§5.1平面向量的概念及線性運算課標要求1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3.了解向量線性運算的性質及其幾何意義．知識梳理1．向量的有關概念(1)向量：既有大小又有__________的量叫做向量，向量的大小稱為向量的____________(或稱________)．(2)零向量：長度為____________的向量，記作________．(3)單位向量：長度等于____________的向量．(4)平行向量：方向相同或________的非零向量，也叫做共線向量，規定：零向量與任意向量________．(5)相等向量：長度相等且方向____________的向量．(6)相反向量：長度相等且方向____________的向量．2．向量的線性運算向量運算法則(或幾何意義)運算律加法交換律：a＋b＝________________________________________________________________________；結合律：(a＋b)＋c＝____________________減法a－b＝a＋(－b)數乘|λa|＝__________，當λ>0時，λa的方向與a的方向____________；當λ<0時，λa的方向與a的方向____________________；當λ＝0時，λa＝________λ(μa)＝__________________；(λ＋μ)a＝________________；λ(a＋b)＝_________________3.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使____________．常用結論1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．2．在△ABC中，D為BC的中點，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．3．在△ABC中，點P滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．4．對于任意兩個向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b.()(2)單位向量都相等．()(3)任一非零向量都可以平行移動．()(4)起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．()2．下列命題正確的是()A．零向量是唯一沒有方向的向量B．若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－bC．向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))是平行向量D．平行向量不一定是共線向量3．(必修第二冊P10T4改編)(多選)下列各式化簡結果正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))4．(必修第二冊P16T3改編)已知e1，e2為平面內兩個不共線的向量，eq\o(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(NP,\s\up6(→))＝λe1＋6e2，若M，N，P三點共線，則λ＝________.題型一平面向量的基本概念例1(1)(多選)下列說法正確的是()A．若a＝b，b＝c，則a＝cB．若四邊形ABCD滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD是平行四邊形C．若a∥b，b∥c，則a∥cD．與非零向量a共線的單位向量為±eq\f(a,|a|)(2)如圖，在等腰梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點P，點E，F分別在兩腰AD，BC上，EF過點P，且EF∥AB，則下列等式中成立的是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) B.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))C.eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→)) D.eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→))________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟蹤訓練1(1)(多選)下列關于向量的說法正確的是()A．若|a|＝0，則a＝0B．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點必在同一條直線上C．對于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|D．若a∥b，則存在唯一實數λ，使a＝λb(2)(多選)如圖所示，四邊形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，則下列結論中一定成立的是()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|B.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(FH,\s\up6(→))共線C.eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(EH,\s\up6(→))共線D.eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(FG,\s\up6(→))題型二平面向量的線性運算命題點1向量加、減法的幾何意義例2若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝7，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4，則|eq\o(BC,\s\up6(→))|的取值范圍是()A．[3,7]B．(3,7)C．[3,11]D．(3,11)命題點2向量的線性運算例3(2022·新高考全國Ⅰ)在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2DA.記eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，則eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n命題點3根據向量線性運算求參數例4(2024·安陽模擬)已知矩形ABCD的對角線交于點O，E為AO的中點，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ為實數)，則λ2－μ2等于()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(7,9)C.eq\f(3－2\r(2),2) D.eq\f(1＋\r(2),2)跟蹤訓練2(1)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是OD的中點，AE的延長線交CD于點F.若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,4)a＋b B.eq\f(1,3)a＋bC.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,3)b D.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b(2)(2023·聊城模擬)M是△ABC內的一點，若eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ等于()A.eq\f(7,6)B．1C.eq\f(5,6)D.eq\f(1,3)題型三共線定理及其應用例5(1)(2023·徐州模擬)已知向量a，b不共線，向量8a－kb與－ka＋b共線，則k＝________.(2)已知△ABC的重心為G，經過點G的直線交AB于點D，交AC于點E，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝________.思維升華利用向量共線定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據．(2)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(3)已知O，A，B是不共線的三點，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，則A，P，B三點共線的充要條件是m＋n＝1.跟蹤訓練3(1)(2023·綿陽模擬)已知平面向量a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，則()A．A，B，D三點共線 B．A，B，C三點共線C．B，C，D三點共線 D．A，C，D三點共線(2)如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN的中點，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，則實數m的值是________．

§5.2平面向量基本定理及坐標表示課標要求1.了解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算.4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件．知識梳理1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內的兩個____________向量，那么對于這一平面內的任一向量a，____________一對實數λ1，λ2，使a＝__________________________________________.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個________．2．平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個____________的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝____________，a－b＝____________，λa＝____________，|a|＝____________.(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則________坐標即為向量的坐標．②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝____________________________________________________，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝___________________________________________________________.4．平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?________________________.常用結論1．若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.2．已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).3．已知△ABC的重心為G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內的任意兩個向量都可以作為一個基底．()(2)基底中可以含有零向量．()(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).()(4)平面向量不論經過怎樣的平移變換，其坐標不變．()2．若e1，e2是平面內一組不共線的向量，則下列四組向量中，不能構成平面內所有向量的一個基底的是()A．e1與e1＋e2 B．e1－2e2與2e1＋e2C．e1－2e2與e1＋2e2 D．e1－e2與e2－e13．(必修第二冊P31例7改編)若向量a＝(3，－4)，b＝(－1，m)，且a∥b，則m等于()A．－eq\f(3,4)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(4,3)D.eq\f(4,3)4．(2023·石嘴山模擬)已知A(2,3)，B(4，－3)，點P在線段BA的延長線上，且2BP＝3AP，則點P的坐標是________．題型一平面向量基本定理的應用例1(1)設{e1，e2}為平面內的一個基底，則下面四組向量中不能作為基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．4e1＋2e2和2e2－4e1C．2e1＋e2和e1＋eq\f(1,2)e2D．e1－2e2和4e2＋2e1(2)(2023·西安模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，則eq\o(BA,\s\up6(→))等于()A.eq\f(6,5)eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(9,5)eq\o(CE,\s\up6(→)) B.eq\f(2,5)eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(3,5)eq\o(CE,\s\up6(→))C.eq\f(6,5)eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(9,5)eq\o(CE,\s\up6(→)) D.eq\f(2,5)eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)eq\o(CE,\s\up6(→))思維升華(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．跟蹤訓練1(1)平面內任一向量m都可以表示成λa＋μb(λ，μ∈R)的形式，下列關于向量a，b的說法中正確的是()A．向量a，b的方向相同B．向量a，b中至少有一個是零向量C．向量a，b的方向相反D．當且僅當λ＝μ＝0時，λa＋μb＝0(2)(2023·太原模擬)已知在矩形ABCD中，E為AB邊中點，AC，DE交于點F，則eq\o(BF,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) D．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))題型二平面向量的坐標運算例2(1)已知A(－1,2)，B(3,0)，點P在直線AB上且|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PB,\s\up6(→))|，則點P的坐標為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(2,3))) B．(7,2)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(2,3)))或(7，－2) D．(2,1)或(7，－2)(2)(2024·成都模擬)在正方形ABCD中，M是BC的中點．若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))，則λ＋μ的值為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(15,8)D．2跟蹤訓練2(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(8,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(8,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(4,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))(2)已知向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示，用基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b))表示c，則()A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3bC．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b題型三向量共線的坐標表示例3(1)(2023·濟寧模擬)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，若a＋2b與a共線，則m＝________.(2)在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，AB⊥AC，E，F分別為AB，BC中點，則AF與CE的交點坐標為________________．跟蹤訓練3(1)(2024·景德鎮模擬)已知向量a＝(2,3)，b＝(2，sinα－3)，c＝(2，cosα)，若(a＋b)∥c，則tanα的值為()A．2B．－2C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標為____________．

§5.3平面向量的數量積課標要求1.理解平面向量數量積的含義及其幾何意義.2.了解平面向量的數量積與投影向量的關系.3.掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算.4.能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系.5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題．知識梳理1．向量的夾角已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則____________＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．2．平面向量的數量積已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量________________叫做向量a與b的數量積，記作____________．3．平面向量數量積的幾何意義設a，b是兩個非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，過eq\o(AB,\s\up6(→))的起點A和終點B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我們稱上述變換為向量a向向量b__________，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的____________．記為____________．4．向量數量積的運算律(1)a·b＝____________.(2)(λa)·b＝____________＝____________.(3)(a＋b)·c＝____________.5．平面向量數量積的有關結論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.幾何表示坐標表示數量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝____________模|a|＝____________|a|＝____________夾角cosθ＝________cosθ＝____________a⊥b的充要條件a·b＝0|a·b|與|a||b|的關系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))常用結論1．平面向量數量積運算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有關向量夾角的兩個結論(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.3．向量a在向量b上的投影向量為eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|).自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩個向量的夾角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()(2)若a，b共線，則a·b＝|a|·|b|.()(3)兩個向量的數量積是一個實數，向量的加、減、數乘運算的結果是向量．()(4)若a·b＝a·c，則b＝c.()2．(必修第二冊P60T8改編)已知向量m＝(2x,1)與向量n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))垂直，則x等于()A.eq\f(1,4)B．－eq\f(1,4)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)3．(2023·鄭州模擬)已知向量a，b滿足|b|＝2|a|＝2，且a與b的夾角為eq\f(2π,3)，則(2a＋b)·a等于()A．12B．4C．3D．14．(必修第二冊P18例10改編)已知a＝(1，eq\r(2))，|b|＝2eq\r(3)，a·b＝－3，則a與b的夾角為________.題型一平面向量數量積的基本運算例1(1)(2023·安康模擬)已知四邊形ABCD為平行四邊形，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，eq\o(DN,\s\up6(→))＝2eq\o(NC,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝3eq\o(MC,\s\up6(→))，則eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))等于()A．7B．1C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,4)(2)在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝AB＝2DC＝2，E為BC的中點，F為AE的中點，則eq\o(CF,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(31,16)B.eq\f(33,16)C.eq\f(35,16)D.eq\f(37,16)跟蹤訓練1(1)如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AD＝1，點E在邊AB上，且eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝3，則BE等于()A．1B．2C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,2)(2)(2023·唐山模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝eq\f(π,3)，E是邊BC的中點，F是CD上靠近D的三等分點，若eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝8，則|eq\o(AD,\s\up6(→))|等于()A．4B．4eq\r(2)C．4eq\r(3)D．8題型二平面向量數量積的應用命題點1向量的模例2(2023·新高考全國Ⅱ)已知向量a，b滿足|a－b|＝eq\r(3)，|a＋b|＝|2a－b|，則|b|＝________________________________________________________________________.命題點2向量的夾角例3(2023·深圳模擬)已知a，b為單位向量，且|3a－5b|＝7，則a與a－b的夾角為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(5π,6)命題點3向量的垂直例4(2023·新高考全國Ⅰ)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，則()A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1 D．λμ＝－1命題點4向量的投影例5(1)已知向量a與b的夾角為eq\f(π,3)，|a|＝2，|b|＝1，則向量a在b上的投影向量為()A．bB.eq\f(1,2)bC．aD.eq\f(1,2)a(2)已知非零向量a，b滿足b＝(eq\r(3)，1)，〈a，b〉＝eq\f(π,3)，若(a－b)⊥a，則向量a在b方向上的投影向量的坐標為______________．思維升華(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；②幾何法：利用向量的幾何意義．(2)求平面向量的夾角的方法①定義法：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；②坐標法．(3)兩個向量垂直的充要條件a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．跟蹤訓練2(1)已知非零向量a，b滿足|b|＝eq\r(2)|a|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為()A．45°B．135°C．60°D．120°(2)(多選)已知向量a＝(m，－1)，b＝(－2,1)，則下列說法正確的是()A．若m＝1，則|a－b|＝eq\r(13)B．若a⊥b，則m＝2C．“m<－eq\f(1,2)”是“a與b的夾角為銳角”的充要條件D．若m＝－1，則b在a上的投影向量的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)))題型三平面向量的實際應用例6(多選)(2023·東莞模擬)在日常生活中，我們會看到兩個人共提一個行李包的情況．假設行李包所受的重力為G，所受的兩個拉力分別為F1，F2，若|F1|＝|F2|，且F1與F2的夾角為θ，則以下結論正確的是()A．|F1|的最小值為eq\f(1,2)|G|B．θ的范圍為[0，π]C．當θ＝eq\f(π,2)時，|F1|＝eq\f(\r(2),2)|G|D．當θ＝eq\f(2π,3)時，|F1|＝|G|跟蹤訓練3長江流域內某地南北兩岸平行，已知游船在靜水中的航行速度v1的大小|v1|＝10km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝6km/h，如圖，設v1和v2所成的角為θ(0<θ<π)，若游船從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則cosθ等于()A．－eq\f(2,5)B．－eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5)D.eq\f(4,5)

§5.4平面向量中的綜合問題重點解讀平面向量中的范圍、最值問題是熱點問題，也是難點問題，此類問題綜合性強，體現了知識的交匯組合．其基本題型是根據已知條件求某個變量的范圍、最值，比如向量的模、數量積、向量夾角、系數的范圍等．題型一平面向量在幾何中的應用例1(1)(多選)(2023·武漢模擬)在△ABC所在平面內有三點O，N，P，則下列命題正確的是()A．若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))，則P是△ABC的垂心B．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，則直線AP必過△ABC的外心C．若|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，則O為△ABC的外心D．若eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→))＝0，則N是△ABC的重心(2)(2023·南寧模擬)△ABC的外心O滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\r(2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，則△ABC的面積為()A.eq\f(2＋\r(2),2)B.eq\f(1＋\r(2),2)C.eq\r(2)D．2思維升華用向量方法解決平面幾何問題的步驟平面幾何問題eq\o(→,\s\up7(設向量))向量問題eq\o(→,\s\up7(計算))解決向量問題eq\o(→,\s\up7(還原))解決幾何問題．跟蹤訓練1(1)在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3，eq\r(3))，且滿足eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，則|eq\o(AC,\s\up6(→))|等于()A．2B．6C.eq\r(3)D．2eq\r(3)(2)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，點D滿足eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，AD＝eq\r(37)，則BC的長為()A．3eq\r(7)B．3eq\r(6)C．3eq\r(3)D．6題型二和向量有關的最值(范圍)問題命題點1與平面向量基本定理有關的最值(范圍)問題例2如圖，在△ABC中，點P滿足2eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，過點P的直線與AB，AC所在的直線分別交于點M，N，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，則2x＋y的最小值為()A．3B．3eq\r(2)C．1D.eq\f(1,3)命題點2與數量積有關的最值(范圍)問題例3(2024·開封模擬)已知等邊△ABC的邊長為eq\r(3)，P為△ABC所在平面內的動點，且|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝1，則eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(9,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(11,2)))C．[1,4] D．[1,7]命題點3與模有關的最值(范圍)問題例4已知a，b是單位向量，a·b＝0，且向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的取值范圍是()A．[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1] B．[eq\r(2)－1，eq\r(2)]C．[eq\r(2)，eq\r(2)＋1] D．[2－eq\r(2)，2＋eq\r(2)]跟蹤訓練2(1)已知向量a，b，c，|a|＝|b|＝1，a⊥b且(c－a)⊥(c－b)，則|c|的最大值為________．(2)(多選)在直角△ABC中，斜邊AB＝2，P為△ABC所在平面內一點，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)sin2θ·eq\o(AB,\s\up6(→))＋cos2θ·eq\o(AC,\s\up6(→))(其中θ∈R)，則()A.eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的取值范圍是(0,4)B．點P經過△ABC的外心C．點P所在軌跡的長度為2D.eq\o(PC,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))

§5.5復數課標要求1.通過方程的解，認識復數.2.理解復數的代數表示及其幾何意義，理解兩個復數相等的含義.3.掌握復數的四則運算，了解復數加、減運算的幾何意義．知識梳理1．復數的有關概念(1)復數的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中________是復數z的實部，______是復數z的虛部，i為虛數單位．(2)復數的分類：復數z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實數b0，,虛數b0當a0時為純虛數.))(3)復數相等：a＋bi＝c＋di?____________(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復數：a＋bi與c＋di互為共軛復數?____________(a，b，c，d∈R)．(5)復數的模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復數z＝a＋bi的模或絕對值，記作________或________，即|z|＝|a＋bi|＝____________(a，b∈R)．2．復數的幾何意義(1)復數z＝a＋bi(a，b∈R)復平面內的點Z(a，b)．(2)復數z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).3．復數的四則運算(1)復數的加、減、乘、除運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________________；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________________；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝________________；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝________________(c＋di≠0)．(2)幾何意義：復數加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進行．如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝__________，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝____________.常用結論1．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．3．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．4．復數z的方程在復平面上表示的圖形(1)a≤|z|≤b表示以原點O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環；(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)復數z＝0沒有共軛復數．()(2)復數可以比較大小．()(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當a＝0時，復數z為純虛數．()(4)復數的模實質上就是復平面內復數對應的點到原點的距離，也就是復數對應的向量的模．()2．(必修第二冊P95T1(3)改編)已知復數z＝i3(1＋i)，則z在復平面內對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．(2023·合肥模擬)已知i是虛數單位，若|1＋ai|＝5，則實數a等于()A．2B．2eq\r(6)C．－2D．±2eq\r(6)4．已知復數z滿足z(1－i)＝i(i為虛數單位)，則z的虛部為________.題型一復數的概念例1(1)(多選)(2023·銀川模擬)若復數z滿足z(1－2i)＝10，則()A.eq\x\to(z)＝2－4iB．z－2是純虛數C．復數z在復平面內對應的點在第三象限D．若角α的始邊為x軸非負半軸，復數z對應的點在角α的終邊上，則sinα＝eq\f(\r(5),5)(2)(2024·杭州模擬)若復數z滿足z(1＋i)＝－2＋i(i是虛數單位)，則|z|等于()A.eq\f(\r(10),2)B.eq\f(5,4)C.eq\f(5,2)D.eq\f(\r(5),2)(3)(多選)(2023·永州模擬)若關于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有兩個不同復數根x1和x2，其中x1＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i(i是虛數單位)，則下面四個選項正確的有()A．m＝1B．x1>x2C．xeq\o\al(3,1)＝1D．xeq\o\al(2,2)＝eq\x\to(x)2跟蹤訓練1(1)(多選)下面是關于復數z＝－1－i(i為虛數單位)的命題，其中真命題為()A．|z|＝2B．z2＝2iC．z的共軛復數為1＋iD．z的虛部為－1(2)(2023·淄博模擬)若復數z＝eq\f(2＋i,a＋i)的實部與虛部相等，則實數a的值為()A．－3B．－1C．1D．3(3)(2023·懷化模擬)若復數z是x2＋x＋1＝0的根，則|z|等于()A.eq\r(2)B．1C．2D．3題型二復數的四則運算例2(1)(2023·新高考全國Ⅰ)已知z＝eq\f(1－i,2＋2i)，則z－eq\x\to(z)等于()A．－iB．iC．0D．1(2)(多選)(2023·忻州模擬)下列關于非零復數z1，z2的結論正確的是()A．若z1，z2互為共軛復數，則z1·z2∈RB．若z1·z2∈R，則z1，z2互為共軛復數C．若z1，z2互為共軛復數，且z2≠0，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝1D．若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝1，則z1，z2互為共軛復數跟蹤訓練2(1)(2022·新高考全國Ⅱ)(2＋2i)·(1－2i)等于()A．－2＋4i B．－2－4iC．6＋2i D．6－2i(2)(2023·濟寧模擬)已知復數z滿足z·i3＝1－2i，則eq\x\to(z)的虛部為()A．1B．－1C．2D．－2題型三復數的幾何意義例3(1)(2023·渭南模擬)棣莫弗公式(cosx＋isinx)n＝cosnx＋isinnx(i為虛數單位)是由法國數學家棣莫弗(1667－1754)發現的，根據棣莫弗公式可知，若復數z滿足z·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos

\f(π,8)＋i·sin

\f(π,8)))6＝|1＋i|，則復數z對應的點Z落在復平面內的()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)(2023·邢臺模擬)已知i是虛數單位，復數z＝a＋bi(a，b∈R)，且|z－i|＝|z＋2－i|，則|z－3＋eq\r(3)i|的最小值為()A．5B．4C．3D．2跟蹤訓練3(1)在復平面內，O為坐標原點，復數z1＝i(－4＋3i)，z2＝7＋i對應的點分別為Z1，Z2，則∠Z1OZ2的大小為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(5π,6)(2)(2023·太原模擬)已知復數z滿足|z－2|＝1，則|z－i|的最小值為()A．1B.eq\r(5)－1C.eq\r(5)＋1D．3

培優點7極化恒等式1．極化恒等式在平面向量中：(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，(a－b)2＝a2＋b2－2a·b，兩式相減可得極化恒等式：a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]．2．幾何解釋(1)平行四邊形模型：向量的數量積等于“和對角線長”與“差對角線長”平方差的eq\f(1,4)，即a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2](如圖)．(2)三角形模型：向量的數量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\o(MB,\s\up6(→))2(M為BC的中點)(如圖)．極化恒等式表明，向量的數量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關系．題型一利用極化恒等式求值例1(1)設向量a，b滿足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則a·b等于()A．1B．2C．3D．5(2)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值是________．思維升華利用向量的極化恒等式可以快速對共起點(終點)的兩向量的數量積問題進行轉化，建立了向量的數量積與幾何長度(數量)之間的橋梁，實現向量與幾何、代數的巧妙結合，對于不共起點和不共終點的問題可通過平移等價轉化為共起點(終點)的兩向量的數量積問題，從而利用極化恒等式解決．跟蹤訓練1(1)如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝4eq\r(5)，AD＝8，E，O，F為線段BD的四等分點，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝________.(2)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，AD邊上的中點，則eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝________.題型二利用極化恒等式求最值(范圍)例2(1)已知△OAB的面積為1，AB＝2，動點P，Q在線段AB上滑動，且PQ＝1，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))的最小值為________．(2)已知直線ax＋by＋c＝0與圓O：x2＋y2＝16相交于M，N兩點，若c2＝a2＋b2，P為圓O上的任意一點，則eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范圍為__________________．跟蹤訓練2(1)已知正方形ABCD的邊長為2，MN是它的內切圓的一條弦，點P為正方形四條邊上的動點，當弦MN的長度最大時，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范圍是()A．[0,1] B．[0，eq\r(2)]C．[1,2] D．[－1,1](2)在面積為2的平行四邊形ABCD中，點P為直線AD上的動點，則eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2的最小值是________．1.如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，則eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(3,4)B．－eq\f(8,9)C．－eq\f(1,4)D．－eq\f(4,9)2．已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是()A．－2B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(4,3)D．－13．已知Rt△ABC的斜邊AB的長為4，設P是以C為圓心，1為半徑的圓上的任意一點，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(5,2)))C．[－3,5] D．[1－2eq\r(3)，1＋2eq\r(3)]4．已知直線l：x＋y－1＝0與圓C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1交于A，B兩點，O為坐標原點，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的最小值為()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.eq\f(1,2)5．已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若c滿足(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大值是()A．1B．2C.eq\r(2)D.eq\f(\r(2),2)6．已知半徑為2的圓O上有三點A，B，C，滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，點P是圓O內一點，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的取值范圍是()A．[－4,14) B．(－4,14]C．[－4,4) D．(－4,4]7．已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))的值為________．8.如圖，在平面四邊形ABCD中，O為BD的中點，且OA＝3，OC＝5.若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝－7，則eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝________.9．在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是________．10．在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C為弧AB上的動點，AB與OC交于點P，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))的最小值為________．

培優點8等和(高)線定理與奔馳定理1．等和(高)線定理(1)由三點共線結論推導等和(高)線定理：如圖，由三點共線結論可知，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝1，由△OAB與△OA′B′相似，必存在一個常數k，k∈R，使得eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))，則eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(OP′,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立．(2)平面內一個基底{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))}及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若點P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線．①當等和線恰為直線AB時，k＝1；②當等和線在O點和直線AB之間時，k∈(0,1)；③當直線AB在O點和等和線之間時，k∈(1，＋∞)；④當等和線過O點時，k＝0；⑤若兩等和線關于O點對稱，則定值k1，k2互為相反數；⑥定值k的變化與等和線到O點的距離成正比．2．奔馳定理如圖，已知P為△ABC內一點，則有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0．由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，所以我們把它稱為“奔馳定理”．這個定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關的問題，有著決定性的基石作用．題型一利用等和線求基底系數和的值例1如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，E為線段AO的中點．若eq\o(BE,\s\up6(→