第二章函數的概念與性質第5課時函數性質的綜合應用典例精研·核心考點考點一函數的奇偶性與單調性[典例1]

(1)已知f(x)是定義在R上的奇函數，且對任意x1，x2∈R，當x1＜x2時，都有f(x1)－f(x2)＜x1－x2，則關于x的不等式f(x2－1)＋f(－2x－2)＜x2－2x－3的解集為(

)A．(－3,1)B．(－1,3)C．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)√(2)(多選)已知f(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上的奇函數，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上均單調遞減，則(

)A．f(f(1))＜f(f(2))B．f(g(1))＜f(g(2))C．g(f(1))＜g(f(2))D．g(g(1))＜g(g(2))√√(1)B

(2)BD

[(1)因為對任意x1，x2∈R，當x1＜x2時，都有f(x1)－f(x2)＜x1－x2，即f(x1)－x1＜f(x2)－x2，令g(x)＝f(x)－x，則g(x)在R上單調遞增，因為f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(－2x－2)＝－f(2x＋2)，由f(x2－1)＋f(－2x－2)＜x2－2x－3，得f(x2－1)－(x2－1)＜－f(－2x－2)－(2x＋2)＝f(2x＋2)－(2x＋2)，即g(x2－1)＜g(2x＋2)，所以由g(x)的單調性得x2－1＜2x＋2，即x2－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0，所以－1＜x＜3，即f(x2－1)＋f(－2x－2)＜x2－2x－3的解集為(－1,3)．故選B.(2)因為f(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上的奇函數，且兩函數在(－∞，0]上單調遞減，所以f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，g(x)在[0，＋∞)上單調遞減，g(x)在R上單調遞減，所以f(1)＜f(2)，g(0)＝0＞g(1)＞g(2)，所以f(g(1))＜f(g(2))，g(f(1))＞g(f(2))，g(g(1))＜g(g(2))，所以BD正確，C錯誤；若|f(1)|＞|f(2)|，則f(f(1))＞f(f(2))，A錯誤．故選BD.]

1.比較函數值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調區間上的兩個或多個自變量轉化到同一單調區間上，再利用函數的單調性比較大小．2．對于抽象函數不等式的求解，先將不等式變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結合單調性，脫去“f”變成常規不等式，轉化為x1<x2(或x1>x2)求解．[跟進訓練]1．(1)若定義在R上的奇函數f(x)在(－∞，0)上單調遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是(

)A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3](2)(2025·菏澤模擬)已知函數f(x)＝|3x－3－x|，則不等式f(2x－1)－f(x)>0的解集為(

)√√(1)D

(2)A

[(1)因為函數f(x)為定義在R上的奇函數，所以f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上單調遞減，且f(2)＝0，畫出函數f(x)的大致圖象如圖1所示，則函數f(x－1)的大致圖象如圖2所示．當x≤0時，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.當x＞0時，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1,0]∪[1,3]．故選D.(2)f(x)＝|3x－3－x|，定義域為R，又f(－x)＝|3－x－3x|＝f(x)，故y＝f(x)為偶函數．又當x>0時，y＝3x，y＝－3－x均為增函數，故g(x)＝3x－3－x在(0，＋∞)上單調遞增．又g(0)＝0，則當x>0時，g(x)>0，所以此時y＝f(x)＝g(x)在(0，＋∞)上單調遞增．故當x<0時，y＝f(x)為減函數．考點二函數的奇偶性與周期性[典例2]

(1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函數f(x)的定義域為R，且f(x＋2)是偶函數，f(2x＋1)是奇函數，則(

)√C．f(2)＝0 D．f(4)＝0(2)(2025·日照模擬)已知f(x)是定義域為R的奇函數且滿足f(x)＋f(2－x)＝0，則f(20)＝(

)A．－1 B．0C．1 D．±1√(1)B

(2)B

[(1)因為f(x＋2)是偶函數，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，因為f(2x＋1)是奇函數，所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，且由F(x)＝f(2x＋1)是奇函數，可得F(0)＝f(1)＝0，所以f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0，且易知函數f(x)的周期為4，其他幾個不一定為0.故選B.(2)由f(x)是定義域為R的奇函數，則f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.又由f(x)滿足f(x)＋f(2－x)＝0，即f(2－x)＝－f(x)，則有f(2－x)＝f(－x)，可得f(x＋2)＝f(x)，即函數f(x)是周期為2的周期函數，故f(20)＝f(0)＝0.故選B.]

周期性與奇偶性結合的問題多考查求函數值、比較大小等，常先利用奇偶性推導出周期性，然后將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內，或已知單調性的區間內求解．√C

[由題意，函數f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x＋1)＝f(－x＋1)，可得f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以函數f(x)是周期為4的周期函數．又由當0<x≤1時，f(x)＝x2－2x＋3，考點三函數的奇偶性與對稱性√A．5

B．1

C．－1

D．－5(2)定義在R上的奇函數f(x)，其圖象關于點(－2,0)對稱，且f(x)在[0,2)上單調遞增，則(

)A．f(11)<f(12)<f(21)

B．f(21)<f(12)<f(11)C．f(11)<f(21)<f(12)

D．f(21)<f(11)<f(12)√(1)B

(2)A

[(1)因為g(x)的圖象關于直線x＝2對稱，所以g(x＋2)＝g(2－x)．(2)因為函數f(x)的圖象關于點(－2,0)對稱，所以f(x－4)＝－f(－x)．又f(x)為定義在R上的奇函數，所以－f(－x)＝f(x)，所以f(x－4)＝f(x)，即函數f(x)是周期函數且周期是4，則f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0),f(21)＝f(1)．因為f(x)為奇函數，且在[0,2)上單調遞增，所以f(x)在(－2,2)上單調遞增，所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(11)<f(12)<f(21)．故選A．]

由函數的奇偶性與對稱性可求函數的周期，常用于化簡求值、比較大小等．[跟進訓練]3．已知函數f(x)是R上的偶函數，且f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，當x∈[0,1]時，f(x)＝2－2x，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2024)的值為(

)A．－2

B．－1

C．0

D．1√D

[因為f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，所以f(－x)＝－f(2＋x)．又f(x)為R上的偶函數，所以f(x)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)是周期為4的周期函數，所以f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2－2＝0.又f(0)＝1，f(2)＝－f(0)＝－1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2024)＝506×[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2024)＝506×(1＋0－1＋0)＋f(0)＝1.]考點四函數的對稱性與周期性[典例4]

(1)已知函數f(x)的定義域為R，f(x＋2)為奇函數，f(2x＋1)為偶函數，則函數f(x)的周期是(

)A．2 B．3C．4 D．5√A．116 B．115C．114 D．113√(1)C

(2)C

[(1)因為f(x＋2)為奇函數，所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)．因為f(2x＋1)為偶函數，所以f(－2x＋1)＝f(2x＋1)，則f(－x＋1)＝f(x＋1)，則f[－(x＋1)＋1]＝f(x＋2)，即f(－x)＝f(x＋2)，所以f(－x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋2)＝－f(x)，則f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期是4.故選C．(2)由f(x＋1)＋f(x－1)＝2，得f(x＋2)＋f(x)＝2，即f(x＋2)＝2－f(x)，所以f(x＋4)＝2－f(x＋2)＝2－[2－f(x)]＝f(x)，所以函數f(x)的周期為4.又f(x＋2)為偶函數，則f(－x＋2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(4－x)＝f(－x)，所以函數f(x)也為偶函數．又f(x＋1)＋f(x－1)＝2，所以f(1)＋f(3)＝2，f(2)＋f(4)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4.又f(1)＋f(－1)＝2，即2f(1)＝2，所以f(1)＝1.又f(0)＋f(2)＝2，f(0)＝2，所以f(2)＝0，

函數的周期性與對稱性的關系(1)如果f(x)的圖象關于點(a,0)對稱，且關于直線x＝b(a≠b)對稱，那么函數f(x)的周期T＝4|a－b|.(類比y＝sinx的圖象)(2)如果f(x)的圖象關于點(a,0)對稱，且關于點(b,0)(a≠b)對稱，那么函數f(x)的周期T＝2|a－b|.(類比y＝sinx的圖象)(3)如果函數f(x)的圖象關于直線x＝a與直線x＝b(a≠b)對稱，那么函數的周期T＝2|a－b|.(類比y＝sinx的圖象)[跟進訓練]4．(1)已知f(x)是定義在R上的函數，且對任意x∈R都有f(x＋2)＝f(2－x)＋4f(2)，若函數y＝f(x＋1)的圖象關于點(－1,0)對稱，則f(2024)＝(

)A．6 B．3C．0 D．－3√√(1)C

(2)D

[(1)令x＝0，得f(2)＝f(2)＋4f(2)，即f(2)＝0，f(x＋2)＝f(2－x)．因為函數y＝f(