第6章《平行四邊形》章節測試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．如圖，在?ABCD中，BE垂直平分CD于點E，∠BAD=45°，AD=2，則?ABCD的對角線AC的長為（

）A．5 B．10 C．23 D．2．如圖，在正五邊形ABCDE的內部，以BC邊為邊作等邊三角形BCF，連接DF，則∠CFD度數是（

）A．48° B．60° C．66° D．72°3．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BCD=∠ABD，DE平分∠ADB，則下列結論中不正確的是（

）A．AB=DC B．ED⊥CDC．∠A+∠DEC?∠ECB=90° D．∠DFC=∠ADE+∠BCE4．如圖，△ABC中，D是AB的中點，E在AC上，且∠AED=90°+12∠C，則BC+2AEA．AB B．AC C．32AB 5．如圖，小明在操場上從A點出發，沿直線前進10米后向左轉40°，再沿直線前進10米后，又向左轉40°，這樣走下去，他第一次回到出發地A點時，一共走了（

）米A．70 B．80 C．90 D．1006．如圖，?ABCD中，點O是對角線AC、BD的交點，過點O的直線分別交AD、BC于點M、N，若△CON的面積為3，△DOM的面積為5，則?ABCD的面積是（

）A．16 B．24 C．32 D．407．如圖，已知AF∥BD，AC=BD，AE=CF，給出下面四個結論：①AB=CD;?②BE=DF;A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．如圖，點D，E，F分別是邊長為2的等邊△ABC三邊的中點，動點P從頂A出發第1次移動到點D，到點D后，先在△DEF中順時針方向移動到點D，再在△ABC中順時針方向移動到點D，以后按前兩次到點D后的移動方向不斷地重復移動，若每次移動1個單位長度，那么第2025次移動后動點P的位置是點（

）A．A B．D C．F D．E9．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分線分別交AD于點E和F，若BE＝6，則CF＝（）A．6 B．8 C．10 D．1310．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠D為銳角，∠BAD的平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E，且AF=FE．若AB=25，?ABCD面積為300，則AF的長度為（

）A．30 B．15 C．40 D．20二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．如圖，在平面直角坐標系中，?OABC的頂點A在x軸上，OC=6，∠AOC=60°，以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交OA，OC于點D，E；再分別以點D、點E為圓心，大于12DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOC的內部相交于點F，過點O作射線OF，交BC于點P，則點P的坐標為12．已知點A1,0，B4,0，C0,2，在平面內找一點M，使得以M、A、B、C為頂點的四邊形為平行四邊形，則點M13．已知六邊形ABCDEF的每個內角為120°，其中AB=x，BC=600，CD=80，DE=500，且此六邊形的周長為2024，則x的值為．14．如圖，點O為等邊△ABC邊CB的中點．以BC為斜邊作Rt△DBC（點A與點D在BC同側且點D在△ABC外），點F為線段OD上一點，延長AF到點E使EF=AF，∠ABD=∠DBE，若OF=2，CE=5，則BE=15．將兩個邊長分別為2、3、4的全等三角形拼成四邊形，可以拼得不同形狀的平行四邊形的個數是個．16．如圖，已知△ABC的面積為a，點D在線段AC上，點F在線段BC的延長線上，且BF=4CF，四邊形DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）已知：如圖，E，F為?ABCD對角線AC上的兩點，且___________．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．請你在①AE=CF；②BE⊥AC，18．（6分）請看圖解答下列問題：(1)錯把外角當內角的那個外角的度數是多少？(2)小華求的是幾邊形的內角和？19．（8分）如圖，在?ABCD中，E是邊CD的中點，連接AE并延長交BC的延長線于點F．(1)求證：△ADE≌△FCE；(2)若AD=2，AF平分∠BAD，則AB的長為________．20．（8分）在△ABC中，AB=AC，將△BMN沿MN折疊得到△DMN，連接AD、BD、CD，AD平分∠BAC，過點D作DE⊥AC于點E．(1)求證：BD=CD；(2)若∠BAC=40°，E為AC的中點，求∠CMD的度數．21．（8分）在?ABCD中，已知點E在AD邊上，AE=ED，點F是BC邊上一點，FG⊥AB于點G，連接EF,EG．(1)如圖1，若BF=CF，S□ABCD=1，求(2)如圖2，若點F，點C重合，求證：△EFG是等腰三角形；(3)如圖3，若AB=BC=2，∠B=60°，BF=n0<n≤2，請直接寫出△EFG22．（8分）【問題背景】如圖①，在四邊形ABCD中，∠A和∠C稱為它的對角，若這個四邊形滿足：∠A+∠C=180°，則這個四邊形叫做為“對角互補四邊形”．【問題解決】(1)若四邊形ABCD是“對角互補四邊形”，且∠B=3∠D，求∠B的度數；(2)如圖②，∠MON=60°，OB平分∠MON，A是射線ON上一動點，C是射線OM上的動點，且四邊形COAB是“對角互補四邊形”．①若△COB是等腰三角形，求∠BAN的度數；②若OB=m，若S△BOC:S△BOA=n，求OC23．（8分）綜合與實踐問題背景：幾何學的產生，源于人們對土地面積測量的需要，可以說幾何學從一開始便與面積結下了不解之緣．我們已經掌握了平行四邊形面積的求法，但是一般四邊形的面積往往不易求得，那么我們能否將其轉化為平行四邊形來求呢?問題解決：下面是兩位同學的轉化方法：方法1：如圖1，連接四邊形ABCD的對角線AC，BD，分別過四邊形ABCD的四個頂點作對角線的平行線，所作四條線相交形成四邊形EFGH，易證四邊形EFGH是平行四邊形．（1）請直接寫出S四邊形ABCD和S四邊形EFGI方法2：如圖2，取四邊形ABCD四邊的中點E，F，G，H，連接EF，FG，GH，HE，（2）請直接寫出S四邊形ABCD與S四邊形EFGI（3）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；實踐應用：如圖3，某村有一個四邊形池塘，它的四個頂點A，B，C，D處均有一棵大樹，村里準備開挖池塘建魚塘，想使池塘的面積擴大一倍，又想保持大樹不動，并要求擴建后的池塘成平行四邊形的形狀．（4）請問能否實現這一設想?若能，請你畫出你設計的圖形；若不能，請說明理由．（5）已知，在四邊形池塘ABCD中，對角線AC與BD交于點O．AC=8cm，BD=6cm，∠AOB=60°，則求四邊形池塘參考答案選擇題1．D【分析】連接BD交AC于點F，根據平行四邊形和線段垂直平分線的性質可以推出BD=AD=2，即可推出∠ADB=90°，先利用勾股定理求出AF的長，即可求出AC的長．【詳解】解：如圖，連接BD交AC于點F．∵BE垂直平分CD，∴BD=BC，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC=AD=2，BF=DF，AC=2AF，∴BD=AD=2，∴DF=∵∠BAD=45°，∴∠ABD=45°，∴∠ADB=90°．在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF=∴AC=2AF=25故選D．2．C【分析】根據等邊三角形的性質得∠BCF=60°，BC=CF，根據正多邊形的性質及內角和得∠BCD=108°，BC=CD，繼而得到∠FCD=∠BCD?∠BCF=48°，CF=CD，再根據等邊三角形的性質即可得出結論．【詳解】解：∵△BCF是等邊三角形，∴∠BCF=60°，BC=CF，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BCD=5?2×180°÷5=108°，∴∠FCD=∠BCD?∠BCF=108°?60°=48°，CF=CD，∴∠CFD=1∴∠CFD度數是66°．故選：C．3．D【分析】本題考查了平行四邊形的性質和判定，平行線性質，等腰三角形的性質等知識，根據平行線性質求出∠ABC=∠ADC，得出平行四邊形ABCD，即可推出AB=CD可判斷A正確；根據等腰三角形性質求出DE⊥AB，即可推出ED⊥CD，故B正確；由三角形內角和定理易得∠DEC+∠DCE=90°，結合∠A=∠BCD，可證明∠A+∠DEC?∠ECB=90°，故C正確．過點E作EG∥BC，易得∠DEF=∠GEC+∠DEG≠∠BCE，結合三角形外角的性質以及角平分線的性質可知∠DFC≠∠ADE+∠BCE，故D錯誤．【詳解】解：∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°，∵∠A=∠BCD，∴∠ABC=∠ADC，∵∠A=∠BCD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD,AB=CD，故A正確，不符合題意；∵∠A=∠ABD，DE平分∠ADB，∴DE⊥AB，又AB∥CD，∴DE⊥CD，故B正確，不符合題意；∴∠CDE=90°，∴∠DEC+∠DCE=180°?∠CDE=90°，∵∠A=∠BCD，∴∠DCE=∠BCD?∠ECB=∠A?∠ECB，∴∠A+∠DEC?∠ECB=90°，故C正確，不符合題意；如圖，過點E作EG∥BC，∴∠GEC=∠BCE，∴∠DEF=∠GEC+∠DEG≠∠BCE，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE=∠FDE，又∵∠DFC=∠FDE+∠DEF，∴∠DFC=∠ADE+∠DEF，∴∠DFC≠∠ADE+∠BCE，故D錯誤，符合題意．故選：D．4．B【分析】本題主要考查了三角形中位線的性質、等腰三角形的判定與性質、三角形內角和定理、平行線的性質等知識，解題關鍵是正確作出輔助線，熟練掌握相關知識并靈活運用．在AC上取點F，使得AE=EF，連接BF，易得DE為△ABF的中位線，所以DE∥BF，再證明△BCF為等腰三角形，可得BC=FC，然后由【詳解】解：如圖，在AC上取點F，使得AE=EF，連接BF，則AF=2AE，∵D是AB的中點，AE=EF，∴DE為△ABF的中位線，∴DE∥∵∠AED=90°+1∴∠DEF=180°?∠AED=180°?90°+∵BF∥∴∠BFC=∠DEF=90°?1∴∠FBC=180°?∠C?∠BFC=90°?1∴∠FBC=∠BFC，∴BC=FC，∴BC+2AE=CF+AF=AC．故選：B．5．C【分析】利用多邊形的外角和得出小明回到出發地A點時左轉的次數，即可解決問題．【詳解】解：由題意可知，小明第一次回到出發地A點時，他一共轉了360°，且每次都是向左轉40°，所以共轉了9次，一次沿直線前進10米，9次就前進90米．故選：C．6．C【分析】根據ΔAMO≌ΔCNO，計算出ΔAOD的面積，再根據【詳解】過點O做EF垂直于BC，交BC于點F，交AD于點E∵在?ABCD中，AO=OC，AD∴∠MAO=∠NCO∵∠MOA=∠NOC∴Δ∴S∵AO=AO∴Δ∴EO=FO∵SΔAOD∴S故選：C．7．D【分析】本題主要考查平行四邊形的判定與性質，同底等高面積相等等知識，先證明四邊形ABDC,EBDF是平行四邊形，可判斷①②，再根據同底等高面積相等判斷③④即可【詳解】解：∵AF∥CD，即AC∴四邊形ABDC是平行四邊形，∴AB=CD,故①正確；∵AE=CF,∴AE?CF=CE?CF,∴AC=EF,∵AC=BD,∴EF=BD,又AF∥CD∴四邊形EBDF是平行四邊形，∴BE=DF,故②正確；設AF,BD間的距離為?，∴S∴S?ABDC又S∵AE=CF,∴S△ABE綜上，正確的緒論是①②③④，共4個，故選：D8．A【分析】本題考查了三角形中位線定理，規律探究?圖形的變化規律，發現規律是解題的關鍵．羅列前十次發現規律，利用規律解答第2025次后動點P的位置即可．【詳解】解：∵點D，E，F分別是邊長為2的等邊△ABC三邊的中點，∴DE=EF=FD=1第一次移動到點D，第二次移動到點E，第三次移動到點F，第四次移動到點D，第五次移動到點B，第六次移動到點E，第七次移動到點C，第八次移動到點F，第九次移動到點A，第十次移動到點D，??，每9次一循環，2025÷9=225，∴第2025次移動后動點P的位置是點A．故選：A．9．B【分析】設BE與FC的交點為H，過點A作AM∥FC，交BE與點O，證得△ABO≌△MBO（ASA），再證明四邊形AMCF是平行四邊形，，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，設BE與FC的交點為H，過點A作AM∥FC，交BE與點O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB+180°，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，∴∠CBE+∠BCF＝90°，∴∠BHC＝90°，∵AM∥CF，∴∠AOE＝∠BHC＝90°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，∴AB＝AE＝5，又∵∠AOE＝90°，∴BO＝OE＝3，∴AO=A在△ABO和△MBO中，∠ABO=∠CBOBO=BO∴△ABO≌△MBO（ASA），∴AO＝OM＝4，∴AM＝8，∵AD∥BC，AM∥CF，∴四邊形AMCF是平行四邊形，∴CF＝AM＝8，故選：B．10．B【分析】由題意先根據ASA證明△ADF≌△ECF，推出S△ABE【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD//BC即AD//BE，AB//CD，∴∠DAF=∠E．在△ADF與△ECF中，∠DAF＝∠EAF＝EF∴△ADF≌△ECF（ASA），∴S△ADF∴S△ABE∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAF，∵∠DAF=∠E，∴∠BAE=∠E，∴BE=AB=25，∵AF=FE，∴BF⊥AE．設AF=x，BF=y，∵∠D為銳角，∴∠DAB=180°-∠D是鈍角，∴∠D＜∠DAB，∴12∠ABC＜1∴∠ABF＜∠BAF，∴AF＜BF，x＜y．則有x2+y2＝即AF=15．故選：B．二．填空題11．9,3【分析】延長BC交y軸于點G，根據平行四邊形的性質可得BC∥AO，從而可得BC⊥y軸，再根據直角三角形的性質可得∠COG=30°，CG=3，利用勾股定理求得OC=33，由角平分線的定義和平行線的性質可得∠COP=∠CPO，再由等角對等邊可得CO=CP=6【詳解】解：延長BC交y軸于點G，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴BC∥∵OA⊥y軸，∴BC⊥y軸，∵OC=6，∠AOC=60°，∴∠COG=30°，∴CG=1在Rt△COG中，OG=由題意得，OP平分∠AOC，∴∠AOP=∠COP=1∵BC∥∴∠CPO=∠AOP=30°，，∴∠COP=∠CPO，∴CO=CP=6，∴PG=CP+CG=3+6=9，∴P9,3故答案為：9,3312．5,?2，3,2，?3,2【分析】根據題意畫出圖形，由平行四邊形的性質兩組對邊分別平行且相等來確定點M的坐標．【詳解】解：①當如圖1時，∵C（0，2），A（1，0），B（4，0），∴AB=3，∵四邊形ABMC是平行四邊形，∴M（3，2）；②當如圖2所示時，同①可知，M（-3，2）；③當如圖3所示時，過點M作MD⊥x軸，∵四邊形ACBM是平行四邊形，∴BD=OA=1，MD=OC=2，∴OD=4+1=5，∴M（5，-2）；綜上所述，點M坐標為（3，2）、（-3，2）、（5，-2）.13．164【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質、多邊形的內角與外角的關系構造等邊三角形、根據等邊三角形的三邊相等的性質求解成為解題的關鍵．延長并反向延長AB、CD、EF，構成一個等邊三角形，再利用六邊形的各邊和周長與△HGM各邊的關系列出等量關系是，即可解出AB．【詳解】解：如圖，分別延長AB、DC，相交于點G，分別延長CD、FE，相交于點H，分別延長EF、BA，相交于點M．，∵六邊形ABCDEF的每個內角為120°，AB=x，BC=600，CD=80，DE=500，∴六邊形每個外角為60°，∴△BGC、△DEH、△AFM、△HGM都是等邊三角形，∴BC=BG=CG=600，DE=DH=EH=500，AF=MA=FM，∴HG=CG+CD+DH=EH+EF+AF=MA+AB+BG=1180，設AF=y，EF=z，∴y+z=680，∵AB+BC+CD+DE+EF+FA=2024，即x+600+80+500+z+y=2024，∴x=164；故答案為：164．14．9【分析】延長CD到N，使DN=CD．連接BN，CF并延長CF交BN于M．連接AM在BE上截取BG=BM．連接CG．證明△BDN≌△BDC，得出∠CBD=∠NBD，得出OD∥BN，再通過平行四邊形的性質證明F為CM中點，BM=2OF=4,CF=FM，再證明，△AFM≌△EFC，得出AM=CE=5，∠FAM=∠CEF，再證明△ABM≌△CBG，證出【詳解】解：延長CD到N，使DN=CD．連接BN，CF并延長CF交BN于M．連接AM在BE上截取BG=BM．連接CG．∵CD=DN，∠BDC=∠BDN=90°∴△BDN≌△BDCSAS∴∠CBD=∠NBD，∵CD=DN，O為BC∴OD∥延長FO使得FO=HO，連接BH，∵∠1=∠2,BO=CO,FO=HO，∴△BOH≌△COFSAS∴∠OBH=∠OCF,BH=CF，∴BH∥∴四邊形BHFM是平行四邊形，∴BH=MF=CF，∴F為CM中點，∴BM=2OF=4,CF=FM，∵AF=EF，∴△AFM≌△EFCSAS∴AM=CE=5，∴AM∥∴∠MAC+∠ACE=180°，∴∠BAC?∠BAM+∠ACB+∠BCG+∠GCE=180°∵∠BAC=∠ACB=60°，∴∠BCG+∠GCE?∠BAM=60°，∵∠ABD=∠DBE，∴∠ABD?∠NBD=∠DBE?∠CBD，即∠CBE=∠ABN∵AB=BC,BG=BM=4，∴△ABM≌△CBGSAS∴AM=CG，∵CE=AM，∴CG=CE，∵∠BCG+∠GCE?∠BAM=60°，∴∠GCE=60°，∴△GCE為等邊三角形，∴EG=EC=5，∴BE=BG+EG=4+5=9，故答案為：9．15．3【分析】利用兩全等三角形拼接，根據平行四邊形的性質進行判斷即可．【詳解】解：如圖所示，將兩個邊長分別為2、3、4的全等三角形拼成四邊形，可以拼得不同形狀的平行四邊形的有：?ADBC，?ABFC，?ABCE，共3個．故答案為：3．

16．a【分析】連接EC，過A作AM∥BC交FE的延長線于M，求出平行四邊形ACFM，根據等底等高的三角形面積相等得出△BDE的面積和△CDE的面積相等，△ADE的面積和△AME的面積相等，推出陰影部分的面積等于平行四邊形ACFM的面積的一半，求出CF×hCF的值即可．【詳解】解：連接EC，過A作AM∥BC交FE的延長線于M，∵四邊形CDEF是平行四邊形，∴DE∥CF，EF∥CD，∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，∴四邊形ACFM是平行四邊形，∵△BDE邊DE上的高和△CDE的邊DE上的高相同，∴△BDE的面積和△CDE的面積相等，同理△ADE的面積和△AME的面積相等，即陰影部分的面積等于平行四邊形ACFM的面積的一半，是12×CF×hCF∵△ABC的面積是a，BF=4CF，∴12BC×hBC＝12×3CF×hCF＝∴CF×hCF＝23a∴陰影部分的面積是12CF×hCF＝12×23故答案為：a三．解答題17．解：添加：①AE=CF，理由如下：如圖，連接DB，交AC于O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC,OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，∴四邊形BFDE是平行四邊形．添加：②BE⊥AC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥∴∠BAE=∠DCF，∵BE⊥AC，∴∠AEB=∠CFD=90°，BE∥∴△BAE≌∴BE=DF，∴四邊形BFDE是平行四邊形．添加：③BE=DF，由②得∠BAE=∠DCF，AB=CD，不能證明△BAE≌∴不能證明四邊形BFDE是平行四邊形．18．（1）解：∵2024°=180°×11+44°．又∵多算了一個外角，∴外角度數為44°；（2）解：由（1）可知多邊形內角和為2024°?44°=1980°設小華求的是n邊形內角和，(n?2)?180°=1980°，解得：n=13，∴小華求的是十三邊形的內角和．19．（1）證明：∵E是邊CD的中點，∴DE=CE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥∴∠D=∠ECF，在△ADE和△FCE中，∠D=∠ECFED=EC∴△ADE≌△FCEASA（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=2，∵△ADE≌△FCE，∴AD=CF=2，∴BF=BC+CF=2+2=4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥∴∠DAF=∠F，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB=BF=4．故答案為：4．20．（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=20°，在△ABD和△ACD中AB=AC∴△ABD≌△ACDSAS∴BD=CD；（2）∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=1∵DE⊥AC，E為AC的中點，∴AD=CD，由（1）知BD=CD，∴AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=20°，∴∠MBD=∠ABC?∠ABD=70°?20°=50°，∵△DMN是△BMN沿MN折疊得到，∴BM=DM，∴∠CMD=2∠MBD=100°21．（1）解：如圖，∵?ABCD∴AD∥BC，∴AE∵AE=ED，BF=CF，∴AE=BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴AB∵FG⊥AB∴FG⊥EF∴S∴S△EFG（2）證明：取BC的中點H，連接EH，GH，由（1）可知：四邊形ABHE是平行四邊形，∴AB∵FG⊥AB，∴FG⊥EH，∵點H是BC的中點，∴GH=CH，∴EH垂直平分GF，∴EG=EF，∴△EFG是等腰三角形．（3）解：過點E作EH⊥BA交BA延長線于H，過點A作AM⊥BC于M，如圖，∵?ABCD，AB=BC=2∴AD=BC=2，AD∥∴AE=ED∴AE=1∵AD∴∠EAH=∠B=60∵EH⊥BA∴∠AHE=30°∴AH=∴EH=A∵AM⊥BC，∴CE⊥AD，∠B=60∴∠BA