第八章解析幾何第5課時橢圓及其性質[考試要求]

1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率).2.掌握橢圓的簡單應用．鏈接教材·夯基固本1．橢圓的定義把平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于______(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．兩個定點F1，F2叫做橢圓的______，兩焦點間的距離|F1F2|叫做橢圓的______，焦距的一半稱為半焦距．常數焦點焦距2．橢圓的標準方程和幾何性質2a

2b2c(0,1)a2－b2[常用結論]1．橢圓的焦點三角形

一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓．(

)(2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(

)(3)關于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲線是橢圓．(

)××√√二、教材經典衍生A．3

B．4

C．5

D．6√2．(人教A版選擇性必修第一冊P112例4改編)已知橢圓C：16x2＋4y2＝1，則下列結論正確的是(

)√20

[△AF1B的周長為4a＝4×5＝20.]典例精研·核心考點

考點一橢圓的定義及應用[典例1]

(1)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內部且和圓C1相內切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為(

)√(3)已知F是橢圓5x2＋9y2＝45的左焦點，P是橢圓上的動點，A(1,1)，則|PA|＋|PF|的最大值為____________，最小值為________.√

橢圓定義的應用技巧(1)橢圓定義的應用主要有：求橢圓的標準方程、求焦點三角形的周長、面積及求弦長、最值和離心率等．(2)通常將定義和余弦定理結合使用求解關于焦點三角形的周長和面積問題．(3)可用定義法求軌跡方程，或利用定義實現距離轉化．[跟進訓練]1．(1)已知A(－1,0)，B是圓F：x2－2x＋y2－11＝0(F為圓心)上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為(

)√A．4a B．2aC．a D．a＋b√

考點二橢圓的標準方程

橢圓標準方程的特征A．若C為橢圓，則1＜t＜3B．若C為雙曲線，則t＞3或t＜1C．曲線C可能是圓D．若C為橢圓，且長軸在y軸上，則1＜t＜2

橢圓標準方程的求法

1.利用定義法求橢圓方程，要注意條件2a>|F1F2|；利用待定系數法要先定形(焦點位置)，再定量，也可把橢圓方程設為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．2．橢圓的標準方程的兩個應用[跟進訓練]2．(1)如圖，已知橢圓C的中心為原點O，F(－5,0)為橢圓C的左焦點，P為橢圓C上一點，滿足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，則橢圓C的方程為(

)√√

考點三橢圓的簡單幾何性質

橢圓的長軸、短軸、焦距[典例4]如圖，“嫦娥五號”月球探測器飛行到月球附近時，首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行，然后在P點處變軌進入以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月球飛行，最后在Q點處變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月球飛行．設圓形軌道Ⅰ的半徑為R，圓形軌道Ⅲ的半徑為r，則下列結論中正確的是(

)①軌道Ⅱ的焦距為R－r；②若R不變，r越大，軌道Ⅱ的短軸長越??；③軌道Ⅱ的長軸長為R＋r；④若r不變，R越大，軌道Ⅱ的離心率越大．A．①②③

B．①②④ C．①③④

D．②③④√

離心率問題√√(2)若橢圓上存在點P，使得PF1⊥PF2，則以原點為圓心，F1F2為直徑的圓與橢圓必有交點，如圖，

與橢圓有關的最值(范圍)問題√√

1.求橢圓離心率或其范圍的方法解題的關鍵是借助圖形建立關于a，b，c的關系式(等式或不等式)，轉化為e的關系式，常用方法如下：2．利用橢圓幾何性質求值或范圍的思路(1)將所求問題用橢圓上點的坐標表示，利用坐標范圍構造函數或不等關系．(2)將所求范圍用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范圍、關系求解．[跟進訓練]√√√A．[3,35] B．[2,34]C．[2,36] D．[4,36]√√√√課時分層作業