第九章計數原理、概率、隨機變量及其分布第4課時事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式[考試要求]

1.了解兩個事件相互獨立的含義.2.理解隨機事件的獨立性和條件概率的關系，會利用全概率公式計算概率．鏈接教材·夯基固本1．事件的相互獨立性P(A)P(B)P(B)P(A)2．條件概率②概率的乘法公式：P(AB)＝_______________.P(A)P(B|A)3．全概率公式一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝________________，我們稱該公式為全概率公式．[常用結論]1．事件的關系與運算3．P(AB)求法(1)古典概型；(2)相互獨立事件：P(AB)＝P(A)·P(B)；(3)概率的乘法公式P(AB)＝P(A)·P(B|A)．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)相互獨立事件就是互斥事件．(

)(2)對于任意兩個事件，公式P(AB)＝P(A)·P(B)都成立．(

)(3)P(B|A)表示在事件A發生的條件下，事件B發生的概率，P(AB)表示事件A，B同時發生的概率．(

)(4)若事件A，B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)．(

)××√√二、教材經典衍生1．(多選)(人教A版必修第二冊P266復習參考題10T1改編)袋內有3個白球和2個黑球，從中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”記為B，其對立事件記為C，那么事件A與B，A與C的關系是(

)A．A與B相互獨立 B．A與C相互獨立C．A與C互斥 D．A與B互斥AB

[由于摸球過程是有放回地，所以第一次摸球的結果對第二次摸球的結果沒有影響，故事件A與B，A與C均相互獨立，且A與B，A與C均有可能同時發生，說明A與B，A與C均不互斥．]√√2．(人教A版選擇性必修第三冊P46例1改編)在5道題中有3道代數題和2道幾何題．如果不放回地依次抽取2道題，則在第1次抽到幾何題的條件下，第2次抽到代數題的概率為(

)√3．(人教A版必修第二冊P253練習T3改編)天氣預報：元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假設在這段時間內兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為(

)A．0.2 B．0.3C．0.38 D．0.56√典例精研·核心考點

考點一事件的相互獨立性[典例1]

(1)(2021·新高考Ⅰ卷)有6個相同的球，分別標有數字1,2,3,4,5,6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則(

)A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立√√

1.兩個事件是否相互獨立的判斷(1)直接法：由事件本身的性質直接判定兩個事件發生是否相互影響．(2)公式法：若P(AB)＝P(A)P(B)，則事件A，B為相互獨立事件．2．求相互獨立事件同時發生的概率的方法(1)首先判斷幾個事件的發生是否相互獨立．(2)求相互獨立事件同時發生的概率的方法主要有：①利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解．②正面計算較煩瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算．[跟進訓練]1．(1)(2024·上海高考)有四個禮盒，前三個里面分別僅裝有中國結、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三種禮品都有，現從中任選一個盒子，設事件A：所選盒中有中國結，事件B：所選盒中有記事本，事件C：所選盒中有筆袋，則(

)A．事件A與事件B互斥B．事件A與事件B相互獨立C．事件A與事件B∪C互斥D．事件A與事件B∩C相互獨立√(2)

11分制乒乓球比賽，每贏1球得1分，當某局打成10∶10平后，每球交換發球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束．已知甲、乙兩位同學進行11分制乒乓球比賽，雙方10∶10平后，甲先發球，假設甲發球時甲得分的概率為0.5，乙發球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立．①求事件“兩人又打了2個球比賽結束”的概率；②求事件“兩人又打了4個球比賽結束且甲獲勝”的概率．

考點二條件概率[典例2]

(1)(2023·全國甲卷)某地的中學生中有60%的同學愛好滑冰，50%的同學愛好滑雪，70%的同學愛好滑冰或愛好滑雪．在該地的中學生中隨機調查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為(

)A．0.8

B．0.6

C．0.5

D．0.4(2)一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，若從中一次性任取3球，則恰有一個白球的概率是________；若從中不放回地取球2次，每次任取1球，記“第一次取到紅球”為事件A,“第二次取到紅球”為事件B，則P(B|A)＝________.√

求條件概率的兩種方法[跟進訓練]2．(1)(2024·天津高考)有A，B，C，D，E五個活動，甲、乙都要選擇三個活動參加．甲選到A的概率為____________；已知乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為___________.(2)(2022·天津高考)現有52張撲克牌(去掉大小王)，每次取一張，取后不放回，則兩次都抽到A的概率為________；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為________________．

考點三全概率公式的應用[典例3]假設有兩個密閉的盒子，第一個盒子里裝有3個白球、2個紅球，第二個盒子里裝有2個白球、4個紅球，這些小球除顏色外完全相同．(1)每次從第一個盒子里隨機取出一個球，取出的球不再放回，經過兩次取球，求取出的兩球中有紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率．(2)若先從第一個盒子里隨機取出一個球放入第二個盒子中，搖勻后，再從第二個盒子里隨機取出一個球，求從第二個盒子里取出的球是紅球的概率．

“化整為零”求多事件的全概率問題(2)已知事件B的發生有各種可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B發生的可能性，就是各種可能情形Ai發生的可能性與已知在Ai發生的條件下事件B發生的可能性的乘積之和．[跟進訓練]3．(1)(2024·上海高考)某校舉辦科學競技比賽，有A，B，C3種題庫，A題庫有5000道題，B題庫有4000道題，C題庫有3000道題．小申已完成所有題，已知小申完成A題庫的正確率是0.92，B題庫的正確率是0.86，C題庫的正確率是0.72.現他從所有的題中隨機選一題，正確率是________.(2)有一批同規格的產品，由甲、乙、丙三家工廠生產，其中甲、乙、丙工廠分別生產3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工廠的次品率依次為6%,5%,5%，現