山西省太原市部分學校2025屆高三下學期5月預測考試數學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A．1 B． C．2 D．3．雙曲線的離心率為3，則（

）A． B．2 C． D．34．已知向量，，且，則（

）A． B． C．4 D．15．設函數在區間的最小值和最大值分別為和，則（

）A．2 B． C． D．6．已知函數，則（

）A． B．5 C．9 D．107．袋子里有大小相同的3個紅球和2個白球，每次從袋子里隨機取出一個球，若取出的是紅球則放回袋子，若取出的是白球則不放回袋子.記為取了次后白球恰好全部取出的概率，則（

）A． B． C． D．8．滿足，.設，分別為，上的點，為的中點，將沿折起，使點到達點的位置，且平面.若四棱錐的所有頂點都在同一球面上，且球心恰好在直線上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知函數，則（

）A．是奇函數 B．C．在區間單調遞減 D．有且僅有2個零點10．若，則（

）A． B．C． D．11．已知拋物線：的焦點為，準線為，為上一點，且在第一象限，過作的垂線，垂足為，直線與在第一象限交于點，過作的垂線，垂足為，且，則（

）A．為線段的中點 B．C．是正三角形 D．直線與相切三、填空題12．記為等差數列的前項和.若，，則.13．若函數在區間單調遞增，則的取值范圍是.14．有15張撲克牌，牌面分別為1，2，…，10，J，Q，K，小王，大王.魔術師先按照牌面依次為1，2，…，10，J，Q，的順序將這12張牌背面朝上擺成一疊（牌面為1的牌在最上面），然后魔術師請一名觀眾將牌面為的牌背面朝上隨機插入已擺好的這疊牌（共12張）中的某個位置（不能把這張牌放在這疊牌的最上面或最下面），再把牌面為小王和大王的兩張牌中的一張背面朝上放在這疊牌（共13張）的最上面，另一張背面朝上放在這疊牌（共13張）的最下面，之后繼續由這名觀眾把這疊牌（共15張）按如下方式發牌：把最上面那張牌發到桌上，然后把下一張牌放到這疊牌（共14張）的最下面，之后再把最上面那張牌發到桌上，再把下一張牌放到這疊牌（共13張）的最下面，依此類推，直到這疊牌只剩下一張牌.這時，魔術師可以準確說出最后剩下的這張牌的牌面是.四、解答題15．記的內角，，的對邊分別為，，.已知.（1）求；（2）若，，求的面積.16．已知橢圓：的右焦點為，且過點.（1）求的方程；（2）設為上一動點，當取得最大值時，求直線被截得的弦長.17．某款產品的尺寸誤差（單位：）服從正態分布，若一件產品的尺寸誤差的絕對值不小于，則認為該件產品不合格.（1）任取一件產品，求這件產品不合格的概率；（2）在計算二項分布的概率時，若重復性試驗的次數很多且每次試驗事件發生的概率很小，則可利用泊松分布代替二項分布進行近似計算.設隨機變量服從二項分布，若，且，則，，其中.現對某一批產品抽取40件進行檢測，若不合格產品超過3件，則認為這批產品不合格.估算這批產品不合格的概率（精確到0.01）.附：若，則；.18．如圖，四棱柱的底面是正方形，為的中點.（1）若平面平面，，，求二面角的正弦值；（2）設為線段的中點，.（i）證明：平面；（ii）設四棱柱的體積為，三棱錐的體積為，證明：.19．已知函數和各有兩個零點.（1）求的取值范圍；（2）若一個函數有且僅有兩個零點，則稱這兩個零點的算術平均數為該函數的“完美點”.設和分別為和的“完美點”.（i）比較與的大小；（ii）證明：.

參考答案1．【答案】D【詳解】因為集合，，故.故選D2．【答案】B【詳解】因為，故，.故選B3．【答案】A【詳解】雙曲線的實半軸為，設雙曲線的半焦距為，因為雙曲線的離心率為，故，所以.故選A4．【答案】C【詳解】因為向量，，若，則，故.故選C5．【答案】B【詳解】若，則，由正弦函數的性質可知，當時，函數取得最小值，即，當時，函數取得最大值，即，所以.故選B6．【答案】C【詳解】由題設，故.故選C7．【答案】B【詳解】設事件為第一個白球在次取出，且第二個白球在第次取出，其中，則，所以.故，又，故時，，即，，時，，即，，故A錯誤，B正確；，又，故時，，即，，時，，即，，故C，D錯誤.故選B.8．【答案】D【詳解】若四棱錐的所有頂點都在同一球面上，則，，，四點共圓，故，，又，故，所以，因為平面，又球心恰好在直線上，故為四邊形的外接圓圓心，故.因為，故，，故，因為平面，故，設，則，設球心為，球半徑為，則，故，故.所以球的表面積為,故選D.9．【答案】AC【詳解】函數的定義域為R，對于A，，是奇函數，A正確；對于B，求導得，，B錯誤；對于C，，當時，，，奇函數在上遞減，則在上遞減，因此在上遞減，C正確；對于D，奇函數滿足，因此零點個數必為奇數，D錯誤.故選AC10．【答案】ABD【詳解】對于A，令，則，故，故A正確；對于B，令，則，又，故，故B正確；對于C，令，則，又，故，故C錯誤；對于D，令，則，故D正確.故選ABD11．【答案】BCD【詳解】對于A，由，得，而，則，A錯誤；對于B，設，由，且軸，得，由，，得，又，則，即，B正確；對于C，，，而，即，解得，，又，因此是正三角形，C正確；對于D，點到直線的距離為，，則，直線的方程為，由得，，則直線與相切，D正確.故選BCD12．【答案】57【詳解】設的公差為，由，可得，又，故，所以.13．【答案】【詳解】，令，則當時，，又因為，當且僅當時等號成立，且當時，不恒為0，故的取值范圍是.14．【答案】Q【詳解】把大王、小王擺放完后，將15張牌按照從上到下的順序依次編號為1，2，…，15，此時2號牌面為1，且14號牌面為Q，這時按題中發牌的規則開始發牌，記每一次把最上面的牌發到桌上且下一張放到最下面為一次操作，每完成一次操作后這疊牌的編號順序分別為：，，，，，，，，，，，14.故最后剩下的是編號為14的紙牌，根據之前的操作可知該牌的牌面為Q.15．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因為，故.由正弦定理有，即.故由余弦定理有，.所以.（2）由余弦定理有，又，，，故，解得或（舍去）.故的面積為.16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）設半焦距為，因為，故.又過點，故.由橢圓的幾何性質有，故，.所以的方程為.（2）設的左焦點為，則，當且僅當，，三點共線時等號成立，此時.因為，故直線的方程為.與的方程聯立有，整理有，，解得，.故直線被截得的弦長為.17．【答案】（1）0.05；（2）0.14.（注：和均為正確答案）【詳解】（1）當，時，，則，所以任意一件產品是不合格的概率為0.05.（2）記為不合格產品的數量，則，且，又，且，則，，其中，因此，所以這批產品不合格的概率為0.14.（注：最終結果為和均為正確答案）18．【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【詳解】（1）如圖，以為坐標原點，的方向為軸正方向建立空間坐標系.設，因為，故是正三角形，又平面平面，且底面是正方形，故，，，，，，設平面的法向量為，平面的法向量為，則，，不妨取，則，.故.故二面角的正弦值為.（2）（i）方法1：如圖，延長與的延長線交于點，連接并延長，交的延長線于點，連接，交于點，連接，則平面.因為為線段的中點，，故，因為，，，故，又，故.因為，且，故四邊形是平行四邊形，即.又平面，平面，所以平面.方法2：由.因為平面內的存在點，滿足，有.又因為平面，所以平面.方法3：同（1）建立空間坐標系，若，四棱柱的高為，則，，，若，根據可得，，根據是的中點得，，，，，平面的法向量是，所以①，②.其中方程②可改寫為.可取，，，，所以平面.（ii）由（i）可知平面，故.所以.19．【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析【詳解】（1）由，，得，，則，的零點等價于，的零點.，，當時，易知，均在區間單調遞增，且在單調遞減，故當時，，當時，，若有兩個零點，則，即.當時，，當時，，且，故當時在區間和各恰有一個零點.綜上，若，各有兩個零點，則的取值范圍是.故答案為：.（2）（i）不妨設和的兩個零點分