第八章解析幾何第8課時拋物線[考試要求]

1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.了解拋物線的簡單應(yīng)用.4.理解數(shù)形結(jié)合的思想．鏈接教材·夯基固本1．拋物線的概念把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離______的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的______，直線l叫做拋物線的______.相等焦點準(zhǔn)線2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)O(0,0)[常用結(jié)論]1．與焦點弦有關(guān)的常用結(jié)論

一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線．(

)(2)若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線一定相切．(

)(4)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．(

)××××二、教材經(jīng)典衍生A．y＝－1 B．y＝－2C．x＝－1 D．x＝－2√2．(人教A版選擇性必修第一冊P133練習(xí)T3改編)若拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標(biāo)是(

)√3．(人教A版選擇性必修第一冊P135例4改編)已知過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點．如果x1＋x2＝6，那么|PQ|等于(

)A．9 B．8C．7 D．6B

[拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.根據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]√4．(人教A版選擇性必修第一冊P134例3改編)已知拋物線的頂點是原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點P(－2，－4)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.y2＝－8x或x2＝－y

[設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．將P(－2，－4)代入，分別得方程為y2＝－8x或x2＝－y.]典例精研·核心考點

考點一拋物線的定義及應(yīng)用

動點軌跡的判定[典例1]

(1)(2025·泰安模擬)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，動點P(x，y)到直線x＝1的距離比它到定點(－2,0)的距離小1，則P的軌跡方程為(

)A．y2＝2x

B．y2＝4xC．y2＝－4x D．y2＝－8x√(2)動圓與定圓A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直線x＝1相切，則動圓圓心的軌跡是(

)A．直線 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線√(1)D

(2)D

[(1)由題意知動點P(x，y)到直線x＝2的距離與定點(－2,0)的距離相等，由拋物線的定義知，P的軌跡是以(－2,0)為焦點，x＝2為準(zhǔn)線的拋物線，所以p＝4，軌跡方程為y2＝－8x.故選D.(2)設(shè)動圓的圓心為點C，半徑為r，則點C到定圓A：(x＋2)2＋y2＝1的圓心的距離等于r＋1.又動圓的圓心到直線x＝1的距離等于r，所以動圓的圓心到直線x＝2的距離為r＋1.根據(jù)拋物線的定義知，動圓圓心的軌跡為拋物線．故選D.]

拋物線上的點到定點的距離及最值[典例2]

(1)(2023·北京高考)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，點M在C上，若M到直線x＝－3的距離為5，則|MF|＝(

)A．7

B．6C．5

D．4(2)已知點M(20,40)不在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，拋物線C的焦點為F.若對于拋物線上的一點P，|PM|＋|PF|的最小值為41，則p的值等于____________.√(1)D

(2)42或22

[(1)如圖所示，因為點M到直線x＝－3的距離|MR|＝5，所以點M到直線x＝－2的距離|MN|＝4.又拋物線上點M到準(zhǔn)線x＝－2的距離和到焦點F的距離相等，故|MF|＝|MN|＝4.故選D.

拋物線定義的應(yīng)用規(guī)律[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)已知拋物線x2＝4y的焦點為F，準(zhǔn)線l與坐標(biāo)軸交于點N，M是拋物線上一點．若|FN|＝|FM|，則△FMN的面積為(

)(2)已知P為拋物線y2＝4x上的一個動點，Q為圓x2＋(y－4)2＝1上的一個動點，那么點P到點Q的距離與點P到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值是____________.√

考點二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)[典例3]

(1)(多選)過點(1，－2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是(

)A．y2＝4x B．y2＝－4x(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標(biāo)原點，拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準(zhǔn)線方程為______.√√

1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法．(2)待定系數(shù)法：當(dāng)焦點位置不確定時，為避免過多的討論，通常依據(jù)焦點所在的位置，將拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)為y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)．2．拋物線性質(zhì)的應(yīng)用要樹立兩個意識(1)轉(zhuǎn)化意識：“見準(zhǔn)線想焦點，見焦點想準(zhǔn)線”．(2)圖形意識：借助平面圖形的性質(zhì)簡化運算．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2.(1)(2025·日照模擬)設(shè)拋物線y2＝6x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點，過P作l的垂線，垂足為Q.若直線QF的傾斜角為120°，則|PF|＝(

)A．3

B．6C．9

D．12√(2)如圖所示，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點A，B，C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，則拋物線的方程為(

)A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x(3)已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點，P為C上一點．若|PF|＝4，則△POF的面積為________.√

考點三直線與拋物線的位置關(guān)系√√

解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的方法(1)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點．若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p；若不過焦點，則必須用一般弦長公式．(2)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系，采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法．提醒：涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解．(3)重視常用結(jié)論在選擇、填空題中的靈活應(yīng)用．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點，直線l：y＝k(x＋1)與C交于A，B兩點(A在B的左邊)，則4|AF|＋|BF|的最小值是(

)A．10

B．9C．8

D．5(2)(多選)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標(biāo)原點，點A(1,1)在拋物線C：x2＝2py(p＞0)上，過點B(0，－1)的直線交C于P，Q兩點，則(

)A．C的準(zhǔn)線為y＝－1 B．直線AB與C相切C．|OP|·|OQ|＞|OA|2 D．|BP|·|BQ|＞|BA|2√√√√(2)直線AB過拋物線的焦點；(3)過F的直線與拋物線交于A，B兩點，以A，B分別為切點作兩條切線，則這兩條切線的交點P(x0，y0)的軌跡即為拋物線的準(zhǔn)線；(4)PF⊥AB；(5)AP⊥PB；(6)若直線AB的中點為M，則PM平行于拋物線的對稱軸．[典例1]

(多選)阿基米德是古希臘的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家．若拋物線上任意兩點A，B處的切線交于點P，則稱△PAB為“阿基米德三角形”．已知拋物線x2＝8y的焦點為F，過拋物線上兩點A，B的直線的方程為x－y＋2＝0，弦AB的中點為C，則關(guān)于“阿基米德三角形”PAB，下列結(jié)論正確的是(

)√√√[典例2]

(2021·全國乙卷)已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點為F，且F與圓M：x2＋(y＋4)2＝1