第十章統計與成對數據的統計分析第4課時概率、統計的綜合問題典例精研·核心考點

考點一以統計圖表為載體的概率統計問題[典例1]

(2022·新高考Ⅱ卷)在某地區進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖．(1)估計該地區這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)．(2)估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間[20,70)的概率．(3)已知該地區這種疾病的患病率為0.1%，該地區年齡位于區間[40,50)的人口占該地區總人口的16%，從該地區中任選一人，若此人的年齡位于區間[40,50)，求此人患這種疾病的概率(以樣本數據中患者的年齡位于各區間的頻率作為患者的年齡位于該區間的概率，精確到0.0001)．

該類問題常常借助圖形或表格，將文字、圖表、數據等融為一體，考查考生的直觀想象和數學建模素養，求解的關鍵是立足題干提取信息，結合統計的相關知識進行數據分析或結合概率模型求解相應概率．[跟進訓練]1．(2025·日照模擬)某學校號召學生參加“每天鍛煉1小時”活動，為了了解學生參與活動的情況，隨機調查了100名學生一個月(30天)完成鍛煉活動的天數，制成如下頻數分布表：天數[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30]人數4153331116(1)由頻數分布表可以認為，學生參加體育鍛煉天數X近似服從正態分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本的平均數(每組數據取區間的中間值)，且σ＝6.1，若全校有3000名學生，求參加“每天鍛煉1小時”活動超過21天的人數(精確到1)．(2)調查數據表明，樣本中參加“每天鍛煉1小時”活動的天數在[15,30]的學生中有30名男生，天數在[0,15)的學生中有20名男生，學校對當月參加“每天鍛煉1小時”活動不低于15天的學生授予“運動達人”稱號．請填寫下面列聯表：性別活動天數合計[0,15)[15,30]男生

女生

合計

并依據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否認為學生性別與獲得“運動達人”稱號有關聯．如果結論是有關聯，請解釋它們之間如何相互影響．附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(2)由頻數分布表知，鍛煉活動的天數在[0,15)的人數為4＋15＋33＝52，因為參加“每天鍛煉1小時”活動的天數在[0,15)的學生中有20名男生，所以參加“每天鍛煉1小時”活動的天數在[0,15)的學生中女生人數為52－20＝32.由頻數分布表知，鍛煉活動的天數在[15,30]的人數為31＋11＋6＝48，因為參加“每天鍛煉1小時”活動的天數在[15,30]的學生中有30名男生，所以參加“每天鍛煉1小時”活動的天數在[15,30]的學生中女生人數為48－30＝18.列聯表如下：性別活動天數合計[0,15)[15,30]男生203050女生321850合計5248100

考點二概率、統計與數列的綜合問題[典例2]

(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率．(2)求第i次投籃的人是甲的概率．

解答此類問題的關鍵是借助概率知識(如相互獨立事件的概率公式、條件概率公式等)建立Pn＋1與Pn的遞推關系，然后利用數列知識(一般是構造法)求解．[跟進訓練]2．(2025·煙臺模擬)某籃球賽事采取四人制形式．在一次戰術訓練中，甲、乙、丙、丁四名隊員進行傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外三人中的任何一人．n次傳球后，記事件“乙、丙、丁三人均接過傳出來的球”發生的概率為Pn.(1)求P3;(2)當n＝3時，記乙、丙、丁三人中接過傳出來的球的人數為X，求隨機變量X的分布列及數學期望；

考點三概率、統計與函數的交匯問題

[典例3]

(12分)根據社會人口學研究發現，一個家庭有X個孩子的概率模型如下：

該類問題常以實際生活中的概率、統計知識為背景，將概率、統計與函數建模融合在一起，充分借助函數的性質研究相關問題的最值，可能涉及函數的單調性、導數等知識，求解時注意合理轉化．[跟進訓練]3．(2021·新高考Ⅱ卷)一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代……該微生物每代繁殖的個數是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，P(X＝i)＝pi(i＝0,1,2,3)．(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)．(2)設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個最小正實根，求證：當E(X)≤1時，p＝1；當E(X)>1時，p<1.(3)根據你的理解說明(2)問結論的實際含義．解：(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.(2)證明：法一(常規求導)：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x＝0，x＞0，令f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x，f′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1，令g(x)＝f′(x)，則g′(x)＝2p2＋6p3x>0，所以f′(x)在(0，＋∞)上單調遞增，當E(X)＝p1＋2p2＋3p3≤1時，注意到x∈(0,1]時，f′(x)≤f′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1≤0，所以f(x)在(0,1]上單調遞減，注意到f(1)＝0，所以x＝1，即p＝1.當E(X)＝p1＋2p2＋3p3＞1時，注意到f′(0)＝p1－1＜0，f′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1＞0，所以存在唯一的x0∈(0,1)使f′(x0)＝0，且當0＜x＜x0時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減；當x0＜x＜1時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增，注意到f(0)＝p0＞0，f(1)＝0，所以f(x0)＜f(1)＝0.所以f(x)在(0，x0)上有一個零點x1，另一個零點為1，所以p＝x1＜1.法二(巧妙因式分解)：由題意知p0＋p1＋p2＋p3＝1，E(X)＝p1＋2p2＋3p3，由p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x?p0＋p2x2＋p3x3－(1－p1)x＝0，所以p0＋p2x2＋p3x3－(p0＋p2＋p3)x＝0?p0(1－x)＋p2x(x－1)＋p3x(x－1)·(x＋1)＝0，(x－1)[p3x2＋(p2＋p3)x－p0]＝0，注意到f(0)＝－p0＜0，f(1)＝2p3＋p2－p0＝p1＋2p2＋3p3－1＝E(X)－1，當E(X)≤1時，f(1)≤0，f(x)的正實根x0≥1，原方程的最小正實根p＝1，當E(X)＞1時，f(1)＞0，f(x)的正實根x0＜1，原方程的最小正實根p＝x0＜1.(3)當1個微生物