第七章立體幾何與空間向量第5課時空間直線、平面的垂直[考試要求]從定義和基本事實出發，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系．鏈接教材·夯基固本1．直線與平面垂直(1)定義：一般地，如果直線l與平面α內的______一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．(2)直線與平面垂直的判定定理與性質定理：任意相交l⊥al⊥ba∩b＝Oa，b?α平行a⊥αb⊥α(3)直線和平面所成的角①定義：平面的一條斜線和它在_______________所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角．②θ的取值范圍：________________.平面上的射影0°≤θ≤90°2．二面角(1)從一條直線出發的______________所組成的圖形叫做二面角．以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內分別作____________的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．(2)二面角的平面角α的取值范圍：________________.兩個半平面垂直于棱0°≤α≤180°3．平面與平面垂直(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是_____________，就說這兩個平面互相垂直．(2)平面與平面垂直的判定定理與性質定理：直二面角垂線l⊥αl?β交線α⊥βα∩β＝al⊥al?β[常用結論]直線與平面垂直的五個結論(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內的任意直線．(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行．(4)一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直．(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)垂直于同一個平面的兩平面平行．()(2)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.(

)(3)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.(

)(4)若兩平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面．(

)××√×二、教材經典衍生1．(人教A版必修第二冊P162練習T2改編)已知平面α，β和直線m，l，則下列命題正確的是(

)A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，則l⊥βB．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥βC．若α⊥β，l?α，則l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥β√D

[若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，則l?β或l∥β或l與β相交，A錯誤；若α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l與β相交但不一定垂直，B錯誤；若α⊥β，l?α，則l?β或l∥β或l與β相交，C錯誤；若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥β，由面面垂直的性質定理可知D正確．故選D.]2．(人教A版必修第二冊P158例8改編)如圖，AB是圓柱上底面的一條直徑，C是上底面圓周上異于A，B的一點，D為下底面圓周上一點，且AD垂直圓柱的底面，則必有(

)A．平面ABC⊥平面BCDB．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACDD．平面BCD⊥平面ABD√B

[因為AB是圓柱上底面的一條直徑，所以AC⊥BC，又AD垂直于圓柱的底面，所以AD⊥BC，因為AC∩AD＝A，AC，AD?平面ACD，所以BC⊥平面ACD，因為BC?平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD.故選B．]3．(人教A版必修第二冊P152例4改編)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為_______.4．(人教A版必修第二冊P152練習T4改編)已知點P為邊長為a的正三角形ABC所在平面外一點，且PA＝PB＝PC＝a，則點P到平面ABC的距離為________.典例精研·核心考點

考點一直線與平面垂直的判定與性質[典例1]如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.證明：(1)在四棱錐P-ABCD中，因為PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，又因為AC⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，所以CD⊥平面PAC．又AE?平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．因為E是PC的中點，所以AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，所以AE⊥平面PCD.又PD?平面PCD，所以AE⊥PD.因為PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，所以PA⊥AB．又因為AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又因為AB∩AE＝A，AB，AE?平面ABE，所以PD⊥平面ABE.

判定線面垂直的四種方法[跟進訓練]1．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F在BB1上．(1)求證：C1D⊥平面AA1B1B．(2)在下列給出的三個條件中選取哪兩個條件可使AB1⊥平面C1DF？選取并證明你的結論．解：(1)證明：因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，所以A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中點，所以C1D⊥A1B1.因為AA1⊥平面A1B1C1，C1D?平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1?平面AA1B1B，所以C1D⊥平面AA1B1B．(2)選①③能證明AB1⊥平面C1DF.如圖，連接A1B，所以DF∥A1B，在△ABC中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，

考點二平面與平面垂直的判定與性質[典例2]如圖，四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA＝AD，DC＝2AB，E為PC的中點．求證：(1)PA⊥BC；(2)BE⊥平面PDC．證明：(1)因為平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PA?平面PAB，PA⊥AB，所以PA⊥平面ABCD.因為BC?平面ABCD，所以PA⊥BC．(2)如圖，取PD的中點F，連接EF，AF.在△PCD中，E，F分別為PC，PD的中點，所以EF∥DC，所以四邊形ABEF是平行四邊形，所以BE∥AF.因為PA＝AD，F為PD的中點，所以AF⊥PD，所以BE⊥PD.因為PA⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PA⊥DC．因為AB∥CD，∠DAB＝90°，所以AD⊥DC．因為DC⊥AD，DC⊥PA，AD∩PA＝A，AD，PA?平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因為AF?平面PAD，所以DC⊥AF.因為BE∥AF，所以DC⊥BE.因為BE⊥DC，BE⊥PD，DC∩PD＝D，DC，PD?平面PDC，所以BE⊥平面PDC．

證明面面垂直的兩種方法提醒：在已知兩個平面垂直時，一般要在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直．[跟進訓練]2．如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，點B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中點，且BC＝CA＝AA1.求證：(1)平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；(2)BC1⊥AB1.證明：(1)設BC的中點為M，連接B1M，如圖所示，因為點B1在底面ABC上的射影恰好是點M，所以B1M⊥平面ABC，又因為AC?平面ABC，所以B1M⊥AC，又由BC⊥AC，B1M∩BC＝M，B1M，BC?平面B1C1CB，所以AC⊥平面B1C1CB，因為AC?平面ACC1A1，所以平面ACC1A1⊥平面B1C1CB．(2)連接B1C，因為AC⊥平面B1C1CB，且BC1?平面B1C1CB，所以AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，因為BC＝CC1，所以四邊形B1C1CB為菱形，所以B1C⊥BC1.又因為B1C∩AC＝C，且B1C，AC?平面ACB1，所以BC1⊥平面ACB1.因為AB1?平面ACB1，所以BC1⊥AB1.

考點三垂直關系的綜合應用[典例3]如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面PBC，PA⊥平面ABC．(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)若AC＝BC＝PA，求二面角A-PB-C的大小．解：(1)證明：如圖，作AD⊥PC于D，因為平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD?平面PAC，所以AD⊥平面PBC．又BC?平面PBC，則AD⊥BC，又因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC．又PA，AD?平面PAC，PA∩AD＝A，則BC⊥平面PAC．(2)如圖，作AD⊥PC于點D，作DE⊥PB于點E，連接AE，由(1)知AD⊥平面PBC，PB?平面PBC，則AD⊥PB．又AD，DE?平面ADE，AD∩DE＝D，則PB⊥平面ADE，又AE?平面ADE，則PB⊥AE，則∠AED即為二面角A-PB-C的平面角．

三種垂直關系的轉化[跟進訓練]3．(2025·淄博模擬)如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，四邊形PACQ是矩形，PA＝1，且平面PACQ⊥平面ABCD.求：(1)直線BP與平面PACQ所成角的正弦值；(2)平面BPQ與平面DPQ的夾角的大小；(3)點C到平面BPQ的距離．解：(1)如圖，連接BD交AC于點O，連接OP，因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC．因為平面PACQ⊥平面ABCD，平面PACQ∩平面ABCD＝AC，BD?平面ABCD，所以BD⊥平面PACQ，所以∠BPO即為直線BP與平面PACQ所成角．因為四邊形PACQ為矩形，所以PA⊥AC，(2)取PQ的中點M，連接BM，DM，由(1)知，PA⊥平面ABCD.因為四邊形ABCD是菱形，四邊形PACQ為矩形，所以BP＝BQ，DP＝DQ，所以BM⊥PQ，DM⊥PQ，所以∠BMD即為二面角B-PQ-D的平面角，1．三垂線定理如果平面內的一條直線和這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．2．三垂線定理的逆定理如果平面內的一條直線和該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內的射影垂直．

A

BCD[典例1]

(多選)(2021·新高考Ⅱ卷)如圖，下列各正方體中，O為下底面的中心，M，N為頂點，P為正方體所在棱的中點，則滿足M