2025年中考第三次模擬考試（湖北卷）數學·全解全析第Ⅰ卷一、選擇題。（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑。）1．的絕對值是（）。A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了求一個數的絕對值，解題的關鍵是熟練掌握絕對值的意義，根據負數的絕對值是它的相反數進行解答即可．【詳解】解：的絕對值是，故選：A．2．以下是四款常用的人工智能大模型的圖標，其文字上方的圖案是軸對稱圖形的是（）。A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，根據軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就叫做對稱軸．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；B、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；C、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；D、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；故選C．3．在數軸上表示不等式x﹣2≤0的解集，正確的是（）。A．B．C．D．【答案】C【分析】先解不等式，求出解集，然后在數軸上表示出來．【詳解】解：不等式x﹣2≤0，得：，把不等式的解集在數軸上表示出來為：．故選：C【點睛】本題主要考查了解不等式，并在數軸上表示解集，解題的關鍵是熟練掌握解不等式的步驟，不等式的解集在數軸表示時空心圈不包含該點，實心圈包含該點．4．下列運算正確的（

）。A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同底數冪的除法的法則，同底數冪的乘法的法則，冪的乘方與積的乘方的法則對各項進行運算即可．本題主要考查同底數冪的除法，冪的乘方與積的乘方，同底數冪的乘法，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．【詳解】解：A、，故A不符合題意；B、，故B不符合題意；C、，故C不符合題意；D、，故D符合題意；故選：D．5．下列命題是真命題的是（）。A．若且，則B．“煮熟的鴨子飛了”是一個隨機事件C．三角形的內心是它的三條邊的垂直平分線的交點D．任意投擲一枚質地均勻的硬幣26次，出現正面朝上的次數一定是13次【答案】A【分析】根據不等式的性質、隨機事件、三角形的內心以及概率的意義逐一判斷即可．【詳解】A.若且，則，是真命題，符合題意；B.“煮熟的鴨子飛了”是一個不可能事件，是假命題，不符合題意；C.三角形的內心是它的三個內角的角平分線的交點，是假命題，不符合題意；D.任意投擲一枚質地均勻的硬幣26次，出現正面朝上的次數可能是13次，是假命題，不符合題意；故選A．【點睛】本題考查了真假命題，涉及到不等式的性質、隨機事件、三角形的內心以及概率的意義，熟練掌握性質定理和概念是解題的關鍵．6．中國清代算書《御制數理精蘊》中有這樣一題：“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩（‘兩’為我國古代貨幣單位）；馬二匹、牛五頭，共價三十八兩，問馬、牛各價幾何？”設馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據題意可列方程組為（）。A． B．C． D．【答案】B【分析】此題考查了二元一次方程組的應用．設馬每匹x兩，馬四匹、牛六頭，共價四十八兩，牛每頭y兩，馬二匹、牛五頭，共價三十八兩，據此列方程組即可．【詳解】解：設馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據題意可得故選：B7．如圖，，的角平分線的反向延長線和的角平分線交于點，，則（

）。A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質，過點作，則，由平行線的性質結合角平分線的定義可得，，設，，則，，表示出，結合，計算即可得解．【詳解】解：如圖，過點作，，∵，∴，∴，，∵的角平分線的反向延長線和的角平分線交于點，∴，，∴，，設，，∴，，∴，∴，∵，∴由①②可得：，故選：C．8．關于x的二次函數，當時，y隨x的增大而減小，則拋物線的頂點坐標在（

）。A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】本題考查二次函數的性質，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．二次函數的性質：，開口向上，在對稱軸左側圖像y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側圖像y隨x的增大而增大，，開口向下，在對稱軸左側圖像y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側圖像y隨x的增大而減小，根據二次函數的確定頂點坐標，即可判斷本題答案．【詳解】解：∵，∴拋物線對稱軸為直線，頂點坐標為，∵拋物線開口向上，∴時，y隨x的增大而增小，又∵當時，y隨x的增大而增小，∴，故選：D9．如圖所示，是x軸的正半軸上一點，與軸交于、兩點，與軸交于、兩點，，，點是上任意一點，點是的中點，則的最小值為（

）。A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查圓周角，三角形中位線定理，勾股定理，熟練掌握相關性質定理，作出輔助線是解題的關鍵；取中點，連接，，，，由點是的中點，得，由，，得，，進而可得，，，，由勾股定理求得，由，得、、三點共線時，，最小，即可求解．【詳解】解：取中點，連接，，，，∵點是的中點，∴，∵，，，，，，，，∴，，中，，中，，∴、、三點共線時，，最小，此時，故答案為：B10．拋物線與軸交于和兩點，且以下四個結論：①；②；③點在拋物線上，若，，則；④若，則關于的方程有兩個不相等的實數根．其中正確的結論是（）。A．③④ B．①③ C．①③④ D．①②【答案】A【分析】本題考查了二次函數的綜合，不等式的性質，一元二次方程根的判別式，掌握二次函數的對稱軸的求法是解題關鍵．利用拋物線的交點式展開求得c的表達式即可判斷結論①；由拋物線與x軸的兩交點可得對稱軸，再結合對稱軸表達式，根據利用不等式的性質可得a、b關系式；由c的表達式和求得后，便可求得拋物線的對稱軸，然后根據開口方向和函數增減性可判斷結論③；時，將代入拋物線可得c的另一表達式，與c的前一表達式結合利用不等式的性質可得b的取值范圍，進而可得方程的根的判別式的正負；【詳解】解：由拋物線與x軸的交點可得其交點式為：，展開得：，∴，∵，，∴，∴，故①錯誤；由A、B兩點坐標可知拋物線對稱軸為：，∵，∴，∴，∵拋物線的對稱軸為，∴，∵，∴，∴，故②錯誤；若，則，∴，由A、B兩點坐標可知拋物線對稱軸為：，∵，∴拋物線開口向下，∴當時，函數值遞減，∴當時，，故③正確；若，則拋物線為，由點可得：，∴，再由可得，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵方程可化為，∴，∴，∴時，方程有兩個不相等的實數根，故④正確；綜上所述③④正確，故選：A．第Ⅱ卷二、填空題。（本大題共5個小題，每小題3分，共15分。）11．計算：．【答案】【分析】本題主要考查了分式的乘法計算，直接根據分式的乘法計算法則求解即可．【詳解】解：，故答案為；．12．已知點，都在直線上，則，的關系是（填“>”“<”或“＝”）．【答案】>【分析】本題考查一次函數圖像與性質，涉及增減性判定函數值大小知識，由直線確定函數中值隨著的增大而減小，再由點的橫坐標大小即可判斷答案，熟練掌握一次函數增減性確定函數值大小的方法是解決問題的關鍵．【詳解】解：∵直線中，，∴函數中值隨著的增大而減小，∵點都在直線上，且，，故答案為：>．13．現有分別標有漢字“喜”“樂”“安”“寧”的四張卡片，它們除漢字外完全相同，若把四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，然后隨機抽出一張，不放回，再隨機抽出一張，兩次抽出的卡片上的漢字恰好是“安”“寧”的概率是．【答案】【分析】此題考查了用列表法或樹狀圖法求概率，熟練掌握概率所求情況數與總情況數之比是解題關鍵．畫樹狀圖列出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式求解即可．【詳解】解：“喜”“樂”“安”“寧”的四張卡片分別用、、、表示，畫樹狀圖如圖所示：由樹狀圖可知，共有12種等可能的結果，其中兩次抽出的卡片上的漢字恰好是“安”“寧”有2種，兩次抽出的卡片上的漢字恰好是“安”“寧”概率是，故答案為：．14．已知，，則．【答案】7【分析】本題考查分式的求值，根據，，得到，進而求出的值，進而求出的值即可．【詳解】解：∵，，∴，聯立，解得：，∴；故答案為：7．15．如圖，已知正方形的邊長為2，點是邊的中點，將△ADE沿翻折至，延長交邊于點，則：若延長交邊于點，則．【答案】//【分析】連接，易證，設，在中，利用勾股定理列出方程，解方程可得；連接，，設，根據，列式計算即可求解．【詳解】解：連接，如圖，

正方形的邊長為2，，點是中點，，四邊形是正方形，，由折疊可知：，則，，，，在和中，，．，設，則，，在中，，，解得：，∴；連接，∵，，∴，，∵，∴，∴，設，∴，，∵，∴，即，解得，即，∴，故答案為：；．【點睛】本題主要考查了翻折變換，解直角三角形，三角形的全等的判定與性質，正方形的性質，勾股定理．利用翻折變換是全等變換是解題的關鍵．三、解答題。（本題共9小題，共75分。其中：16-18每題6分，19-21每題8分，22題10分，23題11分，24題12分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）16．（6分）計算(1)(2)化簡：．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了實數的運算，分式的運算，解題的關鍵是∶（1）根據零指數冪的意義，負整數指數冪的意義，特殊角的三角函數值計算即可；（2）先計算括號內，然后把除法轉換為乘法，最后約分即可．【詳解】（1）解：；(3分)（2）解：．(6分)

17．（6分）如圖，在△ABC中，，點，在邊上，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握相關知識．由，可得，證明，根據全等三角形的性質即可得證．【詳解】證明：，，，(1分)在和中，，(4分)，(5分)．(6分)（6分）近年來，我國兒童青少年近視呈現高發、低齡化、重度化的趨勢，近視防控形勢嚴峻．2025年3月是第10個全國近視防控宣傳教育月，本次活動的主題是“抓早抓小抓關鍵，更快降低近視率”．某校舉行了近視防控知識講座，并在講座后在全校范圍內進行了滿分為10分（成績均為整數，滿分：10分，單位：分）的“近視防控知識測評”，為了了解學生的測評情況，校團委進行了抽樣調查，過程如下：【收集數據】隨機抽取50名學生的知識測評成績（單位：分）如下：10，9，9，6，8，9，6，9，7，9，6，7，8，9，10，10，8，6，8，6，8，7，7，10，9，7，8，6，10，7，9，10，9，10，7，10，6，8，7，8，9，9，10，8，8，6，7，8，9，10【整理分析】校團委整理了這組數據，并繪制成了如下兩幅不完整的條形統計圖和扇形統計圖：請根據上述信息，解答下列問題：(1)扇形統計圖中7分所在扇形圓心角的度數為______°，此次所抽取學生成績的中位數為______分，眾數為______分；(2)求此次所抽取學生的平均成績；(3)若該校共有1000名學生，估計此次測評成績能達到“10分”的學生人數．【答案】(1)64.8，8，9(2)此次所抽取學生的平均成績為分(3)估計此次測評成績能達到“10分”的學生人數為200名【分析】本題考查了條形統計圖，扇形統計圖，圓心角，眾數，中位數，加權平均數，用樣本估計總體．從統計圖中獲取正確的信息是解題的關鍵．（1）先用計算出成績為7分人數所占的百分比，然后用乘以成績為7分人數所占的百分比，根據眾數和中位數的求法計算即可；（2）根據加權平均數公式計算即可；（3）用1000乘以樣本中成績達到“10分”的學生對應百分比即可．【詳解】（1）解：，，∴扇形統計圖中7分所在扇形圓心角的度數為，條形統計圖中7分的人數為名，∵，，∴所抽取學生成績的中位數為第25和26名成績的平均數，即為分，∵9分的人數最多，∴所抽取學生成績的眾數為9分，故答案為：64.8；8；9；(3分)（2）解：，∴此次所抽取學生的平均成績為分；(5分)（3）解：，∴估計此次測評成績能達到“10分”的學生人數為200名．(6分)（8分）為了響應我市政府發布的《城市污水處理提質三年行動方案》，環保部門委托我縣某治污公司購買18臺污水處理設備．現有A、B兩種型號的設備，其中每臺的價格、月處理污水量如表．經調查：購買一臺A型設備比購買一臺B型設備多4萬元，購買一臺A型設備和一臺B型設備共用20萬元．污水處理設備型號A型B型價格（萬元/臺）mn處理污水量（噸/月）300250(1)求m、n的值．(2)經我縣審計局預算：該治污公司購買污水處理設備的資金不得超過156萬元，若每月要求處理污水量不低于4600噸，為了節約資金，請你為治污公司設計一種最省錢的購買方案并求出該方案的購買資金．【答案】(1)(2)應購買A型設備2臺，B型設備16臺，購買資金為萬元【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，一元一次方程組的實際應用，正確理解題意列出方程組和不等式組是解題的關鍵．（1）根據購買一臺A型設備比購買一臺B型設備多4萬元，購買一臺A型設備和一臺B型設備共用20萬元列出方程組求解即可；（2）設購買A型設備x臺，則購買B型設備臺．根據購買污水處理設備的資金不得超過156萬元，若每月要求處理污水量不低于4600噸列出不等式組求出x的值，再討論不同x的值下的費用即可得到結論．【詳解】（1）解；根據題意得，解得：；(3分)（2）解：設購買A型設備x臺，則購買B型設備臺．由題意得，，解得：，(6分)∵x取非負整數，或，當時，購買資金為（萬元）當時，購買資金為（萬元）∴為了結約資金，應購買A型設備2臺，B型設備16臺．(8分)（8分）【綜合實踐】如圖所示，是《天工開物》中記載的三千多年前中國古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠桿原理：阻力阻力臂動力×動力臂.如圖1，即）.受桔槔的啟發，小杰組裝了如圖所示的裝置；其中，杠桿可繞支點在豎直平面內轉動，支點距左端，距右端，在杠桿左端懸掛重力為的物體．1020304050……82…(1)若在杠桿右端掛重物，杠桿在水平位置平衡時，重物所受拉力為____________；(2)為了讓裝置有更多的使用空間，小杰準備調整裝置，當重物的質量變化時，的長度隨之變化．設重物的質量為，的長度為．則：①關于的函數解析式是________________．②完成表格：______________；________________．③在圖2的直角坐標系中畫出該函數的圖象．(3)在（2）的條件下，若點的坐標為，點的坐標為，在（2）中所求函數的圖象上存在點，使得，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標．【答案】(1)(2)①；②，；③見解析(3)或【分析】本題考查反比例函數的應用，理解題意，求得函數的解析式是解答的關鍵．（1）根據題意，直接根據求解即可；（2）①由公式可得關于的函數解析式；②將和代入①中解析式中求解即可；③根據表格數據進行描點、連線即可畫出圖象；（3）由題意，設，利用坐標與圖形性質得，進而由解方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，，，，∴，∴重物所受拉力為，故答案為：；(1分)（2）解：①由得，則，∴關于的函數解析式為；(3分)②當時，；當時，；故答案為：；(5分)③列表：1020304050……842…描點，連線，可得該函數的圖象：(6分)（3）解：如圖，由題意，設，∵點的坐標為，點的坐標為，∴,由得，解得，，經檢驗，和是所列方程的解，當時，，當時，，∴點C的坐標為或．(8分)（8分）如圖，在中，，，以為直徑的交于點，是上一點，．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長度．【答案】(1)見解析；(2)4【分析】（1）連接，設交于，由是直徑，，由三角形的外角，可知，，得到，結合半徑相等以及同弧所對的圓周角相等，可知，，，從而得到，即，得證；（2）連接，，設交于，先證明，得到，結合等腰三角形三線合一，，，接著利用勾股定理，求得，利用算得，最后求得．【詳解】（1）證明：連接，設交于，如圖所示：和所對的弧都是，和都是圓周角，，，，是直徑，，，，，，，，又和所對的弧都是，和都是圓周角，，，即，是的切線；(4分)（2）解：連接，，設交于，如圖所示：

，，，，，，，在中，，，，，，，，．(8分)【點睛】本題考查了切線的證明，直徑所對的圓周角等于90度，三角形外角的定義，同弧所對的圓周角相等，全等三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一，三角形的面積求解，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．（10分）某單位汽車停車棚如圖所示，棚頂的橫截面可以看作是拋物線的一部分，其中點為棚頂外沿，為斜拉桿．棚頂的豎直高度（單位：）與距離停車棚支柱的水平距離（單位：）近似滿足函數關系，其圖象如圖所示，且點和點在圖象上．(1)求二次函數的表達式；(2)某個數學興趣小組研究一輛校車能否在按如圖2所示的停車棚下避雨，他們將校車截面看作長，高的矩形．通過計算，發現校車不能完全停到車棚內，請你幫助興趣小組通過計算說明理由．(3)小俊提出，若要使（2）中的校車能完全停到車棚內，且為了安全，需要保證點與頂棚的豎直距離至少為米，現需要將頂棚整體沿支柱（支柱可加長）向上至少提升米，求的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】本題考查了二次函數的應用，正確理解題意是解題的關鍵．（1）將點和點代入，待定系數法求解析式，即可求解；（2）根據題意，當時，，即可求解；（3）根據（2）的結論以及題意可得在上，代入，即可求解．【詳解】（1）解：將點和點代入得解得：∴(3分)（2），，，在中，當時，，，校車不能完全停到車棚內，(6分)（3）解：依題意，設當時，將代入得∴(10分)（11分）在平行四邊形中，點，分別在邊，上．【嘗試初探】（1）如圖1，若平行四邊形是正方形，為的中點，，求的值；【深入探究】（2）如圖2，，，，求的值；【拓展延伸】（3）如圖3，與交于點，，，，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）證明，由為中點得到，則，得到，，即可得到答案；（2）過點作于點，過點作交延長線于點，連，，證明都是等腰直角三角形，則，證明，即可得到答案；（3）延長，交于點點，過點作于，過點作交延長線于，利用解直角三角形和相似三角形的判定和性質進行證明即可．【詳解】（1）∵四邊形為正方形∴∴∵∴∴∵為中點∴，∴∴∴∴(3分)（2）過點作于點，過點作交延長線于點，連，，則，∵∴∴，∵，∴∴∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，是等腰直角三角形，∴，∴∴為等腰直角三角形∴∴∵，∴，∴為等腰直角三角形∴∵，∴，∵都是等腰直角三角形，∴，∴∴(7分)（3）延長，交于點點，過點作于，過點作交延長線于，不妨設，則，由，得由∴，∴，∵∴∴，∴∴，∵∴，相似比為∴∵∴∴(11分)【點睛】此題考查了正方形的性質、平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質、解直角三