第七章立體幾何與空間向量第8課時向量法求距離及立體幾何中的探索性、翻折問題[考試要求]

1.能用向量的方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面間的距離問題.2.掌握空間幾何體中的探索性及翻折問題的求解方法．鏈接教材·夯基固本1．點P到直線l的距離2．點P到平面α的距離[常用結論]1．平行線間的距離可以轉化為點到直線的距離．2．線面距離、面面距離都可以轉化為點到平面的距離．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)點A到平面α的距離是點A與α內任意一點的線段的最小值．(

)(2)點到直線的距離也就是該點與直線上任意一點連線的長度．(

)(3)若直線l平行于平面α，則直線l上各點到平面α的距離相等．(

)(4)若直線l上兩點到平面α的距離相等，則l平行于平面α.(

)√×√×二、教材經典衍生(人教A版選擇性必修第一冊P35練習T2改編)如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點，F為線段AB的中點，則：(1)點B到直線AC1的距離為________；(2)直線FC到平面AEC1的距離為________.所以FC∥EC1.因為EC1?平面AEC1，FC?平面AEC1，所以FC∥平面AEC1，所以點F到平面AEC1的距離即為直線FC到平面AEC1的距離．典例精研·核心考點

考點一求空間距離(1)求證：平面OPC⊥平面OPA；(2)求點B到平面OAE的距離；(3)點F在平面OAE內，求線段PF的長．所以OC2＋OA2＝AC2，所以OA⊥OC．又PO∩OA＝O，PO?平面OPA，OA?平面OPA，所以OC⊥平面OPA．又OC?平面OPC，所以平面OPC⊥平面OPA．(2)因為PO⊥平面OABC，OA⊥OC，所以以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．

求點到平面的距離的常用方法(1)直接法：過點P作平面α的垂線，垂足為Q，把PQ放在某個三角形中，解三角形求出PQ的長度，該長度就是點P到平面α的距離．(2)轉化法：若點P所在的直線l平行于平面α，則轉化為直線l上某一個點到平面α的距離來求．(3)等體積法．[跟進訓練]1．(1)四面體OABC滿足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB＝2，OC＝3，點D在棱OC上，且OC＝3OD，點G為△ABC的重心，則點G到直線AD的距離為(

)√√√√(1)A

(2)BCD

[(1)四面體OABC滿足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，即OA，OB，OC兩兩垂直，以點O為原點，以射線OA，OB，OC的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，因為OA＝1，OB＝2，OC＝3，OC＝3OD，則

考點二立體幾何中的探索性問題[典例2]如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等邊三角形，平面ABB1A1⊥平面ABC，A1B⊥AB，AC＝2，∠A1AB＝60°，O為AC的中點．解：(1)證明：因為△ABC是等邊三角形，O是AC的中點，所以AC⊥OB，因為平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，A1B⊥AB，A1B?平面ABB1A1，所以A1B⊥平面ABC，因為AC?平面ABC，所以A1B⊥AC，因為AC⊥OB，A1B∩OB＝B，A1B，OB?平面A1BO，所以AC⊥平面A1BO.(2)存在，線段CC1的中點P滿足題意．理由如下：因為A1B⊥平面ABC，OB⊥AC，以O為原點，OA，OB所在直線分別為x軸、y軸，過點O作Oz∥A1B，以Oz所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

(1)對于存在判斷型問題的求解，應先假設存在，把要成立的結論當作條件，據此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解，是否有規定范圍內的解”等．(2)對于位置探究型問題，通常借助向量，引進參數，綜合已知和結論列出等式，解出參數．[跟進訓練]2．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E為PD的中點．(1)求證：PA⊥平面ABCD.(2)求PC與平面ACE所成角的正弦值．解：(1)證明：因為四邊形ABCD為正方形，所以BC⊥AB，CD⊥AD.因為PB⊥BC，BC⊥AB，PB∩AB＝B，PB，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，因為PA?平面PAB，所以PA⊥BC．因為PD⊥CD，CD⊥AD，PD∩AD＝D，PD，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，因為PA?平面PAD，所以PA⊥CD.因為BC∩CD＝C，BC，DC?平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.(2)由(1)知PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，不妨以點A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)．

考點三立體幾何中的翻折問題(1)證明：EF⊥PD；(2)求平面PCD與平面PBF夾角的正弦值．所以EF⊥PE，EF⊥DE.又PE∩DE＝E，PE，DE?平面PDE，所以EF⊥平面PDE.又PD?平面PDE，所以EF⊥PD.所以PE⊥EC．由(1)知PE⊥EF，又EC∩EF＝E，EC，EF?平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD.又ED?平面ABCD，所以PE⊥ED，則PE，EF，ED兩兩垂直．以E為坐標原點，EF，ED，EP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

三步解決平面圖形翻折問題[跟進訓練]即AC⊥CB．又平面PAC⊥平面ACB，平面PAC∩平面ACB＝AC，CB⊥AC，CB?平面ACB，所以CB⊥平面PAC．又AP?平面PAC，所以CB⊥AP.又AP⊥PC，PC∩CB＝C，PC，CB?平面PCB，所以AP⊥平面PCB．又CM?平面PCB，所以AP⊥CM.(2)設AC的中點為O，AB的中點為D，連接OD，OP，以OA，OD，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，4．圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2.(1)證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求圖2中的平面BCGE與平面ACGD的夾角的大小．解：(1)證明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG確定一個平面，從而A，C，G，D四點共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B，BE，BC?平面BCGE，故AB⊥平面BCGE.又因為AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)如圖，作EH⊥BC，垂足為H.