年中考數學真題完全解讀（江蘇揚州卷）本套試卷整體命題在遵循《義務教育數學課程標準》的基礎上，充分體現了中考命題對基礎知識、基本技能和綜合能力的要求，注重對學生思維過程的考查，兼顧了地區學情、教情與校情。以下從題型結構、知識點覆蓋、難易程度、計算量及思維要求幾個方面進行簡要評價。首先，本套試卷在題型與結構上延續了近年來中考“單選題+填空題+解答題”的常規模式。全卷共分三大題型，題量相對穩定。其中單選題共8小題，考查范圍包括有理數比較、圖形的對稱性、方差評價隨機事件等，題量適中；填空題共10小題，按由易到難的順序分布，涉及一次函數、分式計算、三角幾何、勾股定理等內容；解答題則側重對綜合能力的考察，包含函數綜合、幾何綜合和實際應用型問題。這種布局既與往年本地中考試卷風格相銜接，同時也在靈活度和開放度上略有提升。其次，本卷覆蓋了初中階段的主要知識點。代數部分從分式運算、一次函數、二次函數到分式方程的應用等都有涉及；幾何部分涵蓋了三角形、平行四邊形、菱形以及圓的基本性質，還重點關注了動點與折疊、旋轉和投影的應用。這樣的知識分布既符合《課程標準》對于必備知識與技能的涵蓋要求，也有效檢驗了學生面對不同題型時綜合與遷移的能力。再次，難易分布較為合理。基礎題（如有理數大小比較、簡單一次函數性質判斷等）難度不大，面向全體學生；而中高檔題（如由折疊構造的幾何問題、函數與幾何結合的問題）則對學生的綜合分析及空間想象力提出較高要求，能夠區分出不同層次的學生。整套試卷注重過程性評價，對于常見的幾何推理論證、二次函數與坐標幾何問題，均強調證明思路與計算過程。計算量適中，大多可通過常規方法或適當輔助幾何構造求解，不會給學生造成過度負擔。最后，本卷在考查學生邏輯思維與創新意識方面做了較為突出的嘗試。例如試卷中出現了材料背景式的問題，如“蓮葉的疏水性”“勾股數推算”等，既考查學生理解數學與自然、生活、歷史文化的聯系，也關注了數學建模與探究過程。這在一定程度上體現了中考對學生綜合素養的重視。整套試卷在命題中遵循“面向全體、適度區分、反映素養”的原則，對初中階段的數學教學和學生數學學科能力的檢測都具有較好的導向作用。總體而言，這份試卷能較為準確地反映學生對基礎知識與綜合運用能力的掌握水平，為九年義務教育終結階段的教學評價提供了穩定且有效的參考。1.整體題量與題型2025年試卷與2024年相比，題量均為28題，題型依舊分為選擇題（共8題）、填空題（共10題）、解答題（共10題）。每種題型數量保持不變，考查范圍與命題方向基本連續。只是在部分題型位置上做出了調整，例如解答題28題由原來的圓綜合壓軸調整為四邊形綜合壓軸，二次函數題型由原來的25題中等難度題型調整為今年的27題壓軸難度，難度上升。2.分值與難度安排?選擇題共8題，基礎與中檔兼顧，約占總分的13?填空題共10題，涵蓋代數與幾何的核心內容，約占總分的13?解答題10題，區分度較高，側重能力綜合與情境分析，約占總分的131.選擇題考向調整?雖然題型數量不變，但在幾何題中增加了對“旋轉、折疊、光學成像”等場景的考查，融合空間想象與函數思想，要求學生具備更靈活的幾何分析能力。?概率統計題延續往年常見形式，強調抽樣調查與方差等基礎應用，難度平穩。2.填空題知識交融?保留常規的因式分解、分式運算、一次函數等考點，進一步強化數形結合，如“三角形中位線”“圓周角”與代數式相結合，凸顯了幾何與代數融合的趨勢。3.解答題深化情境?題目情境更貼近現實，如“馬拉松數據統計”、“折疊與疏水性”等，要求學生在真實場景中綜合運用函數、幾何、數論等知識點，重視對閱讀理解與分析能力的考驗。?對關鍵幾何定理與函數性質的靈活運用要求更高，學生需善于構造輔助線、運用坐標與參數方程等方法來解決綜合問題。4.對學生思維與能力的影響?要求學生更注重“多表征”思考方式：數軸、圖形、函數表達式之間相互轉化。?更看重學生對“情境建模—數學求解—結果合理性判斷”的完整過程理解與表達，促進學生在真實情境中的問題解決能力與探究意識提升。以下針對“2025年江蘇省揚州市中考真題數學試卷”作出考情分析。根據試卷給出的題目與答案，整份試卷包括以下題型：?選擇題（8小題，約占總分值的≈32?填空題（10小題，約占總分值的≈20?解答題（10小題，約占總分值的≈48接下來，通過表格的形式呈現各題目的分值分布、題型、考查內容以及難易分析。下表按試題順序排列。題號分值題型考查內容難易分析13選擇題有理數大小比較容易23選擇題軸對稱圖形與中心對稱圖形的辨識容易33選擇題隨機事件、統計圖與方差的意義中等偏容易43選擇題一元二次方程根的判別式中等53選擇題實數與數軸、無理數估算中等偏容易63選擇題三線合一與幾何綜合（角平分線、垂直平分線等）中等73選擇題平行線性質、對頂角、幾何綜合中等83選擇題一次函數與象限的關系中等92填空題科學記數法容易102填空題分解因式（平方差公式）容易112填空題分式混合運算中等122填空題代數式求值、整體思想容易132填空題多邊形外角和容易142填空題圓周角定理、等腰三角形性質中等152填空題三角形中位線定理、斜邊上中線中等162填空題勾股定理、勾股數的規律容易172填空題空間幾何、正切定義、一元一次方程幾何應用中等偏難183填空題矩形、幾何折疊、圓周角定理、相似三角形較難196解答題三角函數值計算、整式混合運算中等206解答題一元一次不等式組及其解集容易216解答題數據統計（平均數、中位數、眾數），統計表應用中等226解答題概率（樹狀圖法、列表法），基本概率計算中等236解答題分式方程的實際應用，單價問題中等246解答題一次函數與反比例函數的綜合，平面直角坐標系綜合中等偏難256解答題四邊形綜合（平行四邊形、菱形），線段垂直平分線性質中等偏難266解答題尺規作圖、幾何中切線判定、材料疏水性（探究型問題）較難278解答題二次函數與坐標軸交點、待定系數法、判別式，綜合運用較難288解答題幾何綜合（正方形、矩形、勾股定理、相似），面積倍數關系與角度不變性較難總體上，該卷難度層級分布合理，既能覆蓋基礎知識，也能考查學生的綜合應用能力和探究思維。?容易題（如第1、2、9、10、12、13、16、20題等）主要考查計算與基礎概念，解題過程直接且步驟簡潔。?中等題（如第4、5、6、7、8、11、14、15、19、21、22、23等）需要對概念間的關系較為熟悉，且能進行一定程度的綜合或推理。?較難題與難題（如第17、18、24、25、26、27、28題）往往關聯多個知識點，注重思維的靈活與綜合運用，部分題目（如第26、28題）還帶有探究與創新思維要求，需要學生具備較強的幾何推理及代數綜合能力。本套試卷側重考查學生對初中數學主干知識的掌握程度及應用能力。在注重基本技能考查的同時，也適度增加了幾何綜合與函數綜合類題目，以檢驗學生在多情境下的應用與探究能力。易、中、難的配比合理，對各層次學生均有一定的區分度。通過該卷可對學生的知識掌握水平及解決問題能力進行較全面的考查。以下建議旨在幫助同學們更好地理解本試卷所呈現的重點考查方向，并在接下來的復習中更有針對性地提升綜合能力。1.有理數與實數的比較?試卷第?1?題涉及負數大小比較，尤其要牢記“在負數中，絕對值越大，數值越小”的規律。同學們復習時可多做數軸定位、絕對值比較等練習。2.幾何圖形對稱性?關于中心對稱與軸對稱（第?2?題），要分清“繞點旋轉?180°

重合”與“沿直線折疊重合”這兩種概念，避免混淆。3.函數與方程?一次函數：掌握一次函數y=kx+b的圖象特性：斜率正負決定增減，截距決定與坐標軸的交點位置。特別注意?一元二次方程：通過判別式

Δ=b2-4?反比例函數：如y=kx，在坐標軸的對稱性及與一次函數求交點時，往往需要代入我們習慣稱的“4.三角形與圓：?圓周角定理、三角形中的中位線、勾股定理（第?16?題等）是常考內容，要對常見的幾何輔助線（平行、垂直、平分等）非常熟練。?注意多邊形內角、外角關系，以及精確計算每個內角或外角后推斷多邊形邊數（第?13?題）。5.數據統計與概率：?重點關注方差的應用（第?3?題）和直觀統計圖（如條形圖、折線圖、餅圖）的選用依據，以及概率的基本計算（第?22?題）。1.選擇題：?善用排除法：對于備選選項中明顯違背概念或數值不合常理的，及時剔除；?注重數形結合：有幾何背景時畫示意圖，或在數軸上定位；?避免粗心：涉及負號或分數時要聚焦小細節。2.填空題：?強化計算與變形：如分式混合運算、去括號、提取公因式等，都需要扎實的基本功；?培養“整體代入”思維：若題目中給出a+13.解答題：?書寫規范，思路清晰：先列出已知條件，再寫出推理過程或方程（函數），最終呈現結論；?幾何繪圖：關鍵輔助線要標明長度、角度、相同線段或角的記號，有助于呈現完整的思路；?綜合運用：將代數、幾何、函數、統計等多模塊知識交叉運用，是中考壓軸題的常見形態，要訓練綜合解題的能力。1.保證平穩心態：?中考復習周期較長，壓力也較大。遇到難題時不妨先轉換思路或暫時跳過，再回頭攻克；保持積極心態，避免因一兩道題而自我否定。2.分階段逐層突破：?第一階段（基礎梳理）：對教材中出現的概念、公式、定理做系統整理，建立知識網絡；?第二階段（專項訓練）：結合往年和本套試卷出現的易錯點，如軸對稱、中心對稱區分、二次方程根判斷等，做針對性強化；?第三階段（綜合模擬）：做整卷模擬訓練，著重培養解題速度與應試技巧，檢驗薄弱環節并及時回補。3.合理安排作息：?學習與休息需保持平衡。復習沖刺期應全面避免過度熬夜，保證充足睡眠，有助于提升記憶力和運算準確度。4.命題趨勢與后續關注?多模塊融合：趨勢可能繼續加大代數與幾何、函數與數形結合的聯動考查，如一次函數圖象與三角形面積結合等，要求同學們綜合運用不同知識點。?生活化與創新：近年考試常以“真實情境”命題，例如統計項目與生活數據、幾何問題與建筑結構（如實物折疊），需關注對現實素材的理解與引申。5.更高層次的問題解決：?對探究型試題和具有開放性思維的問題，更需培養學生的觀察力與多角度思考能力，切勿局限于單一解題套路。總之，各位同學可先在基礎、概念、公式與常考題型上持續發力，配合針對性的專項訓練，再通過全真模擬與自我反思進行查漏補缺。相信只要掌握好各知識版塊的內在聯系、不斷積累經驗并調整好心態，定能在中考考場上取得理想的成績！祝大家備考順利，旗開得勝。2025年江蘇省揚州市中考真題數學試卷一、選擇題(本大題共有8小題，每小題3分，共24分，在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合顧目要求的，請將該選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上)1．下列溫度中，比低的溫度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了有理數大小的比較．根據題意，選出比小的數即可．【詳解】解：根據兩個負數，絕對值大的反而小可知，所以比低的溫度是．故選：．2．窗欞是中國傳統木構建筑的重要元素，既散發著古典之韻，又展現了幾何之美．下列窗欞圖案中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了軸對稱圖形，中心對稱圖形的識別．解題的關鍵在于熟練掌握：在平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形；在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉180度，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．根據中心對稱和軸對稱的定義，進行判斷即可．【詳解】解：A、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，不符合題意；B、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，不符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，符合題意；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；故選C．3．下列說法不正確的是（

）A．明天下雨是隨機事件B．調查長江中現有魚的種類，適宜采用普查的方式C．描述一周內每天最高氣溫的變化情況，適宜采用折線統計圖D．若甲組數據的方差，乙組數據的方差，則乙組數據更穩定【答案】B【分析】本題考查了隨機事件、調查方式、統計圖選擇及方差的意義，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．根據相關知識點進行判斷即可．【詳解】A：明天下雨的結果不確定，屬于隨機事件，正確，故該選項不符合題意；B：長江魚種類調查范圍廣、個體多，應采用抽樣調查，錯誤，故該選項符合題意；C：折線統計圖適用于展示數據變化趨勢，描述氣溫變化合適，正確，故該選項不符合題意；D：方差越小數據越穩定，乙方差更小，更穩定，正確，故該選項不符合題意．故選：B．4．關于一元二次方程的根的情況，下列結論正確的是（

）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．沒有實數根 D．無法判斷根的情況【答案】A【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，解題的關鍵在于熟練掌握：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．通過計算一元二次方程的判別式，即可判斷方程根的情況．【詳解】解：對于方程，其判別式為：，由于，說明該方程有兩個不相等的實數根，故選：A．5．如圖，數軸上點表示的數可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查實數與數軸，無理數的估算，設點表示的數為，根據點在數軸上的位置，判斷出的范圍，夾逼法求出無理數的范圍進行判斷即可．【詳解】解：設點表示的數為，由圖可知：，∵，即：，故選項A不符合題意；∵，即：，故選項B不符合題意；∵，即：，故選項C符合題意；∵，即：，故選項D不符合題意；故選C．6．在如圖的房屋人字梁架中，，點在上，下列條件不能說明的是（

）A． B． C． D．平分【答案】B【分析】本題考查三線合一，根據三線合一，進行判斷即可．【詳解】解：當時，∵點在上，∴，∴，∴；故選項A不符合題意；∵，∴，不能得到；故選項B符合題意；∵，∴當或平分時，；故選項C，D均不符合題意；故選B7．如圖，平行于主光軸的光線和經過凸透鏡折射后，折射光線，交于主光軸上一點，若，，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查平行線的性質，對頂角，先根據平行線的性質求出的度數，再根據角的和差關系和對頂角相等，求出的度數即可．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴；故選C8．已知，則一次函數的圖象不經過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】本題主要考查了一次函數的圖象，熟練掌握一次函數的圖象特點是解題關鍵．先根據可得，從而可得，再可得，然后根據一次函數的圖象特點即可得．【詳解】解：∵，∴，當時，，，與矛盾，當時，，

?，與矛盾，當時，，，與矛盾，當時，，，與矛盾，∴，∴，∴一次函數的圖象經過第一、二、三象限，不經過第四象限，故選：D．二、填空題(本大題共有10小題，每小題3分，共30分，不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上)9．2025年3月30日，揚州鑒真半程馬拉松暨大運河馬拉松系列賽在市民中心廣場鳴槍開跑，約30000名跑者用腳步丈量千年古城，用拼搏詮釋無限熱愛．將數據30000用科學記數法表示為．【答案】【分析】本題考查了科學記數法“將一個數表示成的形式，其中，為整數，這種記數的方法叫做科學記數法”，熟記科學記數法的定義是解題關鍵．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．根據科學記數法的定義即可得．【詳解】解：，故答案為：．10．分解因式：．【答案】【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法、換元法等）是解題關鍵．利用平方差公式分解因式即可得．【詳解】解：，故答案為：．11．計算：．【答案】/【分析】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握分式的運算法則是解題關鍵．先計算括號內的分式減法，再計算分式的除法即可得．【詳解】解：原式，故答案為：．12．若，則代數式的值是．【答案】1【分析】本題考查了代數式求值，掌握整體的思想是解題的關鍵．先將變形為，再將變形為，然后整體代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：1．13．若多邊形的每個內角都是，則這個多邊形的邊數為．【答案】9【分析】本題考查了正多邊形的內角和與外角和問題，熟練掌握多邊形的外角和等于是解題關鍵．先求出這個多邊形的每個外角都是，再根據多邊形的外角和等于求解即可得．【詳解】解：∵這個多邊形的每個內角都是，∴這個多邊形的每個外角都是，∴這個多邊形的邊數為，故答案為：9．14．如圖，點，，在上，，則．【答案】40【分析】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質，熟練掌握圓周角定理是解題關鍵．先根據圓周角定理可得，再根據等腰三角形的性質即可得．【詳解】解：∵點在上，，∴，∵，∴，故答案為：40．15．如圖，在△ABC中，點，分別是邊，的中點，點在線段的延長線上，且，若，，則的長是．【答案】6【分析】本題考查了三角形的中位線定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握三角形的中位線定理是解題關鍵．先根據三角形的中位線定理可得，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，然后根據求解即可得．【詳解】解：∵在△ABC中，點，分別是邊，的中點，，∴，∵，，∴，∴，故答案為：6．16．清代揚州數學家羅士琳癡迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股數的“羅士琳法則”．法則的提出，不僅簡化了勾股數的生成過程，也體現了中國傳統數學在數論領域的貢獻．由此法則寫出了下列幾組勾股數：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根據上述規律，寫出第⑤組勾股數為．【答案】【分析】本題考查勾股定理，數字類規律探究，觀察可知，每組勾股數的第一個數字為奇數，后面兩個數字為兩個連續的整數，得到第⑤組勾股數的第1個數為11，設第2個數為，則第3個數為，根據勾股定理列出方程進行求解．【詳解】解：由題意，第⑤組勾股數的第1個數為11，設第2個數為，則第3個數為，由勾股定理，得：，解得：，∴；∴第⑤組勾股數為；故答案為：．17．如圖1，棱長為的密封透明正方體容器水平放置在桌面上，其中水面高度．將此正方體放在坡角為的斜坡上，此時水面恰好與點齊平，其主視圖如圖2所示，則．【答案】【分析】本題考查了求角的正切值、一元一次方程的幾何應用、主視圖、平行線的性質等知識，熟練掌握正切的定義是解題關鍵．延長，交直線于點，設，則，先根據水的體積不變建立方程，解方程可得的值，再根據平行線的性質可得，然后根據正切的定義計算即可得．【詳解】解：如圖，延長，交直線于點，由題意得：，設，則，∵密封透明正方體容器水平放置在桌面上與放在坡角為的斜坡上，容器里水的體積不變；且放在坡角為的斜坡上時，水的體積等于長為、寬為、高為的長方體的體積與長為、寬為、高為的長方體的體積的一半之和，∴，解得，即，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．18．如圖，在矩形中，，，點是邊上的動點，將沿直線翻折得到△APE，過點作，垂足為，點是線段上一點，且．當點從點運動到點時，點運動的路徑長是．【答案】【分析】分點在矩形內部和點在矩形外部，兩種情況進行討論求解，當點在矩形內部時，作，交于點，證明，進而得到，進而得到點在以為直徑的圓上運動，得到當點從點開始運動直至點落在上時，點的運動軌跡為半圓，當點在矩形外部時，同法可得，點在以為直徑的圓上，得到當點運動到點時，點的運動軌跡是圓心角為的，求出兩段路徑的和即可得出結果．【詳解】解：∵矩形，∴，∵翻折，∴，當點在矩形內部時，作，交于點，則：，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴點在以為直徑的圓上運動，∴當點從點開始運動直至點落在上時，點的運動軌跡為半圓，∴點的運動路徑長為：；當點在矩形的外部時，作，交的延長線于點，同法可得：，，∴，點在以為直徑的上運動，連接，當點運動到點時，如圖：∵，，∴，∴，∴，∵折疊，∴，∴，∴，∴，∴點的運動軌跡為圓心角為的，路徑長為，∴點的運動路徑總長為：；故答案為：三、解答題(本大題共有10小題，共96分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟)19．計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了含特殊角的三角函數值的實數的混合運算、整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題關鍵．（1）先化簡二次根式、計算含特殊角的三角函數值的混合運算和零指數冪，再計算二次根式的混合運算即可得；（2）先計算單項式乘以多項式、同底數冪的除法，再計算整式的加減法即可得．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．20．解不等式組，并寫出它的所有負整數解．【答案】不等式組的解集為，它的所有負整數解為【分析】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解題關鍵．先分別求出兩個不等式的解集，再找出它們的公共部分即為不等式組的解集，然后寫出它的所有負整數解即可得．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，所以不等式組的解集為，它的所有負整數解為．21．為角逐市校園“音樂達人”大賽，小紅和小麗參加了校內選拔賽，10位評委的評分情況如下（單位：分）．表1評委評分數據評委評委評分小紅7878777879小麗7768888878表2評委評分數據分析選手平均數中位數眾數小紅7小麗8根據以上信息，回答下列問題：(1)表2中______，______，______；(2)你認為小紅和小麗誰的成績較好？請說明理由．【答案】(1)；7；8(2)小麗的成績較好，理由見解析【分析】本題主要考查了平均數，中位數和眾數，熟知平均數，中位數和眾數的定義是解題的關鍵．（1）根據平均數，中位數和眾數的定義求解即可；（2）兩人平均成績相同，而小麗的中位數和眾數大，據此可得結論．【詳解】（1）解：由題意得，；把小紅的10位評委的評分按照從低到高排列為：7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，∴小紅的10位評委的評分的中位數為分，即；∵小麗的10位評委的評分中，評分為8分的人數最多，∴小麗的10位評委的評分的眾數為8，即；（2）解：小麗的成績較好，理由如下：從平均數來看，兩人的平均成績相同，從中位數和眾數來看，小麗的中位數和眾數均大于小紅的中位數和眾數，故小麗的成績較好．22．為打造活力校園，某校在大課間開展了豐富多彩的活動，現有4種體育類活動供學生選擇：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花樣跳繩，D．踢毽子，每名學生只能選擇其中一種體育活動．(1)若小明在這4種體育活動中隨機選擇，則選中“乒乓球”的概率是______；(2)請用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小聰隨機選擇選到同一種體育活動的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了樹狀圖或列表法求解概率，正確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關鍵．（1）根據概率公式直接求解；（2）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結果數，再找到符合題意的結果數，最后依據概率計算公式求解即可．【詳解】（1）解：∵有4種體育類活動供學生選擇：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花樣跳繩，D．踢毽子，∴選中“乒乓球”的概率是，故答案為：；（2）解：畫樹狀圖為：由樹狀圖可知一共有16種等可能性的結果數，其中小明和小聰隨機選擇選到同一種體育活動的結果數有4種，∴小明和小聰隨機選擇選到同一種體育活動的概率是．23．某文創商店推出甲、乙兩款具有紀念意義和實用價值的書簽，已知甲款書簽價格是乙款書簽價格的倍，且用100元購買甲款書簽的數量比用128元購買乙款書簽的數量少3個，求這兩款書簽的單價．【答案】乙款書簽價格為16元，甲款書簽價格為20元【分析】本題考查了分式方程的實際應用，正確理解題意，找到等量關系是解題的關鍵．設乙款書簽價格為（元），則甲款書簽價格為（元），根據“用100元購買甲款書簽的數量比用128元購買乙款書簽的數量少3個”建立分式方程求解即可．【詳解】解：設乙款書簽價格為（元），則甲款書簽價格為（元），由題意得：，解得：，經檢驗：是原方程的解，且符合題意，∴則甲款書簽價格為（元）答：乙款書簽價格為16元，甲款書簽價格為20元．24．如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象與一次函數的圖象交于點，．(1)求反比例函數、一次函數的表達式；(2)求的面積．【答案】(1)反比例函數的表達式為，一次函數的表達式為(2)8【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的綜合，熟練掌握待定系數法和反比例函數的應用是解題關鍵．（1）將點代入可得反比例函數的解析式，再求出點的坐標，然后利用待定系數法求出一次函數的解析式即可得；（2）設一次函數的圖象與軸的交點為點，先求出點的坐標，再根據的面積等于與的面積之和即可得．【詳解】（1）解：由題意得：將點代入得：，所以反比例函數的表達式為；將點代入可得：，∴，將點，代入得：，解得，所以一次函數的表達式為．（2）解：如圖，設一次函數的圖象與軸的交點為點，將代入一次函數得：，解得，∴，∴，由（1）已得：，，∴的邊上的高為，的邊上的高為，∴的面積為．25．如圖，在中，對角線的垂直平分線與邊，分別相交于點，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，平分，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證明得到，根據得到，那么可得四邊形是平行四邊形，再由線段垂直平分線的性質得到，即可證明其為菱形；（2）根據菱形的性質結合已知條件證明，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵對角線的垂直平分線是，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；（2）解：如圖，∵平分，∴，∵菱形，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∴，∴．26．材料的疏水性揚州寶應是荷藕之鄉．“微風忽起吹蓮葉，青玉盤中瀉水銀”，蓮葉上的水滴來回滾動，不易滲入蓮葉內部，這說明蓮葉具有較強的疏水性．疏水性是指材料與水相互排斥的一種性質．【概念理解】材料疏水性的強弱通常用接觸角的大小來描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，經過球心的縱截面如圖1所示，接觸角是過固、液、氣三相接觸點（點或點）所作的氣?液界線的切線與固?液界線的夾角，圖1中的就是水滴的一個接觸角．c（1）請用無刻度的直尺和圓規作出圖2中水滴的一個接觸角，并用三個大寫字母表示接觸角；（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）（2）材料的疏水性隨著接觸角的變大而______（選填“變強”“不變”“變弱”）．【實踐探索】實踐中，可以通過測量水滴經過球心的高度和底面圓的半徑，求出的度數，進而求出接觸角的度數（如圖3）．（3）請探索圖3中接觸角與之間的數量關系（用等式表示），并說明理由．【創新思考】（4）材料的疏水性除了用接觸角以及圖3中與△ABC相關的量描述外，還可以用什么量來描述，請你提出一個合理的設想，并說明疏水性隨著此量的變化而如何變化．【答案】（1）圖見解析（2）變強（3），理由見解析（4）見解析（答案不唯一）【分析】本題考查尺規作圖—復雜作圖，切線的判定和性質，熟練掌握新定義，切線的判定和性質，是解題的關鍵．（1）圓弧上取一點，交界面與圓弧的交點為，連接，分別作的中垂線，交于點，則點為圓弧的圓心，連接，過點作，則為圓的切線，即為所求；（2）根據題意，可知，接觸角越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強，進行作答即可；（3）連接，等邊對等角，得到，切線的性質，結合等角的余角相等，得到，進而得到即可；（4）可以根據，進行判斷，根據越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強進行作答即可．【詳解】解：（1）①圓弧上取一點，交界面與圓弧的交點為，連接；②分別作的中垂線，交于點，則點為圓弧的圓心；③連接，過點作，則為圓的切線，故即為所求；（2）由題意和圖，可知，接觸角越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強，故材料的疏水性隨著接觸角的變大而變強；故答案為：變強；（3），理由如下：連接，則：，∴，∵為切線，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（4）∵水滴弧的長度為：，∴，∴可以根據的大小，進行判斷，越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強（答案不唯一）．27．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象（記為）與軸交于點，，與軸交于點，二次函數的圖象（記為）經過點，．直線與兩個圖象，分別交于點，，與軸交于點．(1)求，的值．(2)當點在線段上時，求的最大值．(3)設點，到直線的距離分別為，．當時，對應的值有______個；當時，對應的值有______個；當時，對應的值有______個；當時，對應的值有______個．【答案】(1)，(2)(3)2，0，4，無數【分析】本題考查了二