第十章統計與成對數據的統計分析第3課時成對數據的統計分析[考試要求]

1.了解樣本相關系數的統計含義.2.理解一元線性回歸模型和2×2列聯表，會運用這些方法解決簡單的實際問題.3.會利用統計知識進行數據分析．鏈接教材·夯基固本1．變量的相關關系兩個變量_________，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系，即不確定性關系．有關系2．相關關系的分類(1)按變量間的增減性分為___相關和___相關．①正相關：當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現______的趨勢；②負相關：當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現______的趨勢．正負增加減小(2)按變量間是否有線性特征分為______相關和_________相關(曲線相關)．①線性相關：如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關，而且散點落在____________附近，我們稱這兩個變量線性相關；②非線性相關或曲線相關：如果兩個變量具有相關性，但不是______相關，我們稱這兩個變量非線性相關或曲線相關．線性非線性一條直線線性3．相關關系的刻畫(1)散點圖：成對樣本數據都可用直角坐標系中的點表示出來，由這些點組成的統計圖，叫做散點圖．(2)樣本相關系數r的計算式(3)樣本相關系數r的性質①樣本相關系數r的取值范圍為__________；②當r>0時，成對樣本數據___相關；③當r<0時，成對樣本數據___相關；④樣本相關系數與相關程度當|r|越接近___時，成對樣本數據的線性相關程度越強；當|r|越接近___時，成對樣本數據的線性相關程度越弱．提醒：當兩個變量的|r|＝1時，兩個變量呈函數關系．[－1,1]正負104．一元線性回歸模型與最小二乘法(1)一元線性回歸模型因變量自變量abbx＋a0(2)最小二乘法5．刻畫回歸效果的方式(1)殘差圖法在殘差圖中，殘差點比較均勻地落在以橫軸為對稱軸的水平的帶狀區域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區域的寬度越___，說明模型擬合精度越高．(2)殘差平方和法殘差平方和為_______________，殘差平方和越___，模型擬合效果越好．窄小(3)決定系數法6．列聯表與獨立性檢驗(1)分類變量X，Y的2×2列聯表：XY合計Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d則χ2＝________________________.(2)利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否______的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗．(3)χ2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828獨立[常用結論]一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學水平與學生的水平成正相關關系．(

)(2)樣本相關系數的絕對值越接近1，成對樣本數據的線性相關程度越強．(

)(3)若事件X，Y關系越密切，則由觀測數據計算得到的χ2的觀測值越小．(

)√√××二、教材經典衍生1．(人教A版選擇性必修第三冊P103習題8.1T1改編)下列四個散點圖中，變量x與y之間具有負的線性相關關系的是(

)ABCD√D

[觀察散點圖可知，只有D選項的散點圖表示的是變量x與y之間具有負的線性相關關系．]2．(人教A版選擇性必修第三冊P103練習T3改編)在一次試驗中，測得(x，y)的四組值分別為(1,2)，(2,0)，(4，－4)，(－1,6)，則y與x的相關系數為(

)√4．(人教A版選擇性必修第三冊P133

例4改編)為了調查患肺癌是否與吸煙有關，調查了100名50歲以下的人，調查結果如下表：單位：人吸煙肺癌合計肺癌患者非肺癌患者吸煙者20m40非吸煙者n5560合計2575100根據列聯表數據，求得χ2＝________(保留3位有效數字)，那么，在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為患肺癌與吸煙________.典例精研·核心考點

考點一成對數據的相關性[典例1]

(1)(2023·天津高考)調查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數據如圖所示．其中相關系數r＝0.8245，下列說法正確的是(

)A．花瓣長度和花萼長度沒有相關性B．花瓣長度和花萼長度呈現負相關C．花瓣長度和花萼長度呈現正相關D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關系數一定是0.8245√(2)(多選)某服裝生產商為了解青少年的身高(單位：cm)和體重(單位：kg)的關系，在15歲的男生中隨機抽測了10人的身高和體重，數據如下表所示：編號12345678910身高/cm165168170172173174175177179182體重/kg55896165677075757880由表中數據制作成如下所示的散點圖：√√

判定兩個變量正、負相關的方法(1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負相關．(2)相關系數：r＞0時，正相關；r＜0時，負相關．[跟進訓練]1．(1)(2024·天津高考)下列圖中，相關系數最大的是(

)ABCD√

考點二回歸模型

一元線性回歸模型[典例2]據統計，某城市居民年收入(所有居民在一年內收入的總和，單位：億元)與某類商品銷售額(單位：億元)的10年數據如表所示：第n年12345678910居民年收入x32.231.132.935.737.138.039.043.044.646.0商品銷售額y25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0依據表格數據，得到下面一些統計量的值．(1)根據表中數據，得到樣本相關系數r≈0.95.以此推斷，y與x的線性相關程度是否很強？(2)根據統計量的值與樣本相關系數r≈0.95，建立y關于x的經驗回歸方程(系數精確到0.01)．

非線性回歸模型

回歸分析問題的類型及解題方法(1)求經驗回歸方程①根據散點圖判斷兩變量是否線性相關，若非線性相關，則應通過換元構造線性相關．(2)利用經驗回歸方程進行預測，把經驗回歸方程看作一次函數，求函數值．(4)經驗回歸方程的擬合效果，可以利用相關系數判斷，當|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關性越強．提醒：非線性問題的處理要通過換元、取對數等方法把非線性問題轉化為線性問題．[跟進訓練]2．(2025·東營模擬)某研究所為了研究某種昆蟲的產卵數y(單位：個)與溫度x(單位：℃)之間的關系，現將收集到的溫度xi和一組昆蟲的產卵數yi(i＝1,2，…，6)的6組觀測數據作了初步處理，得到如圖的散點圖及一些統計數據．

考點三獨立性檢驗[典例4]

(2023·全國甲卷改編)一項試驗旨在研究臭氧效應，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養在高濃度臭氧環境，對照組的小白鼠飼養在正常環境，一段時間后統計每只小白鼠體重的增加量(單位：g)．試驗結果如下：對照組的小白鼠體重的增加量(單位：g)從小到大排序為15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.527.5

30.1

32.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.836.2

37.3

40.5

43.2試驗組的小白鼠體重的增加量(單位：g)從小到大排序為7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.819.2

19.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.232.3

36.5(1)計算試驗組的樣本平均數．(2)①求40只小白鼠體重的增加量的中位數m，再分別統計兩樣本中小于m與不小于m的數據的個數，完成如下列聯表；組別小白鼠體重的增加量合計<m≥m對照組

試驗組

合計

②根據①中的列聯表，依據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否以此推斷小白鼠在高濃度臭氧環境中與在正常環境中體重的增加量有差異？填寫列聯表如下：組別小白鼠體重的增加量合計<m≥m對照組61420試驗組14620合計202040②零假設為H0：小白鼠在高濃度臭氧環境中與在正常環境中體重的增加量無差異．根據列聯表中數據，得所以依據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為小白鼠在高濃度臭氧環境中與在正常環境中體重的增加量有差異，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.

χ2獨立性檢驗的一般步驟(1)根據樣本數據完成2×2列聯表．(3)比較χ2與臨界值的大小關系，作統計推斷．[跟進訓練]3．(2025·八省適應性測試)為考察某種藥物A對預防疾病B的效果，進行了動物(單位：只)試驗，得到如下列聯表：藥物疾病合計未患病患病未服用10080s服用15070220合計250t400(1)求s，t；(2)記未服用藥物A的動物患疾病B的概率為p，給出p的估計值；(3)根據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，能否認為藥物A對預防疾病B有效？(3)零假設為H