數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合要求的．

1.下列實(shí)數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A.1B.0C.2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查比較實(shí)數(shù)的大小，首先確定各數(shù)的正負(fù)性，再按負(fù)數(shù)小于0小于正數(shù)的順序比較大小即

可．

【詳解】解：∵1022，

∴最小的數(shù)為1；

故選：A

2.中國(guó)古算詩(shī)詞歌賦較多．古算詩(shī)詞題，是反映數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律的一種文學(xué)浪漫形式．下

列分別是古算詩(shī)詞題“圓中方形”“方形圓徑”“圓材藏壁”“勾股容圓”所描繪的圖形，其中既不是軸

對(duì)稱圖形也不是中心對(duì)稱圖形的是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形的識(shí)別．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形

沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對(duì)稱圖形；在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形．根據(jù)中心對(duì)稱

和軸對(duì)稱的定義，進(jìn)行判斷即可．

【詳解】解：A、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

B、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

D、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，符合題意；

故選D．

1

3.若x1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的值可以是（）

A.2B.1C.0D.2

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件．根據(jù)二次根式有意義的條件，被開(kāi)方數(shù)必須非負(fù)，即x10，

解不等式即可確定x的取值范圍，進(jìn)而選出正確選項(xiàng)．

【詳解】解：要使x1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

需滿足被開(kāi)方數(shù)x10，

解得x1．

∴x2符合．

故選：D．

4.福建博物院收藏著一件“鎮(zhèn)館之寶”——云紋青銅大繞，如圖1．云紋青銅大繞是西周樂(lè)器，鼓飾變形

獸面紋，兩側(cè)飾云雷紋，渾大厚重，作風(fēng)穩(wěn)重古樸，代表了福建古代青銅文化曾經(jīng)的歷史和輝煌．圖2為

其示意圖，它的主視圖是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了幾何體的三視圖，從前面看到的圖形是主視圖，從上面看到的圖形是俯視圖，從左邊

看到的圖形是左視圖．根據(jù)主視圖是從前面看到的圖形解答即可．

【詳解】解；A是該幾何體的主視圖，B，C，D不是該幾何體的三視圖．

故選A．

1

5.不等式x12的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

2

A.B.

2

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查求不等式的解集，在數(shù)軸上表示解集，先求出不等式的解集，定邊界，定方向，表示出

不等式的解集即可．

1

【詳解】解：x12，

2

1

x21，

2

1

x1，

2

∴x2；

在數(shù)軸上表示如圖：

故選C．

6.在分別寫(xiě)有1，1，2的三張卡片中，不放回地隨機(jī)抽取兩張，這兩張卡片上的數(shù)恰好互為相反數(shù)的概

率是（）

1112

A.B.C.D.

4323

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．

【詳解】解：由題意，列表如下：

112

11,11,2

11,11,2

22,12,1

3

共有6種等可能的結(jié)果，其中兩張卡片上的數(shù)恰好互為相反數(shù)的情況有1,1，1,1兩種，

21

∴P；

63

故選：B．

7.某數(shù)學(xué)興趣小組為探究平行線的有關(guān)性質(zhì)，用一副三角尺按如圖所示的方式擺放，其中點(diǎn)A，E，C，F(xiàn)

在同一條直線上，BACEDF90,B45,DEF60．當(dāng)AD∥BC時(shí)，ADE的大小為

（）

A.5B.15C.25D.35

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到DAEBCA45，

再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵BAC90,B45，

∴ACB45，

∵AD∥BC，

∴DAEACB45，

∵DEFDAEADE60，

∴ADE15；

故選：B．

8.為加強(qiáng)勞動(dòng)教育，增加學(xué)生實(shí)踐機(jī)會(huì)，某校擬用總長(zhǎng)為5米的籬笆，在兩邊都足夠長(zhǎng)的直角圍墻的一角，

圍出一塊6平方米的矩形菜地作為實(shí)踐基地，如圖所示．設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x米，根據(jù)題意可列方程（）

2

A.5x26B.51x6C.x(5x)6D.5(1x)26

4

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，先用x表示出矩形的另一條邊長(zhǎng)，利用矩形的面積公式，列

出方程即可．

【詳解】解：設(shè)設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x米，則另一邊長(zhǎng)為5x米，由題意，得：

x(5x)6；

故選：C．

9.如圖，PA與O相切于點(diǎn)A，PO的延長(zhǎng)線交O于點(diǎn)C．AB∥PC，且交O于點(diǎn)B．若P30，

則BCP的大小為（）

A.30B.45C.60D.75

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，連接OA，OB，切線得到OAAP，求出

POA903060，平行，得到POAOAB60，進(jìn)而得到VAOB為等邊三角形，推出

BOC為等邊三角形，即可得出結(jié)果．

【詳解】連接OA，OB，則：OAOBOC，

∵PA與O相切于點(diǎn)A，

∴OAAP，

∵P30，

∴POA903060，

5

∵AB∥PC，

∴POAOAB60，

∴VAOB為等邊三角形，

∴AOB60，

∴BOC180POAAOB60，

∴BOC為等邊三角形，

∴BCP60，

故選C．

2

10.已知點(diǎn)A2,y1,B1,y2在拋物線y3xbx1上，若3b，則下列判斷正確的是（）

A.1y1y2B.y11y2C.1y2y1D.y21y1

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查比較二次函數(shù)的函數(shù)值的大小，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵，先求

出對(duì)稱軸的范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可．

【詳解】解：∵y3x2bx1，

∴當(dāng)x0時(shí)，y1，

∴拋物線過(guò)點(diǎn)0,1，

bb

∴拋物線的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x，

236

∴拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，

∵3b，

2b1

∴，

362

211b20b

∵，1，

22626

∴點(diǎn)A2,y1到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)0,1到對(duì)稱軸的距離，小于B1,y2到對(duì)稱軸的距離，

∴1y1y2；

故選：A．

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．

11.為響應(yīng)“體重管理年”有關(guān)倡議，小敏對(duì)自己的體重進(jìn)行了跟蹤統(tǒng)計(jì)．為方便記錄，他將體重增加1.5kg

6

記作+1.5，那么體重減少1kg應(yīng)記作_______．

【答案】1

【解析】

【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的意義，根據(jù)正負(fù)數(shù)表示一對(duì)相反意義的量，增加為正，則減少為負(fù)，進(jìn)行作答

即可．

【詳解】解：體重增加1.5kg記作+1.5，那么體重減少1kg應(yīng)記作1；

故答案為：1．

12.某房梁如圖所示，立柱ADBC，E，F(xiàn)分別是斜梁AB，AC的中點(diǎn)．若ABAC8m，則DE的

長(zhǎng)為_(kāi)______m．

【答案】4

【解析】

【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，是解題的

1

關(guān)鍵．根據(jù)ADBC，得出△ABD為直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出DEAB4m．

2

【詳解】解：∵ADBC，

∴△ABD為直角三角形，

∵E是斜梁AB的中點(diǎn)，

1

∴DEAB4m．

2

故答案為：4．

k

13.若反比例函數(shù)y的圖象過(guò)點(diǎn)(2,1)，則常數(shù)k_______．

x

【答案】2

【解析】

【分析】本題考查求反比例函數(shù)的解析式，待定系數(shù)法求出k值即可．

k

【詳解】解：∵反比例函數(shù)y的圖象過(guò)點(diǎn)(2,1)，

x

∴k212；

7

故答案為：2．

14.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O且與邊AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．若

OA2,OD1，則△AOE與DOF的面積之和為_(kāi)______．

【答案】1

【解析】

1

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出S菱形ACBD4，

ABCD2

OABOCD，然后證明△AOE≌△COFASA即可求解．

【詳解】解：∵菱形ABCD，OA2,OD1，

∴AC4,BD2，OAOC，AB∥CD，

1

∴S菱形ACBD4，OABOCD．

ABCD2

∵AOECOF，

∴△AOE≌△COFASA，

∴，

SAOESCOF

1

∴SSS菱形1，

AOECOF4ABCD

故答案為：1．

15.某公司為選拔英語(yǔ)翻譯員，舉行聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)綜合測(cè)試，其中聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)各項(xiàng)成績(jī)（百分制）按

4:3:2:1的比例計(jì)算最終成績(jī)．參與選拔的甲、乙兩位員工的聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)各項(xiàng)測(cè)試成績(jī)及最終成績(jī)?nèi)?/p>

下表：

項(xiàng)目

聽(tīng)說(shuō)讀寫(xiě)最終成績(jī)

員工

甲A70809082

乙B90807082

由以上信息，可以判斷A，B的大小關(guān)系是A_______B．（填“>”“=”或“<”）

8

【答案】>

【解析】

【分析】本題考查了加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算，能夠掌握計(jì)算公式且準(zhǔn)確計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．利用加權(quán)平均

數(shù)的計(jì)算公式求解即可．

4321

【詳解】解：∵A70809082，

10101010

∴A90．

4321

∵B90807082，

10101010

∴B80．

∵9080，

∴AB．

故答案為；．

16.彈簧秤是根據(jù)胡克定律并利用物體的重力來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的．胡克定律為：在彈性限度內(nèi)，彈簧彈力F

的大小與彈簧伸長(zhǎng)（或壓縮）的長(zhǎng)度x成正比，即Fkx，其中k為常數(shù)，是彈簧的勁度系數(shù)；質(zhì)量為m

的物體重力為mg，其中g(shù)為常數(shù)．如圖，一把彈簧秤在不掛任何物體時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為6厘米．在其彈性限

度內(nèi)：當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為0.5千克時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為6.5厘米，那么，當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為6.8厘米時(shí)，所掛物體

的質(zhì)量為_(kāi)______千克．

【答案】0.8

【解析】

【分析】本題主要考查了胡克定律的應(yīng)用，熟練掌握胡克定律Fkx（其中F為彈力，k為勁度系數(shù)，x

為彈簧伸長(zhǎng)或壓縮量）及重力與質(zhì)量的關(guān)系Gmg是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)已知條件求出彈簧的勁度系數(shù)k，

再利用胡克定律求出彈簧長(zhǎng)度為6.8厘米時(shí)所掛物體的質(zhì)量．

【詳解】解：不掛物體時(shí)彈簧長(zhǎng)度L06厘米，掛質(zhì)量m10.5千克物體時(shí)，彈簧長(zhǎng)度L16.5厘米，則

彈簧伸長(zhǎng)量x1L1L06.560.5(厘米)．

9

g

物體重力F1m1g（為常量），根據(jù)胡克定律Fkx，可得m1gkx1，即0.5gk0.5，解得kg．

當(dāng)彈簧長(zhǎng)度L26.8厘米時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量x2L2L06.860.8(厘米)．

g

設(shè)此時(shí)所掛物體質(zhì)量為m2千克，則m2gkx2，因?yàn)閗g，所以m2gg0.8，兩邊同時(shí)除以，得

m20.8．

故答案為：0.8．

三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

17.計(jì)算：20|12|8

【答案】2

【解析】

【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及二次根式的化簡(jiǎn)、零指數(shù)冪、化簡(jiǎn)絕對(duì)值等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，

掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．原式利用二次根式性質(zhì)，零指數(shù)冪法則，以及絕對(duì)值的代數(shù)意義計(jì)算即可得到

結(jié)果．

【詳解】解：20|12|8

12122

2．

18.如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB,AD的延長(zhǎng)線上，CBECDF,ACBACD．求證：ABAD．

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、補(bǔ)角的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力、幾何直觀等．先證

明ABCADC，AAS證明△ABC≌△ADC，即可得出結(jié)論．

【詳解】證明：QCBECDF,ABCCBE180,ADCCDF180，

ABCADC．

10

在VABC和△ADC中，

ABCADC

ACBACD，

ACAC

ABC≌ADC，

ABAD．

1aa22a1

19.先化簡(jiǎn)，再求值：2，其中a51．

aa

1

【答案】，5

a15

【解析】

【分析】本題考查分式的混合運(yùn)算、分母有理化等知識(shí)．先把括號(hào)內(nèi)通分，并把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后約

分化簡(jiǎn)，再把a(bǔ)51代入即可即可．

1aa22a1

【詳解】解：2

aa

2a1aa

aa22a1

a1a

a(a1)2

1

．

a1

當(dāng)a51時(shí)，

15

原式．

5115

20.甲、乙兩人是新華高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組成員．以下是他們?cè)趨⒓痈咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)備隊(duì)員集訓(xùn)期間的測(cè)

試成績(jī)及當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽的相關(guān)信息．

信息一：甲、乙兩人集訓(xùn)期間的測(cè)試成績(jī)（單位：分）

日期2月2月3月3月3月4月4月4月5月5月

隊(duì)員10日21日5日14日25日7日17日27日8日20日

甲75807381908385929596

11

乙82838682928387868485

22

其中，甲、乙成績(jī)的平均數(shù)分別是x甲85,x乙85；方差分別是s甲58.4，s乙a．

信息二：當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線（單位：分）

年份20202021202220232024

獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線9089908990

試根據(jù)以上信息及你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，解決以下問(wèn)題：

（1）計(jì)算a的值，并根據(jù)平均數(shù)與方差對(duì)甲、乙的成績(jī)進(jìn)行評(píng)價(jià)；

（2）計(jì)算當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線的平均數(shù)，并說(shuō)明：若要從中選擇一人參加高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，

選誰(shuí)更合適；

（3）若要從中選擇一人參加進(jìn)一步的培養(yǎng)，從發(fā)展?jié)撃艿慕嵌瓤紤]，你認(rèn)為選誰(shuí)更合適？為什么？

【答案】（1）a8.2，見(jiàn)解析

（2）甲，見(jiàn)解析（3）選甲更合適．理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】本小題考查平均數(shù)、方差，正確求出乙的方差是解答本題的關(guān)鍵．

（1）先求出乙的方差，然后比較即可；

（2）先求出五年獲獎(jiǎng)的平均數(shù)，然后根據(jù)甲、乙十次測(cè)試成績(jī)達(dá)到平均成績(jī)的頻數(shù)多少判斷即可；

（3）根據(jù)甲乙成績(jī)的變化趨勢(shì)分析即可．

【小問(wèn)1詳解】

211

s乙(94194944110)828.2，即a8.2．

1010

2

因?yàn)閤甲85,x乙85,s甲58.4，

22

所以x甲x乙,s甲s乙，

所以甲、乙兩人的整體水平相當(dāng)，但乙的成績(jī)比甲穩(wěn)定．

【小問(wèn)2詳解】

1

由已知得，獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線的平均數(shù)為x90(2)89.6，

5

從信息一可知，在集訓(xùn)期間的十次測(cè)試成績(jī)中，甲達(dá)到獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線的平均數(shù)的頻數(shù)為4，而乙的頻數(shù)為1，

所以甲獲獎(jiǎng)的可能性更大，故選甲參加更合適．

【小問(wèn)3詳解】

12

選甲更合適．理由：在集訓(xùn)期間的十次測(cè)試成績(jī)中，甲呈上升趨勢(shì)，而乙基本穩(wěn)定在原有的水平，故從發(fā)

展?jié)撃艿慕嵌瓤紤]，選甲更合適．

21.如圖，VABC是等邊三角形，D是AB的中點(diǎn)，CEBC，垂足為C，EF是由CD沿CE方向平移

得到的．已知EF過(guò)點(diǎn)A，BE交CD于點(diǎn)G．

（1）求DCE的大小；

（2）求證：CEG是等邊三角形．

【答案】（1）60

（2）見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）等邊三角形的性質(zhì)推出DCB30，垂直，得到BCE90，角的和差關(guān)系求出DCE

的大小即可；

（2）平移得到CD∥EF，進(jìn)而得到EACDCA30，角的和差關(guān)系推出EACECA，進(jìn)而

1

得到AECE,AEC120，根據(jù)ABCB，推出BE垂直平分AC，進(jìn)而得到GECAEC60，

2

推出GECGCEEGC，進(jìn)而得到CEG是等邊三角形即可．

【小問(wèn)1詳解】

解：ABC是等邊三角形，

∴ACB60．

D是AB的中點(diǎn)，

1

DCBDCAACB30．

2

CEBC，

BCE90，

DCEBCEDCB60．

【小問(wèn)2詳解】

由平移可知：CD∥EF，

13

EACDCA30，

又QECABCEACB30，

EACECA，

∴AECE,AEC120，

又ABCB，

BE垂直平分AC，

1

GECAEC60，

2

由（1）知，GCE60，

EGC60，

GECGCEEGC，

CEG是等邊三角形．

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、平移的基本性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、平行線的

性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間觀念、幾何直觀與推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想

等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．

22.如圖，矩形ABCD中，ABAD．

（1）求作正方形EFGH，使得點(diǎn)E，G分別落在邊AD,BC上，點(diǎn)F，H落在BD上；（要求：尺規(guī)作圖，

不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

（2）若AB2,AD4，求（1）中所作的正方形的邊長(zhǎng)．

10

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

2

【解析】

【分析】（1）作BD的中垂線交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)G，以EG為直徑畫(huà)圓，交BD于點(diǎn)F,H，即可

得到正方形EFGH；

（2）勾股定理求出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出OD的長(zhǎng)，證明△EOD∽△BAD，求出OE的長(zhǎng)，再根據(jù)正方形

的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求出EH的長(zhǎng)即可．

【小問(wèn)1詳解】

14

解：如圖，四邊形EFGH就是所求作的正方形．

由作圖可知，OBOD，EGHF，

∵矩形ABCD，

∴AD∥BC，

∴ADBCBD，DEOBGO，

∴DOE≌BOG，

∴OEOG，

由作圖可知，OE=OG=OF=OH，

∴四邊形EHGF為矩形，

∵EGHF，

∴四邊形EHGF為正方形；

【小問(wèn)2詳解】

由（1）知：OBOD，OEOG，

四邊形ABCD是矩形，

A90，

在Rt△ABD中，AB2,AD4，

BDAB2AD225，

1

ODBD5．

2

EGFH，

DOEDAB90．

又QODEADB，

△EOD∽△BAD，

15

OEODOE5

，即，

ABAD24

5

OE．

2

在Rt△EOH中，OEOH，

10

EH2OE，

2

10

∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)為．

2

【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相

似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，考查推理能力、運(yùn)算能力、幾何直觀與空間觀念，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、

函數(shù)與方程思想等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．

23.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yax2bx2的圖象過(guò)點(diǎn)A(1,t),B(2,t)．

b

（1）求的值；

a

3

（2）已知二次函數(shù)yax2bx2的最大值為1a2．

4

①求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

2

x11x22

②若Mx1,m,Nx2,m為該二次函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)，且m0，求證：．

mx12

【答案】（1）3

（2）①yx23x2；②見(jiàn)解析

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)表達(dá)式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次方程．

（1）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求解即可；

3

（2）①先求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)最大值為1a2列方程求解即可；

4

2

x11x22

②先根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出x1x23，然后把通分后代入即可求解．

mx12

【小問(wèn)1詳解】

b

解：二次函數(shù)yax2bx2的圖象的對(duì)稱軸為x．

2a

16

因?yàn)辄c(diǎn)A(1,t),B(2,t)在該函數(shù)的圖象上，

bb

所以21，

2a2a

b3

所以，

2a2

b

所以3．

a

【小問(wèn)2詳解】

①由（1）可得，b3a，

所以該函數(shù)的表達(dá)式為yax23ax2，

39

函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,a2．

24

3

因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1a2，

4

93

所以a0，且a21a2，

44

解得a1，或a4（舍去）．

所以該二次函數(shù)的表達(dá)式為yx23x2．

2

②因?yàn)辄c(diǎn)Mx1,m在函數(shù)yx3x2的圖象上，

2

所以mx13x12．

3

由①知，點(diǎn)Mx,m,Nx,m關(guān)于直線x對(duì)稱，不妨設(shè)xx，

12212

33

則xx，即xx3．

222112

22

x1x2x1x2mx2

所以12112

mx12mx12

x1x2x1mx2

1112

mx12

2

x13x12x11mx22

mx12

mx1mx2

12

mx12

17

mxx3

12

mx12

0，

2

x1x2

所以12．

mx12

閱讀材料，回答問(wèn)題．

24.

主

兩個(gè)正數(shù)的積與商的位數(shù)探究

題

提小明是一位愛(ài)思考的小學(xué)生．一次，在完成多位數(shù)的乘法時(shí)，他根據(jù)算式

出

“46292;3521735;663117293，猜想：m位的

問(wèn)

正整數(shù)與n位的正整數(shù)的乘積是一個(gè)(mn1)位的正整數(shù)．

題

分

析

問(wèn)題1小明的猜想是否正確？若正確，請(qǐng)給予證明；否則，請(qǐng)舉出反例

探

究

小明的猜想激發(fā)了初中生小華的探究熱情．為了使問(wèn)題的研究推廣到有理數(shù)的乘

法，進(jìn)而遷移到對(duì)除法的研究，小華將數(shù)的“位數(shù)”與“數(shù)字”的概念進(jìn)行推廣，

規(guī)定：如果一個(gè)正數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為a10n，則稱這個(gè)數(shù)的位數(shù)是n1，數(shù)

字是a．

推借此，小華研究了兩個(gè)數(shù)乘積的位數(shù)問(wèn)題，提出并證明了以下命題．

廣

命題：若正數(shù)A，B，C的位數(shù)分別為m，n，p，數(shù)字分別為a，b，c，且ABC，

延

則必有c≥a且cb，或ca且cb．并且，當(dāng)c≥a且cb時(shí)，pmn1；

伸

當(dāng)ca且cb時(shí)，pmn．

證明：依題意知，A，B，C用科學(xué)記數(shù)法可分別表示為a10m1,b10n1,c10p1，

其中a，b，c均為正數(shù)．

由ABC，得ab10mn2c10p1，

18

ab

即10pmn1．（*）

c

aababa1

當(dāng)c≥a且cb時(shí)，“1，所以b10，又，所以

cccc10

1abab

10．由（*）知，1，所以pmn1；

10cc

aab

1b10

ccab

當(dāng)c≥a且cb時(shí)，，所以所以110，

babc

1a1

cc

與（*）矛盾，不合題意；

當(dāng)ca且cb時(shí)，①；

當(dāng)ca且cb時(shí)，②．

綜上所述，命題成立．

拓

展A

問(wèn)題2若正數(shù)A，B的位數(shù)分別為m，n，那么的位數(shù)是多少？證明你的結(jié)論．

遷B

移

（1）解決問(wèn)題1；

（2）請(qǐng)把①②所缺的證明過(guò)程補(bǔ)充完整；

（3）解決問(wèn)題2．

【答案】（1）小明的猜想不正確，反例：3412

A

（2）見(jiàn)解析（3）當(dāng)A的數(shù)字大于或等于B的數(shù)字時(shí)，的位數(shù)是mn1；當(dāng)A的數(shù)字小于B的

B

A

數(shù)字時(shí)，的位數(shù)是mn

B

【解析】

【分析】（1）舉反例即可；

ab

b1,

cab

（2）①當(dāng)ca且cb時(shí)，可得，得110，不合題意；

abc

a10,

c

ababab

②當(dāng)ca且cb時(shí)，可得b1，可得1100，得10，即得pmn．

ccc

19

A

（3）設(shè)C，A，B，C的數(shù)字分別為a，b，c，C的位數(shù)為x，則BCA．當(dāng)ab時(shí)，必有ac，

B

mnx1，即xmn1；當(dāng)ab時(shí)，必有ac，mnx，即xmn．

【小問(wèn)1詳解】

解：小明的猜想不正確．

反例：3412．

【小問(wèn)2詳解】

aab

1,b1,

ccab

證明：①，所以，所以110，與（*）矛盾，不合題意；

babc

1,a10,

cc

aababab

②1，所以b1，又ab100，所以1100，

cccc

ab

由（*）知10，所以pmn．

c

【小問(wèn)3詳解】

A

解：當(dāng)A的數(shù)字大于或等于B的數(shù)字時(shí)，的位數(shù)是mn1；

B

A

當(dāng)A的數(shù)字小于B的數(shù)字時(shí)，的位數(shù)是mn．

B

證明如下：

由已知，A，B的位數(shù)分別為m，n，

A

設(shè)C，A，B，C的數(shù)字分別為a，b，c，C的位數(shù)為x，則BCA．

B

由小華的命題知，當(dāng)ab時(shí)，必有ac，

此時(shí)，mnx1，所以xmn1；

當(dāng)ab時(shí)，必有ac，

此時(shí)，mnx，所以xmn．

A

綜上所述，當(dāng)A的數(shù)字大于或等于B的數(shù)字時(shí)，的位數(shù)是mn1；

B

A

當(dāng)A的數(shù)字小于B的數(shù)字時(shí)，的位數(shù)是mn，

B

【點(diǎn)睛】本小題考查判斷命題的真