考點九統計與概率——中考二輪復習高頻考點突破考點分析考點考點形式考試頻率數據的收集與整理數據的收集與整理☆數據的分析平均數、中位數、眾數和方差☆☆☆統計圖（表）的應用統計圖（表）的應用☆☆☆事件與概率事件的分類☆頻率與概率☆概率的計算概率的計算☆☆☆統計與概率的綜合統計與概率的綜合☆☆☆基礎知識講解一：數據的收集與整理1.全面調查與抽樣調查全面調查抽樣調查定義考查全體對象的調查叫做全面調查只抽取一部分對象進行調查，然后根據調查數據推斷全體對象的情況，這種方法稱為抽樣調查方法問卷調查、訪問調查、電話調查等（1）簡單隨機抽樣；（2）分層抽樣適用范圍當調查范圍小、調查不具有破壞性、數據要求準確全面時，一般采用全面調查當調查對象涉及面大、范圍廣，受條件限制或具有破壞性時，一般采用抽樣調查優點（1）結果準確；（2）能全面了解數據（1）調查范圍小；（2）節省時間、人力、物力；（3）受限制少缺點（1）調查范圍廣，工作量大；（2）受客觀條件限制（1）結果不如全面調查準確；（2）不能全面了解數據2.總體、個體、樣本與樣本容量概念總體所考察對象的全體個體組成總體的每一個考察對象樣本從總體中所抽取的一部分個體樣本容量樣本中個體的數目講解二：數據的分析1.算術平均數算術平均數：一般地，如果有個數，那么我們把叫做這個數的算術平均數，簡稱平均數，記作，則.平均數的大小與所給數據里的每個數據都有關，其中任何一個數據的變動都會引起平均數的變動.【重點】平均數的性質若一組數據的平均數為，則（1）數據的平均數為；（2）數據的平均數為；（3）數據的平均數為.2.加權平均數（1）一般地，若個數的權分別是，則叫做這個數的加權平均數.（2）在求個數的平均數時，如果出現次，出現次，···，出現次（這里），那么這個數的平均數也叫做這個數的加權平均數，其中分別叫做的權.3.中位數將一組數據按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則稱處于中間位置的數為這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則稱中間兩個數據的平均數為這組數據的中位數.4.眾數一組數據中出現次數最多的數據稱為這組數據的眾數.眾數可能是一個或多個.在一組數據中，當出現次數最多的數據只有一個時，這組數據的眾數只有一個；當出現次數最多的數據不止一個時，這組數據的眾數就有多個；當每個數據出現的次數相同時，這組數據就沒有研究眾數的必要了.5.方差（1）方差的概念：設有個數據，各數據與它們的平均數的差的平方分別是，我們用這些值的平均數來衡量這組數據波動性的大小，并把它叫做這組數據的方差，記作.（2）方差的計算公式：若個數據的平均數為，則方差.（3）求方差的一般步驟：①求原始數據的平均數；②求原始數據中各數據與平均數的差；③將所得的差分別平方；④求③中所得數據的平均數.（4）方差的意義：方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動越小.講解三：統計圖表的應用1.條形圖、扇形圖、折線圖的對比統計圖相關概念優點圖示扇形統計圖各組百分比之和為1；各組所在扇形的圓心角的度數=各組所占百分比×360°可以直觀地反映部分占總體的百分比大小，一般不表示具體的數量條形統計圖各組數量之和=樣本容量未知組數量=樣本容量已知組數量之和能清楚地表示每個項目的具體數目及反映事物某一階段屬性的大小變化；易于比較數據之間的差別折線統計圖各組頻數之和=樣本容量能清楚地反映同一事物在不同時期的變化情況2.頻數分布直方圖畫頻數分布直方圖的基本步驟如下：（1）計算最大值與最小值的差，確定數據值的變化范圍；（2）決定組距和組數，當數據在100個以內時，按照數據的多少，常分成5~12組；（3）列頻數分布表；（4）畫頻數分布直方圖.講解四：概率1.確定性事件與隨機事件事件類型定義確定性事件必然事件在一定條件下，必然會發生的事件，稱為必然事件.不可能事件在一定條件下，必然不會發生的事件，稱為不可能事件.隨機事件（不確定性事件）在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，稱為隨機事件.【注意】一般地，判斷事件的類型是在一定條件下進行的，不同的條件可能會導致不同的事件歸類，如標準大氣壓下，水加熱到100℃沸騰是必然事件，但當氣壓高于標準大氣壓時，水的沸點提高，水加熱到100℃沸騰就不是必然事件了.2.概率（1）概率：一般地，對于一個隨機事件，我們把刻畫其發生可能性大小的數值，稱為隨機事件發生的概率，記為.（2）概率的計算：一般地，如果在一次試驗中，有種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件包含其中的種結果，那么事件發生的概率.（3）概率的取值范圍：①當為必然事件時，；②當為隨機事件時，；③當為不可能事件時，.3.用直接列舉法（枚舉法）求概率當事件涉及的對象比較單一且出現的等可能結果數目較少時，就可以直接列舉出所有等可能的結果，再利用概率公式（在一次試驗中，有種等可能的結果，事件包含其中的種結果）求事件發生的概率.4.用列表法求概率列表法就是用表格的形式反映事件發生的各種結果出現的次數和方式，以及某一事件發生的可能的次數和方式，并求出概率的方法.適用條件：當一次試驗涉及兩個因素，并且可能出現的等可能結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，常采用列表法.【注意】在運用列表法分析隨機事件發生的概率時，注意行與列的意義及行、列中量的區別，如與表示不同的結果.5.用畫樹狀圖法求概率畫樹狀圖法是用樹狀圖的形式反映事件發生的各種結果出現的次數和方式，以及某一事件發生的可能的次數和方式，并求出概率的方法.適用條件：當一次試驗涉及兩個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有等可能的結果，通常采用畫樹狀圖法.【重點】（1）用列舉法求事件的概率包括直接列舉法、列表法和畫樹狀圖法，用列舉法求概率時，各種結果出現的可能性必須相同，必須列舉出所有可能的結果，不能重復也不能遺漏.（2）當試驗包括兩步時，用列表法比較方便，當然此時也可以用畫樹狀圖法；當試驗包含三步或三步以上時，不能用列表法，用畫樹狀圖法比較方便.（3）樹狀圖中，從左到右（或從上往下），每一條路徑都表示一種可能的結果，并且每種結果出現的可能性相同.6.利用頻率估計概率用頻率估計概率：從長期實踐中，人們觀察到對一般的隨機事件，在做大量重復試驗時，隨著試驗次數的增加，一個事件發生的概率，總在一個固定數的附近擺動，顯示出一定的穩定性.因此，我們可以通過大量的重復試驗，用一個隨機事件發生的頻率去估計它的概率.計算方法：一般地，在大量重復試驗中，如果事件發生的頻率穩定于某個常數，那么估計事件發生的概率.考點突破1.每年4月23日是“世界讀書日”,為了解某校八年級500名學生對“世界讀書日”的知曉情況,從中隨機抽取了50名學生進行調查.在這次調查中,樣本是()A.500名學生B.所抽取的50名學生對“世界讀書日”的知曉情況C.50名學生D.每一名學生對“世界讀書日”的知曉情況2.2023年12月,年度十大最“清新”城市出爐.這十個城市的全年空氣質量優級日數分別為：337,329,317,314,292,290,287,284,279,277,則這組數據的中位數是()A.290 B.291 C.292 D.300.63.在如圖四個圖形中隨機抽取一個,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率為()A.1 B. C. D.4.下列說法正確的是()A.一組數據2,3,3,4,5,6的眾數和中位數都是3B.“打開電視機,正在播放足球賽”是必然事件C.了解貴州省中學生觀看電影《哪吒2》的情況適合采用普查(全面調查)D.甲組數據的方差,乙組數據的方差,則乙組數據比甲組數據穩定5.如圖①所示，平整的地面上有一個不規則圖案（圖中陰影部分），為了解該圖案的面積是多少，小麗采取了以下辦法：用一個面積為的長方形，將不規則圖案圍起來，然后在適當位置隨機地朝長方形區域扔小球，并記錄小球落在不規則圖案上的次數（球扔在界線上或長方形區域外不計試驗結果），他將若干次有效試驗的結果繪制成了如圖②所示的統計圖，由此估計不規則圖案的面積大約為()A. B. C. D.6.為了解全班同學對新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲五類節目的喜愛情況，班主任對全班50名同學進行了問卷調查（每名同學只選其中的一類），依據50份問卷調查結果繪制了全班同學喜愛節目情況扇形統計圖（如圖所示）.下列說法正確的是()A.班主任采用的是抽樣調查 B.喜愛動畫節目的同學最多C.喜愛戲曲節目的同學有6名 D.“體育”對應扇形的圓心角為7.為保護人類賴以生存的生態環境,我國將每年的3月日定為中國植樹節.在植樹節當天,某校組織各班級進行植樹活動,事后統計了各班級種植樹木的數量,繪制成如下頻數分布直方圖(每組含前一個數值,不含后一個數值)：根據統計結果,下列說法正確的是()A.共有個班級參加植樹活動 B.頻數分布直方圖的組距為C.有的班級種植樹木的數量多于棵 D.有3個班級都種了棵樹8.某次射擊比賽中，甲隊員的成績如圖所示，根據圖中的數據，下列結論中錯誤的是()A.這組成績的最高成績是9.4環 B.這組成績的平均成績是9環C.這組成績的眾數是9環 D.這組成績的方差是8.79.年全國兩會上,政府工作報告強調：加強青少年科學健身普及和健康干預,讓年輕一代在運動中強意志、健身心.某校開設了“一人一球”體育拓展課程,學生可根據自己的喜好選擇一門球類項目(A：籃球；B：足球；C：排球；D：羽毛球；E：乒乓球),某興趣小組隨機對該校部分學生的選擇情況進行調查,將收集的數據整理并繪制成如下兩幅統計圖,下列說法錯誤的是()A.此次調查中,選擇排球項目的學生人數最多B.此次調查的學生總數是人C.扇形統計圖中,B項目所對應的扇形圓心角的度數是D.若該校共有學生人,則該校選擇籃球項目的學生大約有人10.如圖，某小區地下車庫示意圖，A，B為入口，C，D，E，F為出口，李師傅從任意一個入口進入，隨機選一個出口駛出，則李師傅恰好從A口進入，并從C口駛出的概率為()A. B. C. D.11.下表是小明參加科技創新比賽的得分表(百分制),則小明的綜合成績是______分.姓名小明綜合成績☆項目理論知識創新設計現場展示得分858890權重12.在某次公益活動中,小亮對本年級同學的捐款情況進行了調查統計,發現捐款數只有10元、20元、50元和100元四種情況,并初步繪制成不完整的條形圖(如圖).其中捐100元的人數占本年級捐款總人數的,那么本次捐款的中位數是______元.13.為了解某地區九年級男生的身高情況,隨機抽取了該地區100名九年級男生,他們的身高統計如下：組別人數5根據以上結果,抽查該地區一名九年級男生,估計他的身高不低于的概率是______.14.嘉嘉在計算一組數據的方差時,列出的算式為：,請分析算式中的信息,判斷這組數據的眾數為__________.15.在創建“文明校園”的活動中,班級決定從四名同學(兩名男生,兩名女生)中隨機抽取兩名同學擔任本周的值周長,那么抽取的兩名同學恰好是一名男生和一名女生的概率是______.16.“四大發明”是指中國古代對世界具有很大影響的四種發明，它是中國古代勞動人民的重要創造，具體指A.指南針、B.造紙術、C.火藥、D.印刷術四項發明，如圖是小強同學收集的中國古代四大發明的不透明卡片，四張卡片除內容外其余完全相同，將這四張卡片背面朝上洗勻放好.(1)小強從這四張卡片中隨機抽取一張后將卡片洗勻，小剛再從剩下的三張卡片中隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求兩人抽到的卡片恰好是“指南針”和“造紙術”的概率.(2)小強和小剛玩游戲，在(1)的規則上，若兩人抽到的卡片有指南針，則小強勝，否則小剛勝，請判斷上述游戲是否公平，并說明理由.17.作為《黑神話?悟空》的創意來源之一,山西古建筑隨著游戲的火爆收獲無數關注,吸引大量游客前來旅游打卡,小軍和小勇準備到山西旅游打卡,他們選了四處影點.門票價格分別為30元、50元、60元、100元,他們決定用轉盤游戲決定地點.如圖是一個可以自由轉動的轉盤,指針固定不動,轉盤被分成了大小相同的4個扇形,并在每個扇形區域分別標上30元、50元、60元、100元.(當指針落在邊界線上時,重新轉動一次,直到指針指向某一區域內為止)(1)若轉動轉盤一次,則指針落在30元區域的概率為______.(2)小軍和小勇每人轉動轉盤一次,當轉盤停止時,記下各自指針所指區域內對應的金額,請用畫樹狀圖或列表法求兩次所得金額之和小于100元的概率.18.甲、乙兩名隊員參加射擊訓練，甲隊員10次的成績（單位：環）分別是：7，6，4，8，3，8，7，8，10，9；乙隊員10次的成績被制成如下的統計圖；根據甲、乙的信息，整理數據制成如下表格：

甲、乙隊員射擊訓練成績分析表平均數/環中位數/環眾數/環方差甲7b8c乙a771.2(1)表格中______，____，_____；(2)分別運用表中的四個統計量，簡要分析這兩名隊員的射擊訓練成績.若選派其中一名參賽，你認為應選哪名隊員？19.某學校開展了“校園科技節”活動，活動包含創意設計比賽、科技競賽兩個項目，為了解學生的創意設計水平，從全校學生的創意設計比賽成績中隨機抽取部分學生的創意設計比賽成績（成績為百分制，用x表示），并將其分成如下四組：，，，.下面給出了部分信息：的成績為：71，71，72，72，73，73，74，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，79.根據以上信息解決下列問題：(1)請補全頻數分布直方圖；(2)所抽取學生的創意設計比賽成績的中位數是______分；(3)請估計全校1500名學生的創意設計比賽成績不低于80分的人數；(4)根據活動要求，學校將創意設計比賽成績、科技競賽成績按的比例確定這次活動各人的綜合成績.某班甲、乙兩位學生的創意設計比賽成績與科技競賽成績（單位：分）如下：創意設計比賽科技競賽甲的成績9590乙的成績9295通過計算，甲、乙哪位學生的綜合成績更高？20.某超市計劃在9月份按月訂購西瓜,今天的進貨量相同.根據往年的銷售經驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關.為了確定今后九月份的西瓜訂購計劃,對前三年此地九月份的最高氣溫及西瓜需求量數據進行了整理、描述和分析,下面給出了部分信息.a.西瓜每天需求量與當天最高氣溫關系如表：最高氣溫t(單位：℃)西瓜需求量(單位：個/天)300400500600b.2017年9月最高氣溫數據的頻數分布統計表如表：分組頻數頻率3nm0.30110.23合計301.00c.2018年9月最高氣溫數據的頻數分布直方圖如圖：d.2019年9月最高氣溫數據如下(未按日期排序)：25,26,28,29,29,30,31,31,31,32,32,32,32,32,3333,33,33,33,33,34,34,34,35,35,35,35,36,36,36根據以上信息,回答下列問題：(1)m的值為_____,n的值為_____(保留兩位小數)；(2)2018年9月最高氣溫數據的平均數可能是_____；A. B. C.(3)2019年9月最高氣溫數據的眾數為_______,中位數為______；(4)已知該西瓜進貨成本每個10元,售價每個16元,未售出的西瓜降價處理,以每個6元的價格當天全部處理完.假設每年九月每天的最高溫度,均在之間.按照需求量,超市每天的西瓜進貨量在之間①2019年9月該西瓜每天的進貨量為500個,則此月該西瓜的利潤為____元；②已知超市2019年9月西瓜的日進貨量為552個.考慮到現實因素,超市決定今年少進一些西瓜.假設2020年9月的最高氣溫數據與2019年9月完全相同,今年9月西瓜的利潤可能和去年保持一樣嗎？如果可能,直接寫出今年的日進貨量；如果不可能,說明理由.

答案以及解析1.答案：B解析：樣本是所抽取的50名學生對“世界讀書日”的知曉情況.故選：B.2.答案：B解析：這組數據按照從大到小的順序排列為：337,329,317,314,292,290,287,284,279,277,∴中位數是.故選：B.3.答案：C解析：∵第二個、第三個、第四個圖形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形,∴既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率為.故選：C.4.答案：D解析：A.一組數據2,3,3,4,5,6的眾數是3,中位數是,故該選項錯誤,不符合題意；B.“打開電視機,正在播放足球賽”是隨機事件,故該選項錯誤,不符合題意；C.了解貴州省中學生觀看電影《哪吒2》的情況適合采用抽樣調查,故該選項錯誤,不符合題意；D.由,所以乙組數據比甲組數據穩定,故該選項正確,符合題意.故選：D.5.答案：B解析：假設不規則圖案面積為，由已知得：長方形面積為，根據幾何概率公式小球落在不規則圖案的概率為：，故由折線圖可知，小球落在不規則圖案的概率大約為0.35，綜上有：，解得：，所以估計不規則圖案的面積大約為.故選：B.6.答案：D解析：全班共50名學生，班主任制作了50份問卷調查，所以班主任采用的是全面調查，故A選項錯誤；喜愛娛樂節目的同學所占的百分比最多，因此喜愛娛樂節目的同學最多，故B選項錯誤；喜愛戲曲節目的同學有名，故C選項錯誤；“體育”對應扇形的圓心角為，故D選項正確.故選：D.7.答案：A解析：A.共有個班級參加植樹活動,故本選項正確；B.頻數分布直方圖的組距為5,故本選項錯誤；C.有的班級種植樹木的數量少于35棵,故本選項錯誤；D.有3個班級都種了棵樹,故本選項錯誤；故選：A.8.答案：D解析：由題意可知，最高成績是9.4環，故選項A不合題意；這組成績的平均成績是，故選項B不合題意；這10次成績中出現次數最多的是9，因此這組成績的眾數是9環，故選項C不合題意；這組成績的方差是：，故選項D符合題意.故選：D.9.答案：C解析：由扇形統計圖可知C：排球項目占的百分比最多,為,故此次調查中,選擇排球項目的學生人數最多,故選項A正確；由B項目人數為4人,所占總體的百分比為,則此次調查的學生總數是(人),故選項B正確；扇形統計圖中,B項目所對應的扇形圓心角的度數是,故選項C錯誤；若該校共有學生人,則該校選擇籃球項目的學生大約有(人),故選項D正確；故選：C.10.答案：C解析：根據題意可畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知所有可能的結果有8種，李師傅恰好從A口進入，并從C口駛出的結果有1種，則李師傅恰好從A口進入，并從C口駛出的概率為.故選：C.11.答案：88解析：小明的綜合成績是分,故答案為：88.12.答案：20解析：捐款的總人數為人,把捐款數按從小到大的順序排列,第30個和第31個數都是20,∴中位數為元.故答案為：2013.答案：解析：∵抽取了名九年級男生中有名男生身高不低于,∴抽查該地區一名九年級男生,估計他的身高不低于的概率是；故答案是：.14.答案：5解析：根據題意得,所以這組數據是：5,5,5,5,7,7,8,8,8,9,所以這組數據的眾數為是：5.故答案為：5.15.答案：解析：設兩名男生分別記為A,B,兩名女生分別記為C,D,畫樹狀圖如下：共有種等可能的結果,其中抽取的兩名同學恰好是一名男生和一名女生的結果有8種,抽取的兩名同學恰好是一名男生和一名女生的概率為.故答案為：.16.答案：(1)(2)公平，見解析解析：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中兩人抽到的卡片恰好是“A.指南針”和“B.造紙術”的結果有2種，兩人抽到的卡片恰好是“指南針”和“造紙術”的概率為.故答案為：(2)解：上述游戲公平，理由如下：兩人抽到的卡片有指南針的結果數有種，∴小強勝的概率為小剛勝概率為∴上述游戲公平17.答案：(1)(2)解析：(1)∵轉盤被分成了大小相同的4個扇形,∴若轉動轉盤一次,則指針落在30元區域的概率為：,故答案為：；(2)畫出樹狀圖如下：30元50元60元100元30元60元80元90元130元50元80元100元110元150元60元90元110元120元160元100元130元150元160元200元共有16種機