數學試題

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合要求的．

1.下列實數中，最小的數是（）

A.1B.0C.2D.2

2.中國古算詩詞歌賦較多．古算詩詞題，是反映數學數量關系的內在聯系及其規律的一種文學浪漫形式．下

列分別是古算詩詞題“圓中方形”“方形圓徑”“圓材藏壁”“勾股容圓”所描繪的圖形，其中既不是軸

對稱圖形也不是中心對稱圖形的是（）

A.B.C.D.

3.若x1在實數范圍內有意義，則實數x的值可以是（）

A.2B.1C.0D.2

4.福建博物院收藏著一件“鎮館之寶”——云紋青銅大繞，如圖1．云紋青銅大繞是西周樂器，鼓飾變形

獸面紋，兩側飾云雷紋，渾大厚重，作風穩重古樸，代表了福建古代青銅文化曾經的歷史和輝煌．圖2為

其示意圖，它的主視圖是（）

A.B.C.D.

1

5.不等式x12的解集在數軸上表示正確的是（）

2

A.B.

C.D.

6.在分別寫有1，1，2的三張卡片中，不放回地隨機抽取兩張，這兩張卡片上的數恰好互為相反數的概

率是（）

1

1112

A.B.C.D.

4323

7.某數學興趣小組為探究平行線的有關性質，用一副三角尺按如圖所示的方式擺放，其中點A，E，C，F

在同一條直線上，BACEDF90,B45,DEF60．當AD∥BC時，ADE的大小為

（）

A.5B.15C.25D.35

8.為加強勞動教育，增加學生實踐機會，某校擬用總長為5米的籬笆，在兩邊都足夠長的直角圍墻的一角，

圍出一塊6平方米的矩形菜地作為實踐基地，如圖所示．設矩形的一邊長為x米，根據題意可列方程（）

2

A.5x26B.51x6C.x(5x)6D.5(1x)26

9.如圖，PA與O相切于點A，PO的延長線交O于點C．AB∥PC，且交O于點B．若P30，

則BCP的大小為（）

A.30B.45C.60D.75

2

10.已知點A2,y1,B1,y2在拋物線y3xbx1上，若3b，則下列判斷正確的是（）

A.1y1y2B.y11y2C.1y2y1D.y21y1

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．

11.為響應“體重管理年”有關倡議，小敏對自己的體重進行了跟蹤統計．為方便記錄，他將體重增加1.5kg

2

記作+1.5，那么體重減少1kg應記作_______．

12.某房梁如圖所示，立柱ADBC，E，F分別是斜梁AB，AC的中點．若ABAC8m，則DE的

長為_______m．

k

13.若反比例函數y的圖象過點(2,1)，則常數k_______．

x

14.如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，EF過點O且與邊AB，CD分別相交于點E，F．若

OA2,OD1，則△AOE與DOF的面積之和為_______．

15.某公司為選拔英語翻譯員，舉行聽、說、讀、寫綜合測試，其中聽、說、讀、寫各項成績（百分制）按

4:3:2:1的比例計算最終成績．參與選拔的甲、乙兩位員工的聽、說、讀、寫各項測試成績及最終成績如

下表：

項目

聽說讀寫最終成績

員工

甲A70809082

乙B90807082

由以上信息，可以判斷A，B的大小關系是A_______B．（填“>”“=”或“<”）

16.彈簧秤是根據胡克定律并利用物體的重力來測量物體質量的．胡克定律為：在彈性限度內，彈簧彈力F

的大小與彈簧伸長（或壓縮）的長度x成正比，即Fkx，其中k為常數，是彈簧的勁度系數；質量為m

的物體重力為mg，其中g為常數．如圖，一把彈簧秤在不掛任何物體時彈簧的長度為6厘米．在其彈性限

度內：當所掛物體的質量為0.5千克時，彈簧長度為6.5厘米，那么，當彈簧長度為6.8厘米時，所掛物體

的質量為_______千克．

3

三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17.計算：20|12|8

18.如圖，點E，F分別在AB,AD的延長線上，CBECDF,ACBACD．求證：ABAD．

1aa22a1

19.先化簡，再求值：2，其中a51．

aa

20.甲、乙兩人是新華高級中學數學興趣小組成員．以下是他們在參加高中數學聯賽預備隊員集訓期間的測

試成績及當地近五年高中數學聯賽的相關信息．

信息一：甲、乙兩人集訓期間的測試成績（單位：分）

日期2月2月3月3月3月4月4月4月5月5月

隊員10日21日5日14日25日7日17日27日8日20日

甲75807381908385929596

乙82838682928387868485

22

其中，甲、乙成績的平均數分別是x甲85,x乙85；方差分別是s甲58.4，s乙a．

信息二：當地近五年高中數學聯賽獲獎分數線（單位：分）

年份20202021202220232024

獲獎分數線9089908990

試根據以上信息及你所學的統計學知識，解決以下問題：

4

（1）計算a的值，并根據平均數與方差對甲、乙的成績進行評價；

（2）計算當地近五年高中數學聯賽獲獎分數線的平均數，并說明：若要從中選擇一人參加高中數學聯賽，

選誰更合適；

（3）若要從中選擇一人參加進一步的培養，從發展潛能的角度考慮，你認為選誰更合適？為什么？

21.如圖，VABC是等邊三角形，D是AB的中點，CEBC，垂足為C，EF是由CD沿CE方向平移

得到的．已知EF過點A，BE交CD于點G．

（1）求DCE的大小；

（2）求證：CEG是等邊三角形．

22.如圖，矩形ABCD中，ABAD．

（1）求作正方形EFGH，使得點E，G分別落在邊AD,BC上，點F，H落在BD上；（要求：尺規作圖，

不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）若AB2,AD4，求（1）中所作的正方形的邊長．

23.在平面直角坐標系中，二次函數yax2bx2的圖象過點A(1,t),B(2,t)．

b

（1）求的值；

a

3

（2）已知二次函數yax2bx2的最大值為1a2．

4

①求該二次函數的表達式；

2

x11x22

②若Mx1,m,Nx2,m為該二次函數圖象上的不同兩點，且m0，求證：．

mx12

24.閱讀材料，回答問題．

主兩個正數的積與商的位數探究

5

題

提小明是一位愛思考的小學生．一次，在完成多位數的乘法時，他根據算式

出

“46292;3521735;663117293，猜想：m位的

問

正整數與n位的正整數的乘積是一個(mn1)位的正整數．

題

分

析

問題1小明的猜想是否正確？若正確，請給予證明；否則，請舉出反例

探

究

小明的猜想激發了初中生小華的探究熱情．為了使問題的研究推廣到有理數的乘

法，進而遷移到對除法的研究，小華將數的“位數”與“數字”的概念進行推廣，

規定：如果一個正數用科學記數法表示為a10n，則稱這個數的位數是n1，數

字是a．

借此，小華研究了兩個數乘積的位數問題，提出并證明了以下命題．

命題：若正數A，B，C的位數分別為m，n，p，數字分別為a，b，c，且ABC，

則必有c≥a且cb，或ca且cb．并且，當c≥a且cb時，pmn1；

推當ca且cb時，pmn．

廣證明：依題意知，A，B，C用科學記數法可分別表示為a10m1,b10n1,c10p1，

延

其中a，b，c均為正數．

伸

由ABC，得ab10mn2c10p1，

ab

即10pmn1．（*）

c

aababa1

當c≥a且cb時，“1，所以b10，又，所以

cccc10

1abab

10．由（*）知，1，所以pmn1；

10cc

aab

1b10

ccab

當c≥a且cb時，，所以所以110，

babc

1a1

c