第七章立體幾何與空間向量第1課時基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積[考試要求]

1.認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構.2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖．鏈接教材·夯基固本1．空間幾何體的結構特征(1)多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形名稱棱柱棱錐棱臺底面互相______且______多邊形互相______且______側棱_______________相交于______但不一定相等延長線交于______側面形狀______________________________平行全等平行相似平行且相等一點一點平行四邊形三角形梯形(2)特殊的棱柱①側棱垂直于底面的棱柱叫做_________.②側棱不垂直于底面的棱柱叫做_________.③底面是正多邊形的直棱柱叫做_________.④底面是平行四邊形的四棱柱叫做_______________.(3)正棱錐底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．直棱柱斜棱柱正棱柱平行六面體(4)旋轉體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，______于底面相交于______延長線交于______

軸截面__________________________________側面展開圖__________________

垂直垂直垂直矩形等腰三角形等腰梯形圓面矩形扇形扇環2．立體圖形的直觀圖(1)畫法：常用_______________.(2)規則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面______.②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍__________________，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度______，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變為原來的______.斜二測畫法垂直分別平行于坐標軸不變一半3．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式

圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側＝________S圓錐側＝__________S圓臺側＝_________2πrlπrlπ(r1＋r2)l4．柱、錐、臺、球的表面積和體積Sh4πR2[常用結論]1．與體積有關的幾個結論(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等(祖暅原理)．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(

)(2)菱形的直觀圖仍是菱形．(

)(3)兩個球的體積之比等于它們的半徑比的平方．(

)(4)底面是正多邊形的棱錐是正棱錐．(

)××××二、教材經典衍生1．(人教A版必修第二冊P119練習T2改編)若一個球的表面積是16π，則這個球的體積為(

)√2．(人教A版必修第二冊P106習題8.1T8改編)如圖所示，長方體ABCD-A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是(

)A．棱臺

B．四棱柱

C．五棱柱

D．簡單組合體C

[由幾何體的結構特征知，剩下的幾何體為五棱柱．]√3．(人教A版必修第二冊P119練習T1改編)已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為(

)√B

[設圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l.因為側面展開圖是一個半圓，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.]4．(人教A版必修第二冊P120習題8.3T3改編)如圖，一個直三棱柱形容器中盛有水，且側棱AA1＝16.若側面AA1B1B水平放置時，液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點．當底面ABC水平放置時，液面高為________.典例精研·核心考點

考點一基本立體圖形

結構特征[典例1]下列關于棱錐、棱臺的說法：①棱臺的側面一定不會是平行四邊形；②由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中正確說法的序號是________.①②

[①正確，棱臺的側面一定是梯形，而不是平行四邊形；②正確，由四個平面圍成的封閉圖形是四面體也就是三棱錐；③錯誤，如圖所示的四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐．]

直觀圖[典例2]

(多選)如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二測直觀圖，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，則以下說法正確的是(

)A．△ABC是鈍角三角形B．△ABC的面積是△A′B′C′的面積的2倍C．△ABC是等腰直角三角形√√CD

[根據斜二測畫法可知，在原圖形中，O為CA的中點，AC⊥OB，因為O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，所以CO＝AO＝2，AC＝4，OB＝2，則△ABC是斜邊為4的等腰直角三角形，如圖所示，

展開圖[典例3](1)如果圓錐的側面展開圖是直徑為a的半圓面，那么此圓錐的軸截面是(

)A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．頂角為30°的等腰三角形D．其他等腰三角形√(2)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長為a，底面邊長為b，一只螞蟻從點A出發沿每個側面爬到點A1，路線為A→M→N→A1，則這只螞蟻爬行的最短路程是(

)√故選A．]

(1)空間幾何體結構特征的判斷技巧：緊扣結構特征是判斷的關鍵，熟悉空間幾何體的結構特征，依據條件構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據題意判定．(2)在斜二測畫法中，平行于x軸或在x軸上的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸或在y軸上的線段平行性不變，長度減半．(3)在解決空間幾何體最短距離問題時，一般考慮其展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化．[跟進訓練]1．(1)(多選)下列說法中正確的是(

)A．長方體是直四棱柱B．兩個面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺C．正棱錐的側面是全等的等腰三角形D．平行六面體不是棱柱√√(2)(2025·廣東模擬)在我國古代數學名著《數學九章》中有這樣一個問題：“今有木長二丈四尺，圍之五尺．葛生其下，纏本兩周，上與木齊，問葛長幾何？”意思是“圓木長2丈4尺，圓周長為5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長多少尺？”(注：1丈等于10尺)則這個問題中，葛藤長的最小值為(

)A．2丈4尺

B．2丈5尺C．2丈6尺

D．2丈8尺√(3)用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的直角梯形，其中BC＝AB＝1，則原平面圖形的面積為________.

考點二空間幾何體的表面積與體積

表面積[典例4](1)(2020·全國Ⅰ卷)已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為(

)A．64π B．48πC．36π D．32π√(2)為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨立的環境，某學校修建了若干“朗讀亭”．如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長的比為2∶3，則正六棱錐與正六棱柱的側面積的比值為(

)√

體積√√

求空間幾何體的體積的常用方法公式法規則幾何體的體積問題，直接利用公式進行求解割補法把不規則的幾何體分割成規則的幾何體，或者補成規則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積，特別是三棱錐的體積(即利用三棱錐的任意一個面都可作為三棱錐的底面進行等體積變換)[跟進訓練]2．(1)(多選)(2023·新高考Ⅱ卷)已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點C在底面圓周上，且二面角P-AC-O為45°，則(

)A．該圓錐的體積為π√√(2)《九章算術》是我國古代的數學巨著，其卷第五章“商功”有如下的問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”數學語言表述為：今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體(如圖)，下底面寬AD＝3丈，長AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF