第三章圓錐曲線的方程全章綜合檢測卷參考答案與試題解析目錄TOC\o"1-2"\h\u第三章圓錐曲線的方程全章綜合檢測卷 1參考答案與試題解析 1一、選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分） 2二、多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分） 7三、填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分） 11四、解答題（共6小題，滿分70分） 13

一、選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（23-24高二上·陜西榆林·期中）雙曲線y23?A．±3,0 B．0,±3 C．±3,0【解題思路】根據題意，結合雙曲線的幾何性質，即可求解.【解答過程】由雙曲線y23?x2且雙曲線的焦點在y軸上，所以雙曲線的焦點坐標為(0,±3).故選：D.2．（5分）（23-24高二上·陜西寶雞·期中）中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為12，且過點2,0的橢圓方程是（

A．x24+y2C．x24+3y【解題思路】由于不知道焦點在哪個軸上，所以需要分類討論.【解答過程】當橢圓的焦點在x軸上時，設橢圓的方程為x2由離心率為12，可得b∵橢圓過點2,0∴a=2，b=3，∴橢圓的標準方程為x當橢圓的焦點在y軸上時，b=2，b2=3可得橢圓C的標準方程為y2163故選：D.3．（5分）（23-24高二上·福建廈門·期中）已知拋物線x2=4y的焦點為F，點B1,3，若點A為拋物線上任意一點，當AB+AFA．(1,4) B．(4,1) C．14,1 【解題思路】設點A在準線上的射影為D，則根據拋物線的定義把問題轉化為求AB+【解答過程】拋物線x2=4y的焦點為F0,1設點A在準線上的射影為D，如圖，

則根據拋物線的定義可知|AF|=|AD|，求AB+AF的最小值，即求顯然當B，A，D三點共線時AB+此時A點的橫坐標為1，則12=4y，解得y=1故選：D.4．（5分）（22-23高三下·全國·階段練習）已知F1,F2是橢圓x2a2+yA．35 B．53 C．56【解題思路】根據PF1⊥P【解答過程】因為|PF1|=2b因為PF1⊥PF2即2b2又c2=a所以3b2=2ab解得e=c故選：B.5．（5分）（23-24高二上·廣東茂名·期末）如圖，這是一個落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線C:x2a2?y2b2

A．90cm B．100cm C．110cm【解題思路】由a,b,c關系以及離心率、a=20可得雙曲線方程，進一步代入x=30即可求解.【解答過程】由該花瓶橫截面圓的最小直徑為40cm，有a=20又由雙曲線的離心率為6，有c=206可得雙曲線的方程為x2400?y22000=1故選：B.6．（5分）（23-24高二下·陜西榆林·期末）已知A,B為雙曲線x2?y29=1上兩點，且線段AB的中點坐標為A．32 B．94 C．?9【解題思路】設出A(x【解答過程】設A(x1,y1兩式相減得到(x又線段AB的中點坐標為?1,?4，所以(x1?所以AB的斜率為94故選：B.7．（5分）（23-24高二上·福建泉州·期末）已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，點A?32p,0，點M在拋物線上，且滿足MA=3MFA．23 B．4 C．22【解題思路】利用兩點間距離公式，通過解方程組、三角形面積公式進行求解即可.【解答過程】由y2=2px?Fp因為MA=所以x+3而點M在拋物線上，所以y2則有x2?3px+2px?3即y2=2p?3又因為△MAF的面積為123所以有12×1故選：A.8．（5分）（23-24高二上·全國·單元測試）已知橢圓C:x23+y2=1的左、右焦點分別為F1，F2，直線y=x+m與CA．23 B．22 C．?2【解題思路】由三角形的面積關系得出|MF1|=2|MF2【解答過程】設直線y=x+m與x軸的交點為M，則M?m,0所以S△F1因為S△F1由x23+y2=1得所以|?2+m|=2|2+m|，解得因為y=x+m與C有兩個交點，聯立y=x+mx23+y則Δ=36m2所以m=?2故選：C.

二、多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（23-24高二上·山東煙臺·期末）（多選）已知曲線Γ：x21?m+y2A．Γ可能是等軸雙曲線B．若Γ表示焦點在y軸上的橢圓，則?1<m<1C．Γ可能是半徑為2的圓D．若Γ表示焦點在x軸上的雙曲線，則m<?3【解題思路】根據圓，橢圓，雙曲線的標準方程，逐一判斷選項即可.【解答過程】對于A，若Γ是等軸雙曲線，則1?m+3+m=0，顯然不成立，故A錯誤；對于B，Γ表示焦點在y軸上的橢圓，則3+m>1?m>0，解得?1<m<1，故B正確；對于C，Γ是圓，則3+m=1?m>0，解得m=?1，半徑為2，故C正確；對于D，Γ表示焦點在x軸上的雙曲線，則1?m>03+m<0解得m<?3，故D正確.故選：BCD.10．（5分）（23-24高二上·廣東中山·階段練習）已知雙曲線C:x28?y24A．若直線y=kx與雙曲線C無交點，則kB．焦點到漸近線的距離為2C．點P到兩條漸近線的距離之積為8D．點P到點23,0與到直線x=【解題思路】由雙曲線的方程可得漸近線，比較直線斜率與漸近線斜率即可可判斷A；根據點到直線的距離公式可判斷BC；根據距離公式，代入雙曲線方程即可化簡求解D．【解答過程】A中，由雙曲線的方程可得漸近線的方程為y=±2由于y=kx過原點且與雙曲線無交點，則k≥B中，由A知漸近線的方程為2x±2y=0，焦點±2所以焦點到漸近線的距離為d=|C中，設P(x,y)，因為P在雙曲線上，所以x2即x2?2y2=|2D中，點P到點23,0的距離為x?232+y2故x?2=3故選：BCD．11．（5分）（23-24高二上·河南·階段練習）已知F為拋物線C:x2=8y的焦點，直線l與C交于A，B兩點，弦AB中點的橫坐標為4，ABA．l的斜率為1 B．l在y軸上的截距為3C．弦AB中點的縱坐標為52 D．【解題思路】聯立直線與拋物線方程得韋達定理，即可根據中點關系求解k=1，進而由弦長公式求解b=?32，利用拋物線焦半徑公式即可求解【解答過程】易得l的斜率存在，設l:y=kx+b，Ax1,由y=kx+b,x2=8y,得x2?8kx?8b=0，則x由AB=1+k所以l:y=x?32，弦AB中點的縱坐標為4?32=故ACD正確，B錯誤，故選：ACD.12．（5分）（23-24高二上·江蘇鎮江·期末）已知F為橢圓C:x24+y22=1的左焦點，直線l:y=kx(k≠0)與橢圓C交于A,B兩點，AE⊥x軸，垂足為A．1|AF|+4|BF|的最小值為3 C．直線BE的斜率為12k D．【解題思路】先由橢圓與過原點直線的對稱性知，|AF|+|BF|=4，再利用1的代換、利用基本不等式可判斷A；由直線與橢圓方程聯立，解得交點坐標，得出面積關于k的函數關系式，再求函數最值可判斷B；由對稱性，可設Ax0,y0，則B?x0,?y0，Ex0,0，則可得直線BE的斜率與k的關系可判斷C；先由【解答過程】對于A，設橢圓C的右焦點為F′，連接A則四邊形AF所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF∴1當且僅當|BF|=2|AF|時等號成立，故A錯誤；對于B，聯立x24+∴|y所以△ABE的面積S=1當且僅當k=±2對于C，設Ax0,y0，則B?x對于D，設P(m,n)，直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為k則kPA又點P和點A在橢圓C上，∴m24①-②得n2?y則kPA?1∴kPA?故選：BCD.

三、填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（23-24高二上·北京海淀·期中）已知焦點在x軸上的橢圓x2m+y24=1離心率為2【解題思路】根據題意，由橢圓的標準方程分析可得m?4m＝2【解答過程】由題意焦點在x軸上的橢圓x2m+可得m?4m＝22，解得故答案為：8．14．（5分）（23-24高二上·陜西西安·期末）過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于Ax1,y1,B【解題思路】由焦半徑公式求得焦點弦長.【解答過程】由題設拋物線焦點坐標為F1,0則由拋物線定義易知：AB=故x1故答案為：10.15．（5分）（23-24高二上·上海寶山·階段練習）已知雙曲線Γ:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左頂點為A，點P為雙曲線Γ一條漸近線上的一點，直線AP與雙曲線Γ的另一條漸近線交于點Q.若直線AP【解題思路】寫出直線AP的方程為y=x+a，將其分別與雙曲線漸近線聯立解出P,Q的縱坐標，根據A為PQ的三等分點，得到關于a,b的方程，最后化為關于a,c的齊次方程，即可得到離心率.【解答過程】不妨設點P在第二象限，直線AP的方程為y=x+a，聯立y=x+a,y=?bax，得點聯立y=x+ay=bax，得點由A為PQ的三等分點,可知yQ=?2yP，則有則a2=9c2?a2故答案為：10316．（5分）（2024·全國·模擬預測）已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，過點F1作直線交兩條漸近線于點A，B，且【解題思路】畫出圖形，數形結合，由已知條件和雙曲線的幾何性質運算求解即可.【解答過程】如圖所示，

設直線AB交y軸于點C，則S△A∵雙曲線E的漸近線方程為y=±b∴xAx不妨設BF1=2，AF1=3，則|AB|=1，則∴F1A故答案為：1516

四、解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2024高二上·江蘇·專題練習）求滿足下列條件的參數的值．(1)已知雙曲線方程為2x2?(2)橢圓x24+y2【解題思路】（1）分焦點位置進行討論即可.（2）根據橢圓和雙曲線的方程判斷焦點的位置，求出焦點坐標，從而求出參數.【解答過程】（1）若焦點在x軸上，則方程可化為x2k2?y若焦點在y軸上，則方程可化為y2?k?x2綜上所述，k的值為6或?6．（2）由雙曲線方程知焦點在x軸上且c2由橢圓方程，知c2=4?a即a2+a?2=0，解得a=1或因此a的值為1．18．（12分）（23-24高二上·重慶·階段練習）已知點P到F0,4的距離與它到x軸的距離的差為4，P的軌跡為曲線C(1)求C的方程；(2)若直線l與C交于A，B兩點，且弦AB中點的橫坐標為?4，求l的斜率.【解題思路】（1）根據兩點間距離公式，結合絕對值的性質進行求解即可；（2）利用點差法進行求解即可.【解答過程】（1）設Px,y，由題意可知：PF兩邊同時平方，得x所以C的方程為x2=16yy≥0（2）由題可知曲線C為x2設Ax1,y1由x得x1所以l的斜率為y119．（12分）（23-24高二下·上海·期末）已知橢圓C:x24+y23(1)當P為橢圓C的上頂點時，求∠F(2)直線y=kx?1與橢圓C交于A,B，若AB=16【解題思路】（1）由題意可得PF1=PF（2）聯立直線y=kx?1與橢圓C的方程，由韋達定理求出x1+【解答過程】（1）由題意可得F1(?1,0)，F2所以PF1=P（2）設Ax1,y1可得4k所以x1+x所以|AB|=1+k=12k220．（12分）（23-24高二上·河南駐馬店·期末）已知拋物線C的準線方程為y=?1，過點P4,2作斜率為k的直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N(1)求k的取值范圍；(2)若△OMN為直角三角形，且OM⊥ON，求k的值.【解題思路】（1）由題意可得拋物線方程，設直線l方程為y?2=kx?4，聯立方程，結合Δ（2）由題意可得：x1【解答過程】（1）由題意可知：拋物線C的方程為x2直線l的斜率存在，設直線l方程為y?2=kx?4聯立方程組x2=4yy?2=kx?4，消去要使直線l與拋物線交于不同的兩點M，N，則Δ=16即k2?4k+2>0，解得k>2+2所以k們取值范圍為k>2+2或k<2?（2）設Mx1,y1，Nx2則x1+x解法一：因為OM⊥ON，則OM?ON=0可得x==k2+1解得k=12或結合（1）中k的取值范圍可知：k=?1解法二：因為OM⊥ON，所以OM?ON=0因為y1y2因為x1x2即16k?8=?16，解得k=?1此時滿足（1）中k的取值范圍，所以k=?121．（12分）（23-24高二上·浙江·階段練習）如圖，雙曲線x2a2?y2b2=1的離心率為233，實軸長為23，F1，F2分別為雙曲線的左右焦點，過右焦點F2的直線與雙曲線右支交于A，B兩點，其中點A(1)求該雙曲線的標準方程；(2)求△ADE面積的最小值.【解題思路】（1）根據已知求出a=3，然后根據離心率得出c=2，根據a,b,c的關系求出b（2）根據已知可得，F22,0，設Ax1,y1，Bx2,y2，求出直線AF【解答過程】（1）由已知可得，2a=23，所以a=又e=ca=23所以，雙曲線方程是x2（2）由（1）可知，F22,0，設Ax則直線AF2的方程為將直線AF2的方程與雙曲線方程聯立消x，整理可得7?4xΔ=16由韋達定理可得，y1所以y2=y17?4根據已知可知，y1所以7?4x1<0同理解得C?12?7所以，kBC直線BC的方程為y=?x由x=0可得，E0,?17y1由A、D坐標可得直線AD的方程為y=x則直線AD與y軸交點坐標為Q0,3y所以，S△ADE=S△AQE+令t=4y1則S△ADE=4設ft=?3?1當1t=13，即t=3時有最小值，此時所以，S△ADE當且僅當t=3即y1=222．（12分）（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知橢圓E:x2a2+(1)求E的方程；(2)過K?1,0作互相垂直的兩條直線l1與l2，設l1交E于A，B兩點，l2交E于C，D兩點，AB，CD的中點分別為M，N【解題思路】（1