第2課時常用邏輯用語[考試要求]1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質定理與必要條件、數學定義與充要條件的關系.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確地對含有一個量詞的命題進行否定．1．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q/?pp是q的必要不充分條件p/?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p/?q且q/?p2.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號“?”表示．(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號“?”表示．3．全稱量詞命題和存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結構對M中任意一個x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡記?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)否定?x∈M，綈p(x)?x∈M，綈p(x)提醒：含有一個量詞的命題的否定的規律是“改量詞，否結論”，即兩變一不變，量詞與結論變，條件不變．[常用結論]設p，q成立的對象構成的集合分別為A，B.(1)p是q的充分不必要條件?；(2)p是q的必要不充分條件?；(3)p是q的充要條件?A＝B；(4)p是q的既不充分也不必要條件?A與B沒有包含關系．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)當p是q的充分條件時，q是p的必要條件．(√)(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要條件．(√)(3)“三角形的內角和為180°”是存在量詞命題．(×)(4)寫全稱量詞命題的否定時，全稱量詞變為存在量詞．(√)二、教材經典衍生1．(人教A版必修第一冊P31習題1.5T3改編)已知命題p：?n∈N*，n2>n－1，則命題p的否定為()A．?n∈N*，n2≤n－1B．?n∈N*，n2<n－1C．?n∈N*，n2≤n－1D．?n∈N*，n2<n－1C[由全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，可得命題p：?n∈N*，n2>n－1的否定綈p為“?n∈N*，n2≤n－1”．]2.(人教A版必修第一冊P22習題1.4T2(2)改編)“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實數根”是“b2－4ac≥0(a≠0)”的(C)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．(多選)(人教A版必修第一冊P31習題1.5T1、T2改編)下列命題是全稱量詞命題且為真命題的是(AD)A．?x∈R，x2－x＋1>0B．?x∈R，sinx＝2C．存在一個無理數，它的平方是有理數D．平面內，到A，B兩點距離相等的點都在線段AB的垂直平分線上4．(人教B版必修第一冊P38習題1－2BT5改編)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的必要不充分條件，則實數a的取值范圍為[3，＋∞).考點一充分、必要條件充分、必要條件的判定[典例1](2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件B[由a2＝b2，即(a＋b)(a－b)＝0，解得a＝－b或a＝b，由a2＋b2＝2ab，即(a－b)2＝0，解得a＝b，故“a2＝b2”不能推出“a2＋b2＝2ab”，充分性不成立，“a2＋b2＝2ab”能推出“a2＝b2”，必要性成立，故“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件．故選B.]充分、必要條件的探求[典例2]若x，y∈R，則“x>y”的一個充分不必要條件可以是()A．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y)) B．x2>y2C．eq\f(x,y)>1 D．2x－y>2D[由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y))，x2>y2推不出x>y，排除AB；由eq\f(x,y)>1可得eq\f(x－y,y)>0，解得x>y>0或x<y<0，所以eq\f(x,y)>1是x>y的既不充分也不必要條件，排除C；2x－y>2?x>y，反之不成立，D正確．故選D.]充分、必要條件的應用[典例3]請在①充分不必要；②必要不充分；③充要中任選一個，補充在橫線處，并解答．已知集合A＝{xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－12≤0))}，B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m>0}，且“x∈A”是“x∈B”的________條件，判斷實數m的值是否存在．若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．解：由不等式x2－x－12＝(x－4)(x＋3)≤0，解得－3≤x≤4，可得A＝{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))－3≤x≤4}，由不等式x2－2x＋1－m2＝(x－m－1)(x＋m－1)≤0(m>0)，解得1－m≤x≤1＋m，所以B＝{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))1－m≤x≤1＋m，m>0}．若選擇條件①，則集合A是B的真子集，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－3，,m＋1≥4，,m>0，))解得m≥4.當m＝4時，B＝{xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤x≤5))}，AB，符合題意．若選擇條件②，則集合B是A的真子集，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－3，,m＋1≤4，,m>0，))解得0<m≤3.當m＝3時，B＝{xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤4))}，則BA，符合題意．若選擇條件③，則集合A＝B，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝－3，,m＋1＝4，,m>0，))無解，所以不存在滿足條件③的實數m.(1)充分條件、必要條件的判定方法：定義法、集合法．(2)充分條件、必要條件的探求要分清題干的條件和結論，如“p的充分條件是q”等價于“q?p是真命題”．(3)應用集合之間的關系解答充分條件、必要條件求參數問題時，需注意區間端點值的檢驗．[跟進訓練]1．(1)(2024·全國甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，則()A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要條件B．“x＝－3”是“a∥b”的必要條件C．“x＝0”是“a⊥b”的充分條件D．“x＝－1＋eq\r(3)”是“a∥b”的充分條件(2)若“x＝α”是“sinx＋cosx>1”的一個充分條件，則α的一個可能取值是________.(1)C(2)eq\f(π,4)(只需滿足α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)即可)[(1)對于A，若a⊥b，則a·b＝0，所以x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A錯誤；對于B，若a∥b，則2(x＋1)＝x2，解得x＝1±eq\r(3)，即必要性不成立，故B錯誤；對于C，當x＝0時，a＝(1,0)，b＝(0,2)，故a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正確；對于D，當x＝－1＋eq\r(3)時，不滿足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D錯誤．故選C．(2)由sinx＋cosx>1可得eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))>1，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))>eq\f(\r(2),2)，所以2kπ＋eq\f(π,4)<x＋eq\f(π,4)<2kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)，解得2kπ<x<2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．因為“x＝α”是“sinx＋cosx>1”的一個充分條件，故α的一個可能取值為eq\f(π,4).]考點二全稱量詞與存在量詞含量詞命題的否定[典例4](1)命題p的否定為“?x<0，使得x＋2>2x”，則命題p為()A．?x<0，x＋2>2xB．?x≥0，使得x＋2>2xC．?x<0，x＋2≤2xD．?x≥0，使得x＋2≤2x(2)命題：“奇數的立方是奇數”的否定是_________________________________________________________________________________________.(1)C(2)存在一個奇數，它的立方不是奇數[(1)因為命題p的否定為“?x<0，使得x＋2>2x”，所以命題p為“?x<0，x＋2≤2x”．故選C．(2)命題的否定為“存在一個奇數，它的立方不是奇數”．]含量詞命題的真假判斷[典例5](2024·新高考Ⅱ卷)已知命題p：?x∈R，|x＋1|>1，命題q：?x>0，x3＝x，則()A．p和q都是真命題B．綈p和q都是真命題C．p和綈q都是真命題D．綈p和綈q都是真命題B[對于命題p，取x＝－1，則有|x＋1|＝0<1，故p是假命題，綈p是真命題；對于命題q，取x＝1，則有x3＝13＝1＝x，故q是真命題，綈q是假命題．綜上，綈p和q都是真命題．故選B.]含量詞命題的應用[典例6]若命題p：“?x∈R，x2－mx－m≤0”為假命題，則實數m的取值范圍是________.(－4,0)[法一：若p為真命題，即?x∈R，x2－mx－m≤0，所以Δ＝m2＋4m≥0，所以m≥0或m≤－4，所以當p為假命題時，－4<m<0.法二：因為p為假命題，所以綈p：?x∈R，x2－mx－m>0為真命題，即Δ＝m2＋4m<0，所以－4<m<0.]含量詞命題的解題策略(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明所有對象使命題成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個對象使命題成立即可．當一個命題的真假不易判斷時，可以先判斷其否定的真假．(2)由命題真假求參數的取值范圍，一是直接由命題的含義，利用函數的最值求參數的取值范圍；二是利用等價命題，即p與綈p的關系，轉化為綈p的真假求參數的取值范圍．(3)全稱量詞命題對應恒成立，存在量詞命題對應成立．[跟進訓練]2．(1)命題p：?a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有實根，則對命題p的真假判斷和綈p正確的為()A．真命題，綈p：?a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0無實根B．假命題，綈p：?a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0無實根C．真命題，綈p：?a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有實根D．假命題，綈p：?a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有實根(2)若命題“?x∈[1,4]，使λx2＋x－2>0成立”的否定是真命題，則實數λ的取值范圍是________.(1)A(2)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,8)))[(1)在一元二次方程x2－ax－1＝0中，Δ＝a2＋4>0恒成立，故對任意a，方程都有實根，故命題p為真命題，綈p：?a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0無實根．故選A．(2)若“?x∈[1,4]，使λx2＋x－2>0成立”的否定“?x∈[1,4]，使λx2＋x－2≤0”為真命題，則λ≤eq\f(2－x,x2).令f(x)＝eq\f(2－x,x2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,4)))2－eq\f(1,8)，由x∈[1,4]，得eq\f(1,x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，所以f(x)min＝f(4)＝－eq\f(1,8)，所以λ≤－eq\f(1,8).]課時分層作業(二)(本試卷共82分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．命題“?x>0，x2－eq\f(1,x)<0”的否定為()A．?x>0，x2－eq\f(1,x)≥0 B．?x≤0，x2－eq\f(1,x)≥0C．?x>0，x2－eq\f(1,x)≥0 D．?x≤0，x2－eq\f(1,x)≥0C[命題“?x>0，x2－eq\f(1,x)<0”的否定為“?x>0，x2－eq\f(1,x)≥0”．故選C．]2．(2024·天津高考)設a，b∈R，則“a3＝b3”是“3a＝3b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件C[因為a3＝b3和3a＝3b都當且僅當a＝b時成立，所以二者互為充要條件．故選C．]3．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么陰影部分表示的集合為()A．{x|－2≤x<4} B．{x|－1≤x≤3}C．{x|x≤3或x≥4} D．{x|－2<x<4}B[陰影部分為B∩?RA，?RA＝{x|－1≤x≤4}，所以B∩?RA＝{x|－1≤x≤3}．故選B.]4．(2025·泰安模擬)“復數z＝ai＋b(a，b∈R)是純虛數”的充分不必要條件是()A．a≠0且b＝0 B．b＝0C．a＝1且b＝0 D．a＝b＝0C[因為“復數z＝ai＋b(a，b∈R)是純虛數”的充要條件是“a≠0且b＝0”，“a＝1且b＝0”是“a≠0且b＝0”的充分不必要條件，所以“a＝1且b＝0”是“復數z＝ai＋b(a，b∈R)為純虛數”的充分不必要條件．故選C．]5．下列命題既是存在量詞命題又是真命題的是()A．銳角三角形有一個內角是鈍角B．至少有一個實數x，使x2≤0C．兩個無理數的和必是無理數D．存在一個負數x，使eq\f(1,x)>2B[A中，銳角三角形的內角都是銳角，所以A是假命題；B中，當x＝0時，x2＝0，滿足x2≤0，所以B既是存在量詞命題又是真命題；C中，因為eq\r(2)＋(－eq\r(2))＝0不是無理數，所以C是假命題；D中，對于任意一個負數x，都有eq\f(1,x)<0，不滿足eq\f(1,x)>2，所以D是假命題．]6．命題p：“?x∈R，ax2＋2ax－4≥0”為假命題，則實數a的取值范圍是()A．(－4,0] B．[－4,0)C．(－4,0) D．[－4,0]A[命題p：?x∈R，ax2＋2ax－4≥0為假命題，即命題綈p：?x∈R，ax2＋2ax－4<0為真命題．當a＝0時，－4<0恒成立，符合題意；當a≠0時，則a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4<a<0，綜上可知，－4<a≤0.故選A．]7．(2025·煙臺調研)已知條件p：x2－3x＋2≤0，條件q：x2－4x＋4－m2≤0.若p是q的充分不必要條件，則實數m的取值范圍是()A．(－∞，0]B．[1，＋∞)C．{0}D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D[由x2－3x＋2≤0，得1≤x≤2.由x2－4x＋4－m2≤0，得2－|m|≤x≤2＋|m|.若p是q的充分不必要條件，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m))≤1，,2＋|m|>2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－|m|<1，,2＋|m|≥2，))解得|m|≥1，所以m≤－1或m≥1.故選D.]8．“a≥eq\r(5)”是“圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：(x＋a)2＋(y－2a)2＝36存在公切線”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[當兩圓無公切線時，兩圓內含，圓C1的圓心為(0,0)，半徑r1＝1，圓C2的圓心為(－a,2a)，半徑r2＝6，所以兩圓的圓心距為d＝|C1C2|＝eq\r(a2＋4a2)＝eq\r(5a2)，即eq\r(5a2)＜|6－1|，解得－eq\r(5)＜a＜eq\r(5)，所以當兩圓有公切線時a≥eq\r(5)或a≤－eq\r(5)，所以a≥eq\r(5)能推出圓C1和C2有公切線，而圓C1和C2有公切線不能推出a≥eq\r(5)，所以“a≥eq\r(5)”是“圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：(x＋a)2＋(y－2a)2＝36存在公切線”的充分不必要條件．故選A．]二、多項選擇題9．命題“?x∈R,2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0”為真命題的充分不必要條件可能是()A．k∈(－3,0) B．k∈(－3,0]C．k∈(－3，－1) D．k∈(－3，＋∞)AC[因為?x∈R,2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0為真命題，所以k＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,k2＋3k<0，))解得－3<k≤0，所以k∈(－3,0)是命題“?x∈R,2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0”為真命題的充分不必要條件，A符合題意；所以k∈(－3,0]是命題“?x∈R,2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0”為真命題的充要條件，B不符合題意；所以k∈(－3，－1)是命題“?x∈R,2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0”為真命題的充分不必要條件，C符合題意；所以k∈(－3，＋∞)是命題“?x∈R,2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0”為真命題的必要不充分條件，D不符合題意．故選AC．]10．下列選項是“m≤2”的充分不必要條件的是()A．y＝x2－mx＋1在[1，＋∞)上單調遞增B．?x∈R，x2－mx＋1>0恒成立C．?x∈[2，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立D．y＝x2－mx＋1只有一個零點BD[對于A，y＝x2－mx＋1的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝eq\f(m,2)，因為y＝x2－mx＋1在[1，＋∞)上單調遞增，所以eq\f(m,2)≤1，即m≤2，所以y＝x2－mx＋1在[1，＋∞)上單調遞增是m≤2的充要條件，故A錯誤；對于B，?x∈R，x2－mx＋1>0，即m2－4<0，即－2<m<2，所以?x∈R，x2－mx＋1>0恒成立是m≤2的充分不必要條件，故B正確；對于C，?x∈[2，＋∞)，x2－mx＋1>0，即m<x＋eq\f(1,x)在[2，＋∞)上恒成立，所以m<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))min，令g(x)＝x＋eq\f(1,x)，則g′(x)＝1－eq\f(1,x2)，當x∈[2，＋∞)時，g′(x)>0，所以g(x)在[2，＋∞)上單調遞增，g(x)min＝g(2)＝eq\f(5,2)，所以m<eq\f(5,2)，所以?x∈[2，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立是m≤2的必要不充分條件，故C錯誤；對于D，y＝x2－mx＋1只有一個零點，即m2－4＝0，即m＝2或m＝－2，所以y＝x2－mx＋1只有一個零點是m≤2的充分不必要條件，故D正確．故選BD.]三、填空題11．“月相變化”即地球上所看到的月球被日光照亮的不同形象．當地球位于月球和太陽之間時，我們可以看到整個被太陽直射的月球部分，這就是“滿月”；當月球位于地球和太陽之間時，我們只能看到月球不被太陽照射的部分，這就是“朔月”；當地月連線和日地連線正好成直角時，若我們正好可以看到月球西半邊亮且呈半圓形，這就是“上弦月”，若我們正好可以看到月球東半邊亮且呈半圓形，這就是“下弦月”．根據以上信息可知“地月連線和日地連線正好成直角”是“下弦月”的______________________________________．(用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”填空)必要不充分條件[充分性：地月連線和日地連線正好成直角時，我們可能看到“上弦月”或“下弦月”，充分性不成立；必要性：若為“下弦月”，則地月連線和日地連線正好成直角，必要性成立．故“地月連線和日地連線正好成直角”是“下弦月”的必要不充分條件．]12．若命題“?a＜0，a＋eq\f(1,a)＞b”是假命題，則實數b的取值范圍為________.[－2，＋∞)[因為命題“?a＜0，a＋eq\f(1,a)＞b”是假命題，所以命題“?a＜0，a＋eq\f(1,a)≤b”是真命題．又當a＜0時，a＋eq\f(1,a)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,－a)))≤－2eq\r(－a·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a))))＝－2，當且僅當－a＝eq\f(1,－a)，即a＝－1時等號成立，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))max＝－2，所以b≥－2，所以實數b的取值范圍為[－2，＋∞)．]13．(2025·濟寧調研)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則“a>b”是“A＋cosA>B＋cosB”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件C[在△ABC中，若a>b，則根據大邊對大角可得A>B.設f(x)＝x＋cosx，x∈(0，π)，則f′(x)＝1－sinx，x∈(0，π)．當x∈(0，π)時，sinx∈(0,1]，所以f′(x)≥0，所以f(x)在(0，π)上單調遞增，所以a>b?A>B?f(A)>f(B)?A＋cos