第九章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第5課時(shí)離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)字特征[考試要求]

1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念.2.理解并會(huì)求離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征．鏈接教材·夯基固本1．隨機(jī)變量的有關(guān)概念(1)隨機(jī)變量：一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有______的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量．(2)離散型隨機(jī)變量：可能取值為有限個(gè)或可以____________的隨機(jī)變量．唯一一一列舉2．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列．(2)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：①pi___0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝___.≥13．兩點(diǎn)分布X01P1－pp我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0－1分布．提醒：隨機(jī)變量X只取兩個(gè)值的分布未必是兩點(diǎn)分布．4．離散型隨機(jī)變量的均值與方差離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值稱E(X)＝_____________________＝_________為隨機(jī)變量X的______或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱____.它反映了隨機(jī)變量取值的________.(2)方差稱D(X)＝________________為隨機(jī)變量X的方差，可以用來度量隨機(jī)變量X的取值與其均值E(X)的__________，并稱______為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X)．x1p1＋x2p2＋…＋xnpn均值期望平均水平偏離程度5．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝___________.(a，b為常數(shù))(2)D(aX＋b)＝________.(a，b為常數(shù))aE(X)＋ba2D(X)[常用結(jié)論]1．若X1，X2相互獨(dú)立，則E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2).2．均值與方差的關(guān)系：D(X)＝E(X2)－(E(X))2.一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)離散型隨機(jī)變量的分布列中，各個(gè)概率之和可以小于1.(

)(2)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的．(

)(3)新生兒的性別、投籃是否命中、買到的商品是否為正品，可用兩點(diǎn)分布研究．(

)(4)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小．(

)×√√√二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P60練習(xí)T2(1)改編)拋擲兩枚骰子一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)減去第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差為ξ，則“ξ≥5”表示的試驗(yàn)結(jié)果是(

)A．第一枚6點(diǎn)，第二枚2點(diǎn)B．第一枚5點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)C．第一枚1點(diǎn)，第二枚6點(diǎn)D．第一枚6點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)D

[第一枚的點(diǎn)數(shù)減去第二枚的點(diǎn)數(shù)不小于5，即只能等于5.故選D.]√2．(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P60練習(xí)T3改編)已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝a，那么a＝________.3.(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P70練習(xí)T1改編)已知隨機(jī)變量X的分布列為典例精研·核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一分布列的性質(zhì)√√(2)設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為

分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性．(2)隨機(jī)變量X所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1.(1)若隨機(jī)變量X的分布列為X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P(X＜a)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－∞，2]

B．[1,2]C．(1,2] D．(1,2)(2)設(shè)隨機(jī)變量ξ等可能地取1,2,3,4，…，10，若隨機(jī)變量η＝2ξ－1，則P(η<6)＝____________.√(1)C

(2)0.3

[(1)由隨機(jī)變量X的分布列知，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，故當(dāng)P(X＜a)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2]．

考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征[典例2]

(2022·全國甲卷)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X

表示乙學(xué)校的總得分，求X

的分布列與期望．即X

的分布列為X0102030P0.160.440.340.06期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.

離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)編號(hào)為1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)為1,2,3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的人數(shù)是ξ，則E(ξ)＝________，D(ξ)＝____________.(2)(2024·北京高考)某保險(xiǎn)公司為了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同保險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：索賠次數(shù)01234保單份數(shù)800100603010假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前三次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元．假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率．①估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率．②一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差．(ⅰ)記X為一份保單的毛利潤，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E(X)；(ⅱ)如果無索賠的保單的保費(fèi)減少4%，有索賠的保單的保費(fèi)增加20%，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值與(ⅰ)中E(X)估計(jì)值的大小．(結(jié)論不要求證明)證明如下：設(shè)調(diào)整保費(fèi)后一份保單的毛利潤(單位：萬元)為Y，則對(duì)于索賠次數(shù)為0的保單，Y＝0.4×(1－4%)＝0.384；對(duì)于索賠次數(shù)為1的保單，Y＝0.4×(1＋20%)－0.8＝－0.32；對(duì)于索賠次數(shù)為2的保單，Y＝－0.32－0.8＝－1.12；對(duì)于索賠次數(shù)為3的保單，Y＝－1.12－0.8＝－1.92；對(duì)于索賠次數(shù)為4的保單，Y＝－1.92－0.6＝－2.52.故E(Y)＝0.384×0.8－0.32×0.1－1.12×0.06－1.92×0.03－2.52×0.01＝0.1252.所以E(X)<E(Y)．

考點(diǎn)三數(shù)字特征在決策中的應(yīng)用[典例3]

(2024·新高考Ⅱ卷)某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成．比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段．第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分，該隊(duì)的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設(shè)0<p<q.(ⅰ)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？(ⅱ)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？解：(1)若甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分，則甲第一階段比賽中至少投中一次，乙第二階段比賽中也至少投中一次，所以甲、乙所在隊(duì)比賽成績不少于5分的概率為P＝(1－0.63)×(1－0.53)＝0.686.(2)(ⅰ)若甲參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率為P甲＝[1－(1－p)3]q3；若乙參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率為P乙＝[1－(1－q)3]p3.所以P甲－P乙＝q3－(q－pq)3－p3＋(p－pq)3＝(q－p)(q2＋pq＋p2)＋(p－q)[(p－pq)2＋(q－pq)2＋(p－pq)(q－pq)]＝(p－q)(3p2q2－3p2q－3pq2)＝3pq(p－q)(pq－p－q)＝3pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]．因?yàn)?<p<q，又p<1，q<1，所以p－q<0，(1－p)(1－q)－1<0，所以pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]>0，所以P甲>P乙，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽．(ⅱ)若甲參加第一階段比賽，比賽成績X的所有可能取值為0,5,10,15，P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3，

利用均值、方差進(jìn)行決策的方法隨機(jī)變量的均值和方差從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是實(shí)際生產(chǎn)中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(2021·新高考Ⅰ卷)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列．(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．解：(1)由已知可得，X的所有可能取值為0,20,100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)當(dāng)小明先回答A類問題時(shí)，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.當(dāng)小明先回答B(yǎng)類問題時(shí)，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0,80,100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0