§7.1基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積課標要求1.認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構.2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計算公式，并能解決簡單的實際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖．知識梳理1．空間幾何體的結構特征(1)多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相________且________多邊形互相________且________側棱相交于______但不一定相等延長線交于________側面形狀(2)旋轉體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，________于底面相交于______延長線交于______軸截面側面展開圖2.直觀圖(1)畫法：常用____________．(2)規則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面________．②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍________________，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度________，平行于y軸的線段，長度在直觀圖中變為原來的________．3．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側＝________S圓錐側＝________S圓臺側＝________4.柱、錐、臺、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體S表＝S側＋2S底V＝________錐體S表＝S側＋S底V＝________臺體S表＝S側＋S上＋S下V＝____________球S表＝________V＝____________常用結論1．與體積有關的幾個結論(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等(祖暅原理)．2．直觀圖與原平面圖形面積間的關系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形，S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)菱形的直觀圖仍是菱形．()(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱．()(4)錐體的體積等于底面積與高之積．()2.如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是()A．四棱臺 B．四棱錐C．四棱柱 D．三棱柱3．(必修第二冊P111T1改編)下列說法正確的是()A．相等的角在直觀圖中仍然相等B．相等的線段在直觀圖中仍然相等C．正方形的直觀圖是正方形D．若兩條線段平行，則在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行4．若一個圓錐的底面半徑和高都是1，則它的母線長等于________，它的體積等于________．題型一基本立體圖形命題點1結構特征例1(多選)下列說法正確的是()A．底面是菱形，且有一個頂點處的三條棱兩兩垂直的棱柱是正四棱柱B．有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C．如果一個棱錐的各個側面都是等邊三角形，那么這個棱錐可能為六棱錐D．如果一個棱柱的所有面都是長方形，那么這個棱柱是長方體命題點2直觀圖例2如圖，△A′O′B′是水平放置的△AOB的直觀圖，但部分圖象被茶漬覆蓋，已知O′為坐標原點，頂點A′，B′均在坐標軸上，且△AOB的面積為12，則O′B′的長度為()A．1B．2C．3D．4命題點3展開圖例3如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為1cm，高為5cm，一質點自A點出發，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達A1點的最短路線的長為()A．12cmB．13cmC.eq\r(61)cmD．15cm跟蹤訓練1(1)如圖，一個水平放置的平面圖形由斜二測畫法得到的直觀圖A′B′C′D′是邊長為2的菱形，且O′D′＝2，則原平面圖形的周長為()A．4eq\r(2)＋4 B．4eq\r(6)＋4C．8eq\r(2) D．8(2)(多選)下面關于空間幾何體的敘述正確的是()A．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形C．長方體是直平行六面體D．存在每個面都是直角三角形的四面體(3)有一根高為3π，底面半徑為1的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為________．題型二表面積與體積命題點1表面積例4(1)(2023·深圳模擬)以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周所得圓柱的側面積等于()A．8πB．4πC．8D．4(2)如圖所示，已知三棱臺ABC－A1B1C1的上、下底面都是等腰直角三角形，CC1⊥平面ABC，AC＝2，A1C1＝1，CC1＝1，則這個三棱臺的側面積為()A.eq\f(6＋3\r(3),2) B.eq\f(10＋3\r(3),2)C.eq\f(11＋3\r(3),2) D．3＋2eq\r(3)命題點2體積例5(1)如圖為一個木楔子的直觀圖，其中四邊形ABCD是邊長為2的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥CD，EF＝4，則該木楔子的體積為()A.eq\f(8\r(2),3)B．4eq\r(2)C.eq\f(4\r(2),3)D．2eq\r(2)(2)(2023·新高考全國Ⅰ)在正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，則該棱臺的體積為________．思維升華求空間幾何體的體積的常用方法公式法規則幾何體的體積，直接利用公式割補法把不規則的幾何體分割成規則的幾何體，或者把不規則的幾何體補成規則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積跟蹤訓練2(1)定義：通過24小時內降水在平地上的積水厚度(mm)來判斷降雨程度；其中小雨(0mm－10mm)，中雨(10mm－25mm)，大雨(25mm－50mm)，暴雨(50mm－100mm)；小明用一個圓錐形容器(如圖)接了24小時的雨水，則這天降雨屬于哪個等級()A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨(2)(多選)已知在正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1＝2，則關于該正四棱臺，下列說法正確的是()A．∠A1AB＝eq\f(π,6) B．高為eq\r(2)C．體積為eq\f(28\r(2),3) D．表面積為12eq\r(3)

§7.2球的切、接問題重點解讀與球的切、接問題是歷年高考的熱點內容，一般以客觀題的形式出現，考查空間想象能力、計算能力．其關鍵點是利用轉化思想，把球的切、接問題轉化為平面問題或特殊幾何體來解決或轉化為特殊幾何體的切、接問題來解決．一、正方體與球1．內切球：內切球直徑2R＝正方體棱長a.2．棱切球：棱切球直徑2R＝正方體的面對角線長eq\r(2)a.3．外接球：外接球直徑2R＝正方體體對角線長eq\r(3)a.二、長方體與球外接球：外接球直徑2R＝體對角線長eq\r(a2＋b2＋c2)(a，b，c分別為長方體的長、寬、高)．三、正棱錐與球1．內切球：V正棱錐＝eq\f(1,3)S表·r＝eq\f(1,3)S底·h(等體積法)，r是內切球半徑，h為正棱錐的高．2．外接球：外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E，半徑為r，R2＝(h－R)2＋r2(正棱錐外接球半徑為R，高為h)．四、正四面體的外接球、內切球若正四面體的棱長為a，高為h，正四面體的外接球半徑為R，內切球半徑為r，則h＝eq\f(\r(6),3)a，R＝eq\f(\r(6),4)a，r＝eq\f(\r(6),12)a，R∶r＝3∶1.五、正三棱柱的外接球球心到正三棱柱兩底面的距離相等，正三棱柱兩底面中心連線的中點為其外接球球心．R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h柱,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)AD))2.六、圓柱的外接球R＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋r2)(R是圓柱外接球的半徑，h是圓柱的高，r是圓柱底面圓的半徑)．七、圓錐的外接球R2＝(h－R)2＋r2(R是圓錐外接球的半徑，h是圓錐的高，r是圓錐底面圓的半徑)．題型一外接球命題點1定義法例1(1)(2023·茂名模擬)已知菱形ABCD的各邊長為2，∠B＝60°.將△ABC沿AC折起，折起后記點B為P，連接PD，得到三棱錐P－ACD，如圖所示，當三棱錐P－ACD的表面積最大時，三棱錐P－ACD的外接球體積為()A.eq\f(5\r(2)π,3) B.eq\f(4\r(3)π,3)C．2eq\r(3)π D.eq\f(8\r(2)π,3)(2)(2023·韶關模擬)已知三棱柱ABC－A1B1C1的側棱垂直于底面，且所有頂點都在同一個球面上，若AA1＝AC＝2，AB⊥BC，則此球的體積為________________．思維升華到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據到其他頂點距離也是半徑，列關系式求解即可．跟蹤訓練1某建筑的形狀可視為內外兩個同軸圓柱，某愛好者制作了一個實心模型，已知模型內層底面直徑為12cm，外層底面直徑為16cm，且內外層圓柱的底面圓周都在一個直徑為20cm的球面上，則此模型的體積為________cm3.命題點2補形法例2數學中有許多形狀優美、寓意獨特的幾何體，圖1所示的禮品包裝盒就是其中之一．該禮品包裝盒可以看成是一個十面體，其中上、下底面為全等的正方形，所有的側面是全等的等腰三角形．將長方體ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1繞著其中心旋轉45°得到如圖2所示的十面體ABCD－EFGH.已知AB＝AD＝2，AE＝eq\r(7)，則十面體ABCD－EFGH外接球的表面積是________________．跟蹤訓練2在四面體S－ABC中，SA⊥平面ABC，在△ABC中，內角B，A，C成等差數列，SA＝AC＝2，AB＝1，則該四面體的外接球的表面積為________________．命題點3截面法例3(1)(2022·新高考全國Ⅱ)已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為3eq\r(3)和4eq\r(3)，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()A．100πB．128πC．144πD．192π(2)在平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.將其沿對角線BD折成四面體A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD.若四面體A′BCD的頂點在同一球面上，則該球的體積為()A.eq\f(\r(3)π,2)B．3πC.eq\f(\r(2)π,3)D．2π跟蹤訓練3(1)已知正四棱臺的上、下底面的頂點都在一個半徑為3的球面上，上、下底面正方形的外接圓半徑分別為1和2，圓臺的兩底面在球心的同側，則此正四棱臺的體積為________________．(2)兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為eq\f(32π,3)，兩個圓錐的高之比為1∶3，則這兩個圓錐的體積之和為()A．3πB．4πC．9πD．12π題型二內切球例4如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一塊石材，測量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若將該石材切削、打磨，加工成幾個大小相同的健身手球，則一個加工所得的健身手球的最大體積及此時加工成的健身手球的個數分別為()A.eq\f(32π,3)，4 B.eq\f(9π,2)，3C．6π，4 D.eq\f(32π,3)，3跟蹤訓練4(1)(2023·淮北模擬)半球內放三個半徑為eq\r(3)的小球，三小球兩兩相切，并且與球面及半球底面的大圓面也相切，則該半球的半徑是()A．1＋eq\r(3) B.eq\r(3)＋eq\r(5)C.eq\r(5)＋eq\r(7) D.eq\r(3)＋eq\r(7)(2)(2024·海東模擬)在正四棱錐P－ABCD中，PA＝5，AB＝6，則該四棱錐內切球的表面積是()A.eq\f(4π,7)B.eq\f(24π,7)C.eq\f(36π,7)D.eq\f(72π,7)

§7.3空間點、直線、平面之間的位置關系課標要求1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義.2.了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題．知識梳理1．基本事實1：過________________的三個點，有且只有一個平面．基本事實2：如果一條直線上的________在一個平面內，那么這條直線在這個平面內．基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有________過該點的公共直線．基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線.2．“三個”推論推論1：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經過兩條________直線，有且只有一個平面．推論3：經過兩條________直線，有且只有一個平面．3．空間中直線與直線的位置關系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(直線：在同一平面內，有且只有一個公共點；,直線：在同一平面內，沒有公共點；)),異面直線：不同在一個平面內，沒有公共點.))4．空間中直線與平面、平面與平面的位置關系圖形語言符號語言公共點直線與平面相交____個平行____個在平面內____個平面與平面平行____個相交____個5.等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角____________________．6．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：____________.常用結論1．過平面外一點和平面內一點的直線，與平面內不過該點的直線是異面直線．2．分別在兩個平行平面內的直線平行或異面．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)沒有公共點的兩條直線是異面直線．()(2)直線與平面的位置關系有平行、垂直兩種．()(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．()(4)兩兩相交的三條直線共面．()2．(必修第二冊P147例1改編)已知正方體ABCD－A1B1C1D1，直線BD1與直線AA1所成角的余弦值是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(3),3)3．(多選)給出以下四個命題，其中錯誤的是()A．不共面的四點中，其中任意三點不共線B．若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面C．若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面D．依次首尾相接的四條線段必共面4.如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則：(1)當AC，BD滿足條件____________時，四邊形EFGH為菱形；(2)當AC，BD滿足條件__________________時，四邊形EFGH為正方形．題型一基本事實的應用例1已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(1)D，B，F，E四點共面；(2)若A1C交平面DBFE于點R，則P，Q，R三點共線；(3)DE，BF，CC1三線交于一點．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟蹤訓練1在如圖所示的空間幾何體中，四邊形ABEF與ABCD都是梯形，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G，H分別為AF，FD的中點．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F，E四點是否共面？為什么？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二空間位置關系的判斷例2(1)(多選)下列推斷中，正確的是()A．M∈α，M∈β，α∩β＝l?M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．l?α，A∈l?A?αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合(2)(2023·龍巖模擬)若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是()A．異面或平行 B．異面或相交C．異面 D．相交、平行或異面思維升華判斷空間直線的位置關系一般有兩種方法：一是構造幾何體(如長方體、空間四邊形等)模型來判斷．二是排除法．特別地，對于異面直線的判定常用到結論：“平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過點B的直線是異面直線．”跟蹤訓練2(1)空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關系是()A．平行B．異面C．相交或平行D．平行或異面或相交均有可能(2)(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，以下四個選項正確的是()A．直線AM與CC1是相交直線B．直線AM與BN是平行直線C．直線BN與MB1是異面直線D．直線AM與DD1是異面直線題型三異面直線所成的角例3(1)如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為弧BC的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(30),6)D.eq\f(\r(6),6)(2)四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥底面ABCD，異面直線AC與PD所成角的余弦值為eq\f(\r(10),5)，則四棱錐外接球的表面積為()A．48πB．12πC．36πD．9π跟蹤訓練3(1)(2023·莆田模擬)若正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面邊長為1，高為eq\r(6)，則直線AE1和EF所成角的大小為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)(2)平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)

§7.4空間直線、平面的平行課標要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系，并加以證明.2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質，并會簡單應用．知識梳理1．線面平行的判定定理和性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與____________的一條直線平行，那么該直線與此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,))?a∥α性質定理一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面________，那么該直線與交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,))?a∥b2.面面平行的判定定理和性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內的兩條________與另一個平面平行，那么這兩個平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,,,))?β∥α性質定理兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面，那么兩條________平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,))?a∥b常用結論1．垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.2．平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.3．垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.4．若α∥β，a?α，則a∥β.自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一條直線平行于一個平面內的兩條直線，則這條直線平行于這個平面．()(2)若直線a與平面α內無數條直線平行，則a∥α.()(3)若直線a?平面α，直線b?平面β，a∥b，則α∥β.()(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線也相互平行．()2．(多選)下列命題中，正確的是()A．平行于同一條直線的兩個平面平行B．平行于同一平面的兩個平面平行C．平行于同一平面的兩直線關系不確定D．兩平面平行，一平面內的直線必平行于另一平面3．(必修第二冊P139T3改編)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，下列四個命題中正確的是()A．若m∥n，n∥α，則m∥αB．若m∥α，n?α，則m∥nC．若α∥β，m?α，則m∥βD．若m∥n，m?α，n?β，則α∥β4.如圖是長方體被一平面截后得到的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為______________.題型一直線與平面平行的判定與性質命題點1直線與平面平行的判定例1如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD,PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E為PC的中點．求證：BE∥平面PAD.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點2直線與平面平行的性質例2如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和PA作平面交BD于點H.求證：PA∥GH.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟蹤訓練1如圖，四邊形ABCD為長方形，PD＝AB＝2，AD＝4，點E，F分別為AD，PC的中點．設平面PDC∩平面PBE＝l.證明：(1)DF∥平面PBE；(2)DF∥l.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二平面與平面平行的判定與性質例3如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1.(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝l，證明：B1D1∥l.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)證明面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理．②利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β)．③利用面面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ)．(2)當已知兩平面平行時，可以得出線面平行，如果要得出線線平行，必須是與第三個平面的交線．跟蹤訓練2如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，過BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合)．(1)求證：BC∥GH；(2)若E，F，G分別是AB，AC，A1B1的中點，求證：平面EFA1∥平面BCHG.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三平行關系的綜合應用例4如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為a的正方形，側棱PA⊥底面ABCD，在側面PBC內，有BE⊥PC于E，且BE＝eq\f(\r(6),3)a，試在AB上找一點F，使EF∥平面PAD.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟蹤訓練3(2023·馬鞍山模擬)如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別是棱DD1，AB的中點．(1)若平面PQC與直線AA1交于點R，求eq\f(AR,A1R)的值；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若M為棱CC1上一點且CM＝λCC1，BM∥平面PQC，求λ的值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

§7.5空間直線、平面的垂直課標要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系.2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質，并會簡單應用．知識梳理1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義一般地，如果直線l與平面α內的__________直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．(2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一條直線與一個平面內的__________垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,,,))?l⊥α性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的________所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角．一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是________；一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角是________．(2)范圍：____________.3．二面角(1)定義：從一條直線出發的____________所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：如圖，在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作____________的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角．(3)二面角的范圍：____________.4．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是____________，就說這兩個平面互相垂直．(2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一個平面過另一個平面的__________，那么這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,))?α⊥β性質定理兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的________，那么這條直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,,))?l⊥α常用結論1．三垂線定理平面內的一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．2．三垂線定理的逆定理平面內的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內的射影垂直．3．兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)若直線l與平面α內的兩條直線都垂直，則l⊥α.()(2)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.()(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面．()(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.()2．(必修第二冊P163習題8.6T3改編)(多選)下列命題中不正確的是()A．如果直線a不垂直于平面α，那么平面α內一定不存在直線垂直于直線aB．如果平面α垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線平行于平面βC．如果直線a垂直于平面α，那么平面α內一定不存在直線平行于直線aD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內所有直線都垂直于平面β3．(2023·石嘴山模擬)如圖，PA是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點(不與A，B重合)，則下列說法錯誤的是()A．PA⊥平面ABCB．BC⊥平面PACC．AC⊥平面PBCD．三棱錐P－ABC的四個面都是直角三角形4．過平面外一點P的斜線段是過這點的垂線段的eq\f(2\r(3),3)倍，則斜線與平面α所成的角是________．題型一直線與平面垂直的判定與性質例1(2024·婁底模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點B1在底面ABC內的射影恰好是點C.(1)若點D是AC的中點，且DA＝DB，證明：AB⊥CC1；(2)已知B1C1＝2，B1C＝2eq\r(3)，求△BCC1的周長．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華證明線面垂直的常用方法及關鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質．(2)證明線面垂直的關鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質．跟蹤訓練1如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1.(1)求證：A1C⊥B1D1；(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二平面與平面垂直的判定與性質例2(2023·全國甲卷)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)設AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1－BB1C1C的高．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟蹤訓練2(2023·邯鄲模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點，求證：(1)PA⊥平面ABCD；(2)平面BEF∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三垂直關系的綜合應用例3如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是底面為正方形的長方體，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，點P是AD1上的動點．(1)試判斷不論點P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并證明你的結論；(2)當P為AD1的中點時，求異面直線AA1與B1P所成角的余弦值；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(3)求PB1與平面AA1D1D所成角的正切值的最大值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________cosθ＝cosθ1·cosθ2的應用已知AO是平面α的斜線，如圖，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，則直線AB是斜線AO在平面α內的射影，設AC是α內的任一過點A的直線，且BC⊥AC，C為垂足，又設AO與直線AB所成的角為θ1，AB與AC所成的角是θ2，AO與AC所成的角為θ，則cosθ＝cosθ1·cosθ2.典例如圖，PA是平面α的斜線，∠BAC在平面α內，且∠BAC＝90°，又∠PAB＝∠PAC＝60°，則PA與平面α所成的角為________．跟蹤訓練3(多選)如圖，兩個共底面的正四棱錐組成一個八面體E－ABCD－F，且該八面體的各棱長均相等，則()A．異面直線AE與BC所成的角為60°B．BD⊥CEC．平面ABF∥平面CDED．直線AE與平面BDE所成的角為60°

§7.6空間向量的概念與運算課標要求1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.2.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能用向量的數量積判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理．知識梳理1．空間向量的有關概念名稱定義空間向量在空間中，具有________和________的量相等向量方向________且模________的向量相反向量長度________而方向________的向量共線向量(或平行向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相________或________的向量共面向量平行于________________的向量2.空間向量的有關定理(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使____________________．(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在________的有序實數對(x，y)，使p＝________________.(3)空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝____________________.{a，b，c}叫做空間的一個基底．3．空間向量的數量積及運算律(1)數量積非零向量a，b的數量積a·b＝____________________.(2)空間向量的坐標表示及其應用設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐標表示數量積a·b共線a＝λb(b≠0，λ∈R)垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)模|a|夾角余弦值cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝_____________4.空間位置關系的向量表示(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合，那么稱此向量a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則稱向量a為平面α的法向量．(3)空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m，l?αl∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m?n·m＝0常用結論1．三點共線：在平面中A，B，C三點共線?eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內任意一點．2．四點共面：在空間中P，A，B，C四點共面?eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)空間中任意兩個非零向量a，b共面．()(2)空間中模相等的兩個向量方向相同或相反．()(3)若A，B，C，D是空間中任意四點，則有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．()(4)若直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則a∥α.()2．(選擇性必修第一冊P12T3改編)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AC與BD的交點為點M，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則下列向量中與eq\o(C1M,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c D．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c3．(選擇性必修第一冊P30例3改編)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，則MN與平面BB1C1C的位置關系是()A．相交 B．平行C．垂直 D．不能確定4．設直線l1，l2的方向向量分別為a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，則m＝________.題型一空間向量的線性運算例1(1)(2023·淮安模擬)設x，y是實數，已知三點A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(x,3，y＋2)在同一條直線上，那么x＋y等于()A．2B．3C．4D．5(2)(2023·淮安模擬)在正四面體ABCD中，F是AC的中點，E是DF的中點，若eq\o(DA,\s\up6(→))＝a，eq\o(DB,\s\up6(→))＝b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(BE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,4)a－b＋eq\f(1,4)c B.eq\f(1,2)a－b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,4)a＋b＋eq\f(1,4)c D.eq\f(1,2)a－b＋c跟蹤訓練1(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)x－2a，則x等于()A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)(2)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點．①化簡eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝________________；②用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，則eq\o(OC1,\s\up6(→))＝________________________________.題型二空間向量基本定理及其應用例2(1)下列命題正確的是()A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面C．若空間向量a，b，c不共面，則a，b，c都不為0D．若a，b，c共面，則存在唯一的實數對(x，y)，使得a＝xb＋yc(2)(多選)下列說法中正確的是()A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件B．若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則AB∥CDC．A，B，C三點不共線，對空間任意一點O，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，則P，A，B，C四點共面D．若P，A，B，C為空間四點，且有eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))＋μeq\o(PC,\s\up6(→))(eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))不共線)，則λ＋μ＝1是A，B，C三點共線的充要條件思維升華應用共線(面)向量定理證明點共線(面)的方法比較三點(P，A，B)共線空間四點(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))跟蹤訓練2(1)已知空間中A，B，C，D四點共面，且其中任意三點均不共線，設P為空間中任意一點，若eq\o(BD,\s\up6(→))＝6eq\o(PA,\s\up6(→))－4eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))，則λ等于()A．2B．－2C．1D．－1(2)(2024·金華模擬)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，且滿足eq\o(DE,\s\up6(→))＝xeq\o(DA,\s\up6(→))＋yeq\o(DC,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(DD1,\s\up6(→))，則|eq\o(DE,\s\up6(→))|的最小值是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2,3)題型三空間向量數量積及其應用例3如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求線段AC1的長；(2)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；(3)求證：AA1⊥BD.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟蹤訓練3(1)(2023·益陽模擬)在正三棱錐P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，則eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))等于()A.eq\f(5,9)B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(4\r(2),3)D.eq\f(8,3)(2)已知點P為棱長等于1的正方體ABCD－A1B1C1D1內部一動點，且|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝1，則eq\o(PC1,\s\up6(→))·eq\o(PD1,\s\up6(→))的值達到最小時，eq\o(PC1,\s\up6(→))與eq\o(PD1,\s\up6(→))夾角的余弦值為________．題型四向量法證明平行、垂直例4如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點．(1)求證：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟蹤訓練4如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，側面PAB是等邊三角形，BC＝2AB，AC＝eq\r(3)AB，PB⊥AC.(1)求證：平面PAB⊥平面ABCD；(2)設Q為側棱PD上一點，四邊形BEQF是過B，Q兩點的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在點Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求eq\f(PQ,QD)的值；若不存在，說明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

§7.7向量法求空間角課標要求1.能用向量法解決異面直線所成角、直線與平面所成角、平面與平面的夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量法在研究空間角問題中的作用.2.弄清折疊問題中的變量與不變量，掌握折疊問題中線面位置關系的判斷和空間角的計算問題．知識梳理1．異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝________________________________________________________________________.2．直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點B，設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝____________.3．平面與平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補角．設平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝____________.常用結論1．異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；直線與平面所成角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；二面角的范圍是[0，π]，兩個平面夾角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).2．若平面α與平面β的夾角為θ1，平面α內的直線l與平面β所成角為θ2，則θ1≥θ2，當l與α和β的交線垂直時，取等號．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角．()(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角．()(3)二面角的平面角為θ，則兩個平面的法向量的夾角也是θ.()(4)二面角α－l－β的平面角與平面α，β的夾角相等．()2．已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，則直線l與平面α所成的角為()A．30°B．60°C．120°D．150°3．已知直線l1的方向向量s1＝(1,0,1)與直線l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，則直線l1和l2所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(2),4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)4．已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面