分弦的直徑垂直于這條弦4．（2023·湖南岳陽·統考一模）下列命題是真命題的是（

）A．五邊形的外角和是 B．有一個角是的三角形是等邊三角形C．角平分線上的點到角兩邊的距離相等 D．三角形的外心是三條高的交點5．（2022秋·安徽蚌埠·九年級校考期末）兩直角邊長分別為15和20的直角三角形外接圓的半徑為______．6．（2023·湖北襄陽·統考二模）在中，，則這個三角形的外接圓半徑為____________．7．（2022秋·山東煙臺·九年級統考期末）把一條長2m的鐵絲折成頂角為的等腰三角形，那么這個三角形外接圓的半徑為______m．8．（2023秋·新疆巴音郭楞·九年級校考期末）一個直角三角形的兩條邊長是方程的兩個根，則此直角三角形的外接圓的直徑為_____．9．（2022秋·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，，，，經過，，三點．

(1)點的坐標為．(2)判斷點與的位置關系．10．（2023·陜西·模擬預測）如圖，在中，．尺規作圖：作的外接圓；作的角平分線交于點D，連接．（不寫作法，保留作圖痕跡）

11．（2023·陜西西安·高新一中校考模擬預測）如圖，中，，是的角平分線，求作，使得經過的三個頂點．

12．（2023秋·四川綿陽·九年級統考期末）（1）解方程：．（2）如圖，的三個頂點坐標分別為，，．①畫出將繞點A順時針旋轉90°得到的，并寫出點D，E的坐標；②請在圖中作出的外接圓，寫出圓心M的坐標．【一覽眾山小】1．（2022秋·九年級單元測試）如圖，小明為檢驗，，，四點是否共圓，用尺規分別作了，的垂直平分線，它們交于點，則，，，四點中，不一定在以為圓心，為半徑的圓上的點是（

）A．點 B．點 C．點 D．點2．（2023·江蘇淮安·統考一模）下列命題是真命題的是（

）A．三角分別相等的兩個三角形是全等三角形B．平行四邊形的對角線互相垂直C．三角形的內心是它的三條邊的垂直平分線的交點D．對頂角相等3．（2023·湖南岳陽·統考二模）下列命題是真命題的是（

）A．同旁內角互補 B．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半C．五邊形的內角和等于 D．三角形的外心是三角形三條角平分線的交點4．（2023·貴州遵義·統考三模）四邊形是平行四邊形，下列尺規作圖不能得到等腰三角形的是（

）A．

B．

C．

D．

5．（2023·廣東汕尾·統考一模）如圖，在的正方形網格中（小正方形的連長為1），有6個點A、B、C、D、E、F，若過A、B、C三點作圓O，則點D、E、F三點中在圓O外的有（

）個A．0 B．1 C．2 D．36．（2022秋·新疆伊犁·九年級校考階段練習）若三角形的三邊長是3，4，5，則其外接圓的半徑為_____．7．（2023秋·山東泰安·九年級校考期末）的三邊為2，3，，則外接圓的半徑長為__________．8．（2023·河北滄州·統考模擬預測）如圖，點O為的外心，過點O分別作AB、AC的垂線、，交BC于D、E兩點．

（1）若，則的度數為______；（2）過點O作于點F，，則的周長為______．9．（2023·福建福州·統考模擬預測）如圖，已知鈍角中，．(1)請在圖中用無刻度的直尺和圓規作圖：作B的平分線交于點D；作的外接圓；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）中，若，，則此的半徑為___________．（如需畫草圖，請使用備用圖）10．（2023·遼寧鞍山·統考一模）如圖已知收線的圓片上有三點，，．(1)作出這個圓片的圓心（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)連接，，，設是等腰三角形，底邊，腰，求該圓片的半徑．11．（2023·山東青島·統考二模）已知：如圖，點P是的邊BC上的一點．求作：，使點O在的角平分線上，且經過B、P兩點．12．（2023秋·廣東東莞·九年級校聯考期末）如圖，為圓的內接三角形，，連接并延長交于點．

(1)求證：；(2)若，，求的半徑．

2.3確定圓的條件教材知識總結教材知識總結確定圓的條件（1）經過一個已知點能作無數個圓；（2）經過兩個已知點A、B能作無數個圓，這些圓的圓心在線段AB的垂直平分線上；(3）不在同一直線上的三個點確定一個圓.(4)經過三角形各個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內接三角形.如圖：⊙O是△ABC的外接圓，△ABC是⊙O的內接三角形，點O是△ABC的外心.外心的性質：外心是△ABC三條邊的垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離相等.【點撥】（1）不在同一直線上的三個點確定一個圓.“確定”的含義是“存在性和唯一性”.（2）只有確定了圓心和圓的半徑，這個圓的位置和大小才唯一確定.看例題，漲知識看例題，漲知識【例題1】（1）請借助網格和一把無刻度直尺找出△ABC的外心點O；（2）設每個小方格的邊長為1，求出外接圓⊙O的面積．【答案】（1）見解析；（2）10π【分析】（1）根據三角形的外心是三邊垂直平分線的交點作出點O；（2）根據勾股定理求出圓的半徑，根據圓的面積公式計算，得到答案．【解析】解：（1）如圖所示，點O即為所求；（2）連接OB，由勾股定理得：OB＝，∴外接圓⊙O的面積為：π×（）2＝10π．【例題2】如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，尺規作圖，作Rt△ABC外接圓⊙O．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見詳解【分析】作AB的垂直平分線，找到AB的中點，則以AB為直徑作圓就是三角形的外接圓．【解析】解：如圖所示：【例題3】我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．如圖，將△ABC放在每個小正方形邊長為1的網格中，點A、B、C均落在格點上．（1）用無刻度直尺畫出△ABC的最小覆蓋圓的圓心（保留作圖痕跡）；（2）該最小覆蓋圓的半徑是．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）作出線段AB，AC的垂直平分線的交點O即可．（2）連接OA，利用勾股定理求出OA即可．【解析】解：（1）如圖，點O即為所求．（2）半徑OA=．故答案為：．【例題4】已知，如圖，點A為⊙O上的一點（1）用沒有刻度的直尺和圓規作一個⊙O的內接正三角形ABC(保留作圖痕跡并標出B、C)；（2）若⊙O半徑為10，則三角形ABC的邊長為【答案】（1）圖見詳解；（2）三角形ABC的邊長為【分析】（1）以OA為半徑，在圓上依次截取得到圓的6等分點，從而得到圓的三等分點，進而問題可求解；（2）連接OB、OC，延長AO交BC于點D，則有AD⊥BC，然后根據等邊三角形的性質及垂徑定理可求解．【解析】接：（1）等邊三角形ABC如圖所示：（2）連接OB、OC，延長AO交BC于點D，如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，∴AD⊥BC，∠BOD=∠COD=60°，∴∠OBD=30°，BC=2BD，∵⊙O半徑為10，∴，∴，∴，∴三角形ABC的邊長為，故答案為．課后習題鞏固一下課后習題鞏固一下一、單選題1．下列判斷中正確的是（

）A．平分弦的直徑垂直于弦 B．垂直于弦的直線平分弦所對的弧C．平分弧的直徑平分弧所對的的弦 D．三點確定一個圓【答案】C【分析】根據垂徑定理和確定圓的條件對各選項進行逐一解答即可．【解析】解：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故選項錯誤；B、垂直于弦的直徑平分弦所對的弧，故選項錯誤；C、平分弧的直徑平分弧所對的的弦，故選項正確；D、不共線的三點確定一個圓，故選項錯誤；故選C．2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），點B（2，1），點C（2，－3）．則經畫圖操作可知：△ABC的外接圓的圓心坐標是（

）A．（－2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（0，－1）【答案】A【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點，所以在平面直角坐標系中作AB與BC的垂線，兩垂線的交點即為△ABC的外心．【解析】解：∵△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點，如圖所示：EF與MN的交點O′即為所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐標是（﹣2，﹣1）．故選：A3．對于以下說法：①各角相等的多邊形是正多邊形；②各邊相等的三角形是正三角形；③各角相等的圓內接多邊形是正多邊形；④各頂點等分外接圓的多邊形是正多邊形．正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】①沒有邊相等的信息不能判定其是正多邊形；②符合正三角形的定義；③僅有各角相等沒有邊相等的信息不能判定其是圓內正多邊形；④符合圓內接多邊形的定義．【解析】①錯誤，如矩形，滿足條件，卻不是正多邊形；②正確；③錯誤，如圓內接矩形，滿足條件，卻不是正多邊形；④正確．共有2個正確．故選B4．給定下列條件可以確定唯一的一個圓的是（

）A．已知圓心 B．已知半徑 C．已知直徑 D．不在同一直線上的三個點【答案】D【分析】根據確定圓的條件，逐一判斷選項，即可得到答案．【解析】A.已知圓心，但半徑不確定，不可以確定唯一的一個圓，不符合題意，B.已知半徑，但圓心位置不確定，不可以確定唯一的一個圓，不符合題意，C.已知直徑，但圓心位置不確定，不可以確定唯一的一個圓，不符合題意，D.不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，符合題意．故選D．5．從一塊圓形玻璃鏡殘片的邊緣描出三點A、B、C，得到△ABC，則這塊玻璃鏡的圓心是（

）A．AB、AC邊上的高所在直線的交點B．AB、AC邊的垂直平分線的交點C．AB、AC邊上的中線的交點D．∠BAC與∠ABC的角平分線的交點【答案】B【分析】結合圖形可知所求玻璃鏡的圓心是外接圓的圓心，據此可得出答案．【解析】根據題意可知，所求的玻璃鏡的圓心是外接圓的圓心，而外接圓的圓心是三邊垂直平分線的交點，故選：B．6．下列說法中錯誤的是（

）A．直徑是弦 B．經過不在同一直線上三點可以確定一個圓C．三角形的外心到三個頂點的距離相等 D．兩個半圓是等弧【答案】D【分析】根據圓的性質：弦的定義、確定圓的條件、外心性質、弧的定義逐一判斷解答．【解析】解：A.直徑是弦，故A正確；B.經過不在同一直線上三點可以確定一個圓，故B正確；C.三角形的外心到三個頂點的距離相等，故C正確；D.兩個半圓不一定是等弧，故D錯誤，故選：D．7．如圖，點O是△ABC的外心（三角形三邊垂直平分線的交點），若∠BOC=96°，則∠A的度數為（

）A．49° B．47.5° C．48° D．不能確定【答案】C【分析】根據三角形垂直平分線的性質以及三角形內角和定理計算即可．【解析】解：如圖，連接AO，∵點O是△ABC三邊垂直平分線的交點，∴AO=BO=CO，∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，∴∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC，∴∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC）=360°-（180°-2∠OAB+180°-2∠OAC）=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC；∵∠BOC=96°，∴∠BAC=48°，故選：C．8．如圖，點，C在平面直角坐標系中，則的外心在（

）A．第四象限 B．第三象限 C．原點O處 D．y軸上【答案】B【分析】根據直角坐標系的特點作AB、BC的垂直平分線即可求解．【解析】如圖，作AB、BC的垂直平分線，交點在第三象限，故選B．9．如圖，已知平面直角坐標系內三點A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P經過點A、B、C，則點P的坐標為（

）A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，）【答案】C【分析】先由題意可知，點P在線段AB的垂直平分線上，可確定P的橫坐標為4；設點P的坐標為（4，y），如圖作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，運用勾股定理求得y即可．【解析】解：∵⊙P經過點A、B、C，∴點P在線段AB的垂直平分線上，∴點P的橫坐標為4，設點P的坐標為（4，y），作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，由題意得：，解得，y，故選：C．10．如圖，為銳角三角形，，，點O為的重心，D為BC中點，若固定邊BC，使頂點A在所在平面內進行運動，在運動過程中，保持的大小不變，設BC的中點為D，則線段OD的長度的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】如圖，作的外接圓，點為圓心，，由題意知且，，由勾股定理知，，當時，最長，可求此時最大值；由于，可得此時最小值，進而可得的取值范圍．【解析】解：如圖，作的外接圓，點為圓心，由題意知∵∴∴∴，由勾股定理知∴∵時，最長，∴最大值為∵∴∴故選D．二、填空題11．如圖，點O是△ABC的外心，連接OB，若∠OBA＝17°，則∠C的度數為_________°．【答案】73【分析】連接，，根據三角形的內角和和等腰三角形的性質即可得到結論．【解析】解：連接，，點是的外心，，，，，，，即，，，．故答案為：．12．三角形兩邊的長是3和4，第三邊的長是方程的根，則該三角形外接圓的半徑為______．【答案】【分析】先解一元二次方程，根據構成三角形的條件取舍，勾股定理的逆定理判定三角形為直角三角形，進而根據90度角所對的弦為直徑，進而求得三角形外接圓的半徑．【解析】解：，，解得，當時，不能構成三角形；當時，，這個三角形是斜邊為5的直角三角形，該三角形外接圓的半徑為，故答案為：．13．如圖，已知AB＝AC＝BE＝CD，AD＝AE，點F為△ADE的外心，若∠DAE＝40°，則∠BFC＝______°．【答案】140【分析】由等腰三角形的性質得出∠BEA=∠BAE=70°，求出∠ABE=40°，連接AE，EF，DF，由三角形外心的性質求出∠EBF=∠FCB=20°，由三角形內角和定理可得出答案．【解析】解:∵∠DAE＝40°，AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠AED＝（180°﹣40°）＝70°，∵AB＝BE，∴∠BEA＝∠BAE＝70°，∴∠ABE＝40°，連接AE，EF，∵點F為△ADE的外心，∴AF＝EF，AF＝DF，∴點F在AE的垂直平分線上，同理點B在AE的垂直平分線上，∴∠ABF＝∠EBF，∴∠EBF＝∠ABE＝20°，同理∠FCB＝20°，∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣20°﹣20°＝140°．故答案為：14014．有一種化學實驗中用的圓形過濾紙片，如果需要找它的圓心，請你簡要說明你找圓心的方法是__________________【答案】在圓形紙片的邊緣上任取三點則線段的垂直平分線的交點是圓形紙片的圓心.【分析】如圖，在圓形紙片的邊緣上任取三點連接再作的垂直平分線得到兩條垂直平分線的交點即可.【解析】解：如圖，在圓形紙片的邊緣上任取三點連接則的垂直平分線的交點是圓形紙片的圓心.故答案為：在圓形紙片的邊緣上任取三點則線段的垂直平分線的交點是圓形紙片的圓心.15．如圖，在網格中，各小正方形邊長均為1，點O，A，B，C，D，E均在格點上，點O是的外心，在不添加其他字母的情況下，則除外把你認為外心也是O的三角形都寫出來__________________________．【答案】△ADC、△BDC、△ABD【分析】先求出△ABC的外接圓半徑r，再找到距離O點的長度同為r的點，即可求解．【解析】由網格圖可知O點到A、B、C三點的距離均為：，則外接圓半徑，圖中D點到O點距離為：，圖中E點到O點距離為：，則可知除△ABC外把你認為外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC，故答案為：△ADC、△ADB、△BDC．16．已知的三邊a，b，c滿足|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30，則的外接圓半徑的長為___．【答案】2.5【分析】先根據|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30變形可得，再根據絕對值和完全平方公式的非負性即可求得、、的值，進而根據勾股定理的逆定理可得為直角三角形，由此可得外接圓半徑的長為斜邊的一半．【解析】解：∵|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30，，，又∵，，，，解得：，，，∴，∴為直角三角形，且斜邊長為5，∴的外接圓的半徑＝5×＝2.5，故答案為：2.5．三、解答題17．為了美化校園，某小區要在如圖所示的三角形空地（）上作一個半圓形花壇并使之滿足以下要求；①圓心在邊上，②該半圓面積最大．請你幫忙設計這一花壇．【答案】見解析【分析】作∠A的角平分線AD交BC于點O，以點O為圓心，點O到AC的距離OD為半徑畫半圓，此時半圓和AC，AB都相切，則該半圓面積最大．【解析】如圖所示：該半圓即為所求．18．如圖，學校某處空地上有、、三棵樹，現準備建一個圓形景觀魚池，要求、、三棵