第一章集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式第5課時(shí)一元二次方程、不等式[考試要求]

1.能從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式.2.結(jié)合二次函數(shù)圖象，會(huì)判斷一元二次方程的根的個(gè)數(shù)，以及解一元二次不等式.3.了解簡(jiǎn)單的分式、絕對(duì)值不等式的解法．鏈接教材·夯基固本二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系提醒：解集的端點(diǎn)是二次函數(shù)的零點(diǎn)，也是對(duì)應(yīng)一元二次方程的根．{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}??[常用結(jié)論]1．分式不等式的解法2．絕對(duì)值不等式：|x|>a(a>0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集為(－a，a)．記憶口訣：大于號(hào)取兩邊，小于號(hào)取中間．3．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的條件要結(jié)合其對(duì)應(yīng)的函數(shù)確定．一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為(x1，x2)，則必有a＞0.(

)(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，則方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根是x1和x2.(

)(4)若ax2＋bx＋c>0恒成立，則a>0且Δ<0.(

)√√××二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第一冊(cè)P53練習(xí)T1改編)不等式(x－1)(x－3)>0的解集為(

)A．{x|x<1}

B．{x|x>3}C．{x|x<1或x>3} D．{x|1<x<3}C

[由方程(x－1)(x－3)＝0，可得方程的兩根為x1＝1，x2＝3，結(jié)合一元二次不等式的解法，可得不等式(x－1)(x－3)>0的解集為{x|x<1或x>3}．故選C．]√A．(－∞，－5] B．[－5，－1)C．[－5，－1]∪[5,7) D．[－5，－1]D

[因?yàn)閤2≤25，所以集合A＝{x|－5≤x≤5}．√3．(人教A版必修第一冊(cè)P58復(fù)習(xí)參考題2T6改編)若不等式ax2＋ax＋a＋3≥0在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.{a|a≥0}

[當(dāng)a＝0時(shí)，不等式為3＞0，滿足題意；解得a＞0.綜上可得，a的取值范圍為{a|a≥0}．][1,5)

[設(shè)花卉帶的寬度為x米，典例精研·核心考點(diǎn)考點(diǎn)一一元二次不等式的解法及“三個(gè)二次”之間的關(guān)系(2)不等式0<x2－x－2≤4的解集為_(kāi)_______.(1)(－∞，4)∪[8，＋∞)

(2){x|－2≤x<－1或2<x≤3}

[(1)因?yàn)閍x2＋bx＋c>0的解集為(－2，4)，所以a<0，且對(duì)應(yīng)方程的根為－2和4，故原不等式的解集為{x|－2≤x<－1或2<x≤3}．]

解一元二次不等式的一般方法和步驟(1)化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．(2)判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式，根據(jù)判別式判斷方程有沒(méi)有實(shí)根(無(wú)實(shí)根時(shí)，不等式的解集為R或?)．(3)求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根(解集的端點(diǎn)對(duì)應(yīng)方程的根)．(4)寫(xiě)：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫(xiě)出不等式的解集．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(多選)已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集為{x|x≤－2或x≥3}，則下列說(shuō)法正確的是(

)A．a(chǎn)<0B．a(chǎn)x＋c>0的解集為{x|x<6}C．8a＋4b＋3c<0√√√ABD

[關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集為{x|x≤－2或x≥3}，對(duì)于A，a<0，正確；對(duì)于B，ax＋c>0，即a(x－6)>0，解得x<6，正確；對(duì)于C,8a＋4b＋3c＝8a－4a－18a＝－14a>0，錯(cuò)誤；對(duì)于D，cx2＋bx＋a<0，即－6ax2－ax＋a<0，即6x2＋x－1<0，解得考點(diǎn)二含參數(shù)的一元二次不等式的解法[典例2]解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．解：原不等式變?yōu)?ax－1)(x－1)<0，[拓展變式]在本例中，把“a>0”改成“a∈R”，解不等式．解：當(dāng)a>0時(shí)，同典例2解析；當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式等價(jià)于－x＋1<0，即x>1；

解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．解關(guān)于x的不等式x2＋ax＋1＜0(a∈R)．解：Δ＝a2－4.①當(dāng)Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2時(shí)，原不等式的解集為?.綜上所述，當(dāng)－2≤a≤2時(shí)，原不等式的解集為?；當(dāng)a＞2或a＜－2時(shí)，原不等式的解集為√考點(diǎn)三一元二次不等式恒成立問(wèn)題[典例3]

(1)(2025·濟(jì)南模擬)若關(guān)于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－∞，2]

B．(－∞，－2)C．(－2,2) D．(－2,2](2)若不等式ax2－x＋a>0對(duì)任意的x∈(1，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)___________.(3)若?a∈[－1,3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_(kāi)_______.[拓展變式]本例(2)變?yōu)椋寒?dāng)x∈[m，m＋1]時(shí)，滿足x2＋mx－1<0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

恒成立問(wèn)題求參數(shù)的取值范圍的解題策略(1)弄清楚自變量、參數(shù)．一般情況下，求誰(shuí)的取值范圍，誰(shuí)就是參數(shù)．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類討論．(3)特別注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為0的討論，因?yàn)椴坏仁讲灰欢橐辉尾坏仁剑甗跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解