系統預測與決策教材徐國祥編，《統計預測與決策》，上海財經大學出版社,2005年，第二版寧宣熙劉思峰編，《管理預測與決策方法》，科學出版社,2003年參考書易丹輝編,《統計預測：方法與應用》，科學出版社，2003年洪楠，吳偉健編，《SPSSforWindows統計分析教程》，電子工業出版社，2005年劉思峰，黨耀國主編《預測方法與技術》，高等教育出版社，2005年郭立夫，李北偉主編《決策理論與方法》，高等教育出版社，2006年張保法編著《經濟計量學》，經濟科學出版社，2000年版謝識予編著《計量經濟學》，高等教育出版社，上海社會科學院出版社，2002年目錄1統計預測概述2定性預測法

3回歸預測法4時間序列分解法和趨勢外推法5時間序列平滑預測法6預測精度測定與預測評價

7統計決策概述8風險型決策方法9貝葉斯決策方法10不確定型決策方法11多目標決策法1統計預測概述

1.2統計預測方法的分類及其選擇

1.3統計預測的原則和步驟

1.1統計預測的概念和作用

1.1統計預測的概念和作用一、統計預測的概念

概念:

預測就是根據過去和現在估計未來，預測未來。統計預測屬于預測方法研究范疇，即如何利用科學的統計方法對事物的未來發展進行定量推測，并計算概率置信區間。

實際資料是預測的依據；經濟理論是預測的基礎；數學模型是預測的手段。統計預測的三個要素：統計預測方法是一種具有通用性的方法。二、統計預測的作用在市場經濟條件下，預測的作用是通過各個企業或行業的行動計劃和決策來實現的;統計預測作用的大小取決于預測結果所產生的效益的多少。影響預測作用大小的因素主要有：預測費用的高低；預測方法的難易程度；預測結果的精確程度。1.2統計預測方法的分類和選擇統計預測方法可歸納分為定性預測方法和定量預測方法兩類，其中定量預測法又可大致分為回歸預測法和時間序列預測法;按預測時間長短分為近期預測、短期預測、中期預測和長期預測;按預測是否重復分為一次性預測和反復預測。一、統計預測方法的分類

選擇統計預測方法時，主要考慮下列三個問題：二、統計預測方法的選擇合適性費用精確性方法章時間范圍適用情況計算機硬件最低要求應做工作定性預測法2短、中、長期對缺乏歷史統計資料或趨勢面臨轉折的事件進行預測計算器需做大量的調查研究工作一元線性回歸預測法3短、中期自變量與因變量之間存在線性關系計算器為兩個變量收集歷史數據，此項工作是此預測中最費時的多元線性回歸預測法3短、中期因變量與兩個或兩個以上自變量之間存在線性關系在兩個自變量情況下可用計算器，多于兩個自變量的情況下用計算機為所有變量收集歷史數據是此預測中最費時的非線性回歸預測法3短、中期因變量與一個自變量或多個其它自變量之間存在某種非線性關系在兩個變量情況下可用計算器，多于兩個變量的情況下用計算機必須收集歷史數據，并用幾個非線性模型試驗趨勢外推法4中期到長期當被預測項目的有關變量用時間表示時，用非線性回歸與非線性回歸預測法相同只需要因變量的歷史資料，但用趨勢圖做試探時很費時方法章時間范圍適用情況計算機硬件最低要求應做工作分解分析法4短期適用于一次性的短期預測或在使用其他預測方法前消除季節變動的因素計算器只需要序列的歷史資料移動平均法5短期不帶季節變動的反復預測計算器只需要因變量的歷史資料，但初次選擇權數時很費時間指數平滑法5短期具有或不具有季節變動的反復預測在用計算機建立模型后進行預測時，只需計算器就行了只需要因變量的歷史資料，是一切反復預測中最簡易的方法，但建立模型所費的時間與自適應過濾法不相上下自適應過濾法6短期適用于趨勢型態的性質隨時間而變化，而且沒有季節變動的反復預測計算機只需要因變量的歷史資料，但制定并檢查模型規格很費時間平穩時間序列預測法7短期適用于任何序列的發展型態的一種高級預測方法計算機計算過程復雜、繁瑣方法章時間范圍適用情況計算機硬件最低要求應做工作干預分析模型預測法8短期適用于當時間序列受到政策干預或突發事件影響的預測計算機收集歷史數據及影響時間景氣預測法9短、中期適用于時間趨勢延續及轉折預測計算機收集大量歷史資料和數據并需大量計算灰色預測法10短、中期適用于時間序列的發展呈指數型趨勢計算機收集對象的歷史數據狀態空間模型和卡爾曼濾波11短、中期適用于各類時間序列的預測計算機收集對象的歷史數據并建立狀態空間模型

在統計預測中的定量預測要使用模型外推

法，使用這種方法有以下兩條重要的原則：1.3統計預測的原則和步驟一、統計預測的原則

連貫原則，是指事物的發展是按一定規律進行的，在其發展過程中，這種規律貫徹始終，不應受到破壞，它的未來發展與其過去和現在的發展沒有什么根本的不同；

類推原則，是指事物必須有某種結構，其

升降起伏變動不是雜亂無章的，而是有章

可循的。事物變動的這種結構性可用數學

方法加以模擬，根據所測定的模型，類比

現在，預測未來。

確定預測目的搜索和審核資料分析預測誤差，改進預測模型選擇預測模型和方法提出預測報告二、統計預測的步驟2定性預測法

2.1定性預測概述

2.2德爾菲法

2.3主觀概率法

2.4定性預測的其他方法

2.5情景預測法2.1定性預測概述

一、定性預測的概念和特點定性預測的概念：

是指預測者依靠熟悉業務知識、具有豐富經驗和綜合分析能力的人員與專家，根據已掌握的歷史資料和直觀材料，運用個人的經驗和分析判斷能力，對事物的未來發展做出性質和程度上的判斷，然后，再通過一定形式綜合各方面的的意見，作為預測未來的主要依據。定性預測的特點：（1）著重對事物發展的性質進行預測，主要憑借人的經驗以及分析能力；（2）著重對事物發展的趨勢、方向和重大轉折點進行預測。二、定性預測和定量預測之間的關系定性預測的優點在于：注重于事物發展在性質方面的預測，具有較大的靈活性，易于充分發揮人的主觀能動作用，且簡單、迅速，省時省費用。定性預測的缺點是：

易受主觀因素的影響，比較注重于人的經驗和主觀判斷能力，從而易受人的知識、經驗和能力的多少大小的束縛和限制，尤其是缺乏對事物發展作數量上的精確描述。定量預測的優點：

注重于事物發展在數量方面的分析，重視對事物發展變化的程度作數量上的描述，更多地依據歷史統計資料，較少受主觀因素的影響。定量預測的缺點：

比較機械，不易處理有較大波動的資料，更難以預測事物質的變化。

定量預測與定性預測相互關系：

定性預測和定量預測并不是相互排斥的，而是可以相互補充的，在實際預測過程中應該把兩者正確的結合起來使用。2.2德爾菲法一、德爾菲法的概念、步驟和特點德爾菲法（Delphi）的概念：

德爾菲法是根據有專門知識的人的直接經驗，對研究的問題進行判斷、預測的一種方法，也稱專家調查法。它是美國蘭德公司于1964年首先用于預測領域的。

德爾菲法是本世紀40年代末由美國的蘭德公司首創和使用的，隨后在世界上得到廣泛使用的一種定性預測方法。該方法一般采用通訊方式分別向一組專家提出問題，然后將專家們的意見加以綜合整理、歸納、匿名反饋給各個專家，經過這樣多次反復循環，逐步取得一致意見。德爾菲法應用非常廣泛，不僅可以用于短期預測，而且還可以用于長期預測；不僅可以預測事物的量變過程，而且還可以預測事物的質變過程。因而德爾菲已逐漸成為一種重要的預測工具。采用德爾菲法進行預測的三個階段：1.準備階段2.征詢階段3.數據處理階段1.準備階段準備階段主要由預測組織者確定預測目標，選擇專家和準備有關材料。（1）確定預測目標。首先要根據決策和計劃的要求，選擇有重要影響的問題作為預測的課題，預測課題的目標要明確。（2）選擇專家。在有關方面挑選專家，這是德爾菲法成敗的關鍵。一般選擇標準是具有與預測課題相關的專業，具有豐富工作經驗，精通有關技術和業務，有預見性和分析能力的專家。另外，還要適當吸收不同專業領域的專家參加。（3）向專家提供的有關材料包括：①征詢意見的調查表。調查表應緊緊圍繞預測課題，從各個側面提出有針對性的問題；內容要件名扼要，問題力求含義明確，使專家便于和樂于回答。調查表還要注明返回的最遲時間。②有關預測的背景材料。③有關德爾菲法的說明、介紹材料。2．征詢階段將有關材料提交給各位專家，要求每位專家根據自己的依據，提出預測意見。預測組織者在規定的時間將專家的意見收集，對征詢到的意見進行綜合歸納、分類整理。經過初步分析之后，觀察是否能夠得出有代表性的意見，如果不能綜合出代表性的預測意見，則應進行下一輪的征詢調查。這時應歸納出專家們有幾種不同的觀點，分別列出持這些觀點的理由及所依據的資料，連同為下一輪調查所設計的調查表一起反饋給專家，進行下一輪調查。這樣往返多次，直到各位專家不再改變自己的觀點，同時也提不出新的論據為止。征詢調查一般以3~4輪為宜。3.數據處理階段當專家們的意見趨于統一時，可以將這一統一意見作為預測結果，數據處理階段可以略去。當專家們的意見不能統一時，可以采用統計方法對專家們的意見進行綜合處理。由于對預測結果的要求不同，采用的數據處理方法也常常不同，常用的有中位數法和加權算術平均法。德爾菲法的特點：1.匿名性

為了克服專家會議易受心理因素影響的缺點，預測組織者通常采用通訊方式，背靠背地分別向專家征詢意見。參加預測的專家互不見面，不通音訊，姓名保密，只同預測組織者保持聯系。這樣可以使專家打消思想顧慮，能獨立思考判斷，又有利于專家參考前一輪的預測結果，修改自己的意見，而且無須作出公開說明，無損自己的威望。從而既依靠了專家，又克服了專家會議的缺點。2.反饋性參加預測的專家們從反饋回來的問題調查表上得到了集體的意見和目前的情況，以及同意或反對的各個觀點的理由，并依此作出各自新的判斷。從而構成專家之間的匿名相互影響，排除或減少了面對面會議帶來的缺點，專家們不會受到沒有根據的判斷的影響，反對意見不會受到壓制。有利于專家們開拓思路，提出獨立的創新見解。3.集中性（收斂性）專家意見經過多次征詢、綜合整理、反饋后，逐漸趨于一致，用統計的方法加以集中整理，可以得出定量化的預測結果。二、德爾菲法的優缺點德爾菲法的優點：（1）可以加快預測速度和節約預測費用。（2）可以獲得各種不同但有價值的觀點和意見。（3）適用于長期預測和對新產品的預測，在歷史資料不足或不可測因素較多時尤為適用。德爾菲法的缺點：（1）對于分地區的顧客群或產品的預測則可能不可靠。（2）責任比較分散。（3）專家的意見有時可能不完整或不切合實際。三、德爾菲法應用案例例1某公司研制出一種新興產品，現在市場上還沒有相似產品出現，因此沒有歷史數據可以獲得。公司需要對可能的銷售量做出預測，以決定產量。于是該公司成立專家小組，并聘請業務經理、市場專家和銷售人員等8位專家，預測全年可能的銷售量。8位專家提出個人判斷，經過三次反饋得到結果如下表所示。

專家編號第一次判斷第二次判斷第三次判斷最低銷售量最可能銷售量最高銷售量最低銷售量最可能銷售量最高銷售量最低銷售量最可能銷售量最高銷售量15007509006007509005507509002200450600300500650400500650340060080050070080050070080047509001500600750150050060012505100200350220400500300500600專家編號第一次判斷第二次判斷第三次判斷最低銷售量最可能銷售量最高銷售量最低銷售量最可能銷售量最高銷售量最低銷售量最可能銷售量最高銷售量630050075030050075030060075072503004002504005004005006008260300500350400600370410610平均數345500725390550775415570770解答：平均值預測：在預測時，最終一次判斷是綜合前幾次的反饋做出的，因此在預測時一般以最后一次判斷為主。則如果按照8位專家第三次判斷的平均值計算，則預測這個新產品的平均銷售量為：加權平均預測：將最可能銷售量、最低銷售量和最高銷售量分別按0.50、0.20和0.30的概率加權平均，則預測平均銷售量為：中位數預測：

用中位數計算，可將第三次判斷按預測值高低排列如下：最低銷售量：

300370400500550最可能銷售量：

410 500600700750最高銷售量：

6006106507508009001250中間項的計算公式為：最低銷售量的中位數為第三項，即400。最可能銷售量的中位數為第三項，即600。最高銷售量的中位數為第四項的數字，即750。將可最能銷售量、最低銷售量和最高銷售量分別按0.50、0.20和0.30的概率加權平均，則預測平均銷售量為：2.3主觀概率法一、主觀概率法的概念

主觀概率是人們憑經驗或預感而估算出來的概率。主觀概率=客觀概率？主觀概率與客觀概率不同，客觀概率是根據事件發展的客觀性統計出來的一種概率。在很多情況下，人們沒有辦法計算事情發生的客觀概率，因而只能用主觀概率來描述事件發生的概率。

二、主觀概率法的預測步驟及其應用案例預測步驟：（一）準備相關資料（二）編制主觀概率調查表（三）匯總整理（四）判斷預測應用案例

?例2某地產公司打算預測某區2006年的房產需求量，因此選取了10位調查人員進行主觀概率法預測，要求預測誤差不超過套。調查匯總數據如下表所示：

被調查人

編號累計概率0.010（1）0.125（2）0.250（3）0.375（4）0.500（5）0.625（6）0.750（7）0.875（8）0.990（9）房產需求量（套）12111214421562200222222442267227823112197821002133215622002222226722782500320442100213321442244226722892311244442156216721782189220022112222223322445220022112222224422782311233323562400被調查人編號累計概率0.010（1）0.125（2）0.250（3）0.375（4）0.500（5）0.625（6）0.750（7）0.875（8）0.990（9）房產需求量（套）618671989200020442111213321562178220072156220022222289231123562400243324898200020562067210021332167220022222278920892100211121222133214421562167217810222222442244227823002322235623672444平均數2082.32131.12146.62176.62213.22237.72264.62282.32348.8解答：（1）綜合考慮每一個調查人的預測，在每個累計概率上取平均值，得到在此累計概率下的預測需求量。由上表可以得出該地產公司對2006年需求量預測最低可到2083套，小于這個數值的可能性只有1%。（2）該集團公司2006年的房產最高需求可到

2349套，大于這個數值的可能性只有1%。（3）可以用2213套作為2006年該集團公司對該區房產需求量的預測值。這是最大值與最小值之間的中間值。其累計概率為50%，是需求量期望值的估計數。（4）取預測誤差為67套，則預測區間為：（2213-67）~（2213+67），即商品銷售額的預測值在2146套~2280套之間。（5）當預測需求量在2146套和2280套之間，在第（3）欄到第（8）欄的范圍之內，其發生概率相當于：0.875-0.250=0.625也就是說，需求量在2146套~2280套之間的

可能性為62.5%。

2.4定性預測的其他方法一、定性預測的其他方法概述二、領先指標法領先指標法概念：通過將經濟指標分為領先指標，同步指標和滯后指標，并根據這三類指標之間的關系進行分析預測。領先指標法不僅可以預測經濟的發展趨勢，而且可以預測其轉折點。

y（指標）t1t2t3t4t(時間）領先指標同步指標滯后指標三、廠長（經理）評判意見法

廠長（經理）評判意見法概念：

由企業的總負責人把與市場有關或者熟悉市場情況的各種負責人和中層管理部門的負責人召集起來，讓他們對未來的市場發展形勢或某一種大市場問題發表意見，做出判斷；然后，將各種意見匯總起來，進行分析研究和綜合處理；最后得出市場預測結果。

廠長（經理）評判意見法優點：（1）迅速、及時和經濟。（2）集中了各個方面有經驗人員的意見，使預測結果比較準確可靠。（3）不需要大量的統計資料，適合于對那些不可控因素較多的產品進行銷售預測。（4）如果市場發生了變化可以立即進行修正。廠長（經理）評判意見法缺點：（1）預測結果容易受主觀因素影響。（2）對市場變化、顧客的愿望等問題了解不細，因此預測結果一般化。四、推銷人員估計法

推銷人員估計法概念：

將不同銷售人員的估計值綜合匯總起來，作為預測結果值。由于銷售人員一般都很熟悉市場情況，因此，這一方法具有一些顯著的優勢。例題

?例3

某筆記本電腦公司經理召集主管銷售、財務、計劃和生產等部門的負責人，對下一年度某種型號筆記本的銷售前景做出了估計。幾個部門負責人的初步判斷如下表。請估計下一年度的銷售額。部門各種銷售量估計銷售量（臺）概率期望值（臺）（銷售量×概率）銷售部門負責人最高銷售量186000.11860最可能銷售量111600.77812最低銷售量99200.21984總期望值111656計劃財務部門負責人最高銷售量124000.11240最可能銷售量111600.88928最低銷售量93000.1930總期望值111098生產部門負責人最高銷售量124000.33720最可能銷售量105400.66324最低銷售量74400.1744總期望值110788解答：

絕對平均法：下一年度某種型號筆記本電腦的銷售量預測值為：加權平均法：

根據各部門負責人對市場情況的熟悉程度以及他們在以往的預測判斷中的準確程度，分別給予不同部門負責人不同的評定等級，在綜合處理時，采用不同的加權系數。如定銷售部門負責人的加權系數為2，其他兩個部門負責人的加權系數為1，從而下一年度筆記本電腦的銷售預測值為：

五、頭腦風暴法頭腦風暴法是專家會議的具體運用，在各種直觀型預測方法中占有重要地位。這種方法通過專家進的相互交流，引起“思維共振”，產生組合效應，形成宏觀智能結構，進行創造性思維。頭腦風暴法組織專家會議應遵循以下原則：1.嚴格限制問題的范圍，明確具體要求，以便集中注意力。2.認真對待和研究專家提出的任何一種設想，而不管這種設想是否適當和可行，不能對別人的意見提出懷疑。3.參加者的發言要精練，不要詳細論述、冗長發言。否則，將有礙產生一種富有成效的創造性氣氛4.不允許參加者宣讀事先準備的發言稿，提倡即席發言。5.鼓勵參加者對已提出的設想進行補充、改進和綜合。6.支持和鼓勵參加者解除思想顧慮，創造一種自由的氣氛，激發參加者的積極性。頭腦風暴法參加者選取原則：1.如果參加者相互認識，要從同一職位（職務或級別）的人員中選取，領導人員不宜參加，否則可能對參加者造成某種壓力。2.如果參加者互不認識，可從不同職位的人員中選取，這時不論成員的職稱或級別的高低，都應同等對待。3.參加者的專業應盡可能與所論及的預測對象的問題一致。但這并不是專家組成員的必要條件，而且希望參加會議的專家中包括一些學識淵博，對所論及問題有較深理解的其他領域的專家。頭腦風暴法特點頭腦風暴法的所有參加者都應具有較高的聯想思維能力。在進行“頭腦風暴”即思維共振時，應盡可能提供一個有助于把注意力高度集中于所論及問題的環境。頭腦風暴法產生的結果，應當認為是專家們集體創造的結果。頭腦風暴法可以對所論及的問題通過客觀的連續分析，找到一組切實可行的方案。但是頭腦風暴法對其提出的一組可行方案，還不能按其重要性進行排隊和尋找達到目標的最佳途徑。系統預測與決策第三章回歸分析預測法本章學習目的與要求

通過本章的學習，了解回歸分析預測法的概念；掌握回歸分析中各系數的計算方法及回歸預測方法。本章學習重點和難點

重點是一元線性回歸預測法。難點是區間估計，應用回歸預測的注意事項。本章內容提示第一節回歸分析概述第二節一元線性回歸預測法第三節多元線性回歸預測法第四節非線性回歸預測法第五節應用回歸預測時應注意的問題

第一節回歸預測概述回歸預測以因果關系為前提，應用統計方法尋找一個適當的回歸模型，對未來市場的變化進行預測。回歸分析具有比較嚴密的理論基礎和成熟的計算分析方法；回歸預測是回歸分析在預測中的具體運用。在回歸預測中，預測對象稱為因變量，相關的分析對象稱為自變量。回歸分析根據自變量的多少分為一元回歸分析、多元回歸分析；回歸分析根據回歸關系可分為線性回歸分析與非線性回歸分析。回歸分析的基本步驟回歸分析的基本步驟如下：第一步：判斷變量之間是否存在有相關關系第二步：確定因變量與自變量第三步：建立回歸預測模型（常用普通最小二乘法OLS)第四步：對回歸預測模型進行評價(擬合優度的度量、統計檢驗和計量經濟檢驗)第五步：利用回歸模型進行預測(點預測和區間預測），分析評價預測值第二節一元線性回歸預測法一元線性回歸預測法是根據一元線性回歸模型中單一自變量的變動來預測因變量平均發展趨勢的方法。一、一元線性回歸模型二、一元線性回歸預測基本步驟一、一元線性回歸模型描述因變量y如何依賴于自變量x和誤差項

的方程稱為回歸模型一元線性回歸模型可表示為

y=b0+b1x+ey是x的線性函數(部分)加上誤差項線性部分反映了由于x的變化而引起的y的變化誤差項

是隨機變量反映了除x和y之間的線性關系之外的隨機因素對y的影響是不能由x和y之間的線性關系所解釋的變異性

0和

1稱為模型的參數

一元線性回歸模型

(基本假定)

誤差項ε是一個期望值為0的隨機變量，即E(ε)=0。對于一個給定的x值，y的期望值為E(y)=

0+

1x對于所有的x值，ε的方差σ2都相同誤差項ε是一個服從正態分布的隨機變量，且相互獨立。即ε~N(0,σ2)獨立性意味著對于一個特定的x值，它所對應的ε與其他x值所對應的ε不相關對于一個特定的x值，它所對應的y值與其他x所對應的y值也不相關

回歸方程(regressionequation)描述y的平均值或期望值如何依賴于x的方程稱為回歸方程一元線性回歸方程的形式:E(y)=

0+

1x

方程的圖示是一條直線，也稱為直線回歸方程

0是回歸直線在y軸上的截距，是當x=0時y的期望值

1是直線的斜率，稱為回歸系數，表示當x每變動一個單位時，y的平均變動值二、一元線性回歸預測基本步驟一元線性回歸預測是在一個因變量與一個自變量之間進行的線性相關關系的回歸預測。一元線性回歸的基本步驟如下：第一步：繪制散點圖，觀察自變量與因變量之間的相互關系；第二步：計算并檢驗Pearson線性相關系數；第三步：估計參數，建立一元線性回歸預測模型；第四步：對預測模型的評價和檢驗(擬合優度的度量、統計檢驗和計量經濟檢驗)；第五步：計算與確定點預測與預測區間。1.散點圖(scatterdiagram)可以通過繪制散點圖，直觀地觀察自變量與因變量之間的相互關系是否是線性；相關的密切程度及相關的方向。2.相關系數(correlationcoefficient)對變量之間關系密切程度的度量對兩個變量之間線性相關程度的度量稱為簡單相關系數若相關系數是根據總體全部數據計算的，稱為總體相關系數，記為

若是根據樣本數據計算的，則稱為樣本相關系數，記為r根據其定義計算：r具有以下性質：（1）它可以是正值也可以是負值，其符號取決于上式中分子的符號。（2）它的取值范圍在-1和+1之間，即–1

r

+1。（3）它的性質是對稱的，X與Y的相關系數rxy和Y與X的相關系數ryx是相同的，都是r。（4）它只是線性聯系或線性相關的度量，用來描述非線性關系是沒有意義的。相關系數檢驗法建立一元線性回歸模型之后，若要考察兩個變量之間是否具有顯著的線性相關關系，就需要對模型進行顯著性檢驗。一元線性回歸模型常用的線性相關關系的顯著性檢驗方法是相關系數檢驗法。相關系數檢驗法的步驟如下：（1）根據相關系數的計算公式計算相關系數r。（2）給定顯著性水平

，根據

和N-2的值，從相關系數臨界值表中查出相關系數臨界值r

，N-2。（3）比較與的值，若

r

r

，N-2，表明兩變量之間線性關系在顯著性水平

時相關關系顯著；否則

r

r

，N-2，表明兩變量之間線性關系在顯著性水平

時相關關系不顯著，該模型不宜用來預測。3.回歸預測模型建立建立樣本回歸函數的方法有許多，其中最常用的是最小二乘法（OLS）。當給定樣本X和Y的N對觀測值時，我們希望據此建立的樣本回歸函數值應盡可能接近觀測值Yi，使其樣本剩余的平方和盡可能地小，即

ei2

min。這一準則就是最小二乘準則。最小二乘估計

(圖示)

xy(xn,yn)(x1,y1)

(x2,y2)(xi,yi)｝ei=yi-yi＾圖3-1最小二乘估計式根據最小二乘準則建立樣本回歸函數的過程為最小二乘估計，簡記OLS估計。由此得到的估計值得計算式稱為最小二乘估計式。雙變量線性回歸模型的最小二乘估計雙變量線性回歸模型的最小二乘估計由最小二乘準則：

ei2

min有：雙變量線性回歸模型的最小二乘估計式雙變量線性回歸模型的最小二乘估計式4.預測模型的評價與檢驗擬合優度的度量相關系數檢驗

t檢驗

t檢驗是利用t統計量來檢驗回歸參數a和b是否具有統計意義。回歸古典假設檢驗(見第四節)殘差分析;異方差及自相關檢驗(DW)擬合優度擬合優度是指樣本回歸直線對觀測數據擬合的優劣程度。如果全部觀測值都在回歸直線上，我們就獲得“完全的”擬合，但這是罕見的情況，通常都存在一些正ei或負ei。我們所希望的就是圍繞回歸直線的剩余盡可能的小。可決系數擬合優度通常用可決系數來度量。可決系數是樣本回歸直線對數據擬合程度的綜合度量。在雙變量的情況下，通常用R2表示可決系數。離差平方和的分解

(三個平方和的關系)

SST=SSR+SSE總平方和(SST){回歸平方和(SSR)殘差平方和(SSE){{變差的分解

(圖示)

xyy{}}

可決系數可決系數的計算步驟如下：R2=SSR/SST=（SST-SSE）/SST=1-SSE/SSTR2稱為（樣本）可決系數，它是最常用的回歸直線擬合優度的度量，表示由回歸模型作出解釋的變差在總變差中所占的比重。上式表明，若樣本剩余SSE越小，R2的值就越大，擬和優度越好；反之，SSE越大，R2的值就越小，擬和優度越差.r2的取值范圍是：0

R2

1。R2=1意味著完全擬合，R2=0意味著因變量與自變量之間沒有關系回歸預測模型系數系數的顯著性檢驗（t檢驗）t檢驗使用的統計量計算公式是：5.計算與確定點預測與預測區間點預測y的平均值的點估計y的個別值的點估計區間預測置信區間估計(confidenceintervalestimate):利用估計的回歸方程，對于自變量x的一個給定值x0

，求出因變量y的平均值的估計區間預測區間估計(predictionintervalestimate)利用估計的回歸方程，對于自變量x的一個給定值x0

，求出因變量y的一個個別值的估計區間置信區間估計E(y0)

在1-置信水平下的置信區間為式中：sy為估計標準誤差預測區間估計y0在1-置信水平下的預測區間為注意！影響區間寬度的因素置信水平(1-

)區間寬度隨置信水平的增大而增大數據的離散程度(s)區間寬度隨離散程度的增大而增大3. 樣本容量區間寬度隨樣本容量的增大而減小4. 用于預測的xp與

x的差異程度區間寬度隨xp與

x的差異程度的增大而增大置信區間、預測區間、回歸方程xpyx

x預測上限置信上限預測下限置信下限第三節多元回歸預測模型

(multipleregressionmodel)一個因變量與兩個及兩個以上自變量的回歸描述因變量y如何依賴于自變量x1，x2，…，

xp

和誤差項

的方程，稱為多元回歸模型涉及p個自變量的多元回歸模型可表示為

b0

，b1，b2

，，bp是參數

是被稱為誤差項的隨機變量y是x1,，x2

，

，xp

的線性函數加上誤差項

包含在y里面但不能被p個自變量的線性關系所解釋的變異性多元回歸模型

(基本假定)

誤差項ε是一個期望值為0的隨機變量，即E(

)=0對于自變量x1，x2，…，xp的所有值，

的方差2都相同誤差項ε是一個服從正態分布的隨機變量，即ε~N(0,

2)，且相互獨立多元回歸方程

(multipleregressionequation)描述因變量y的平均值或期望值如何依賴于自變量x1，x2

，…，xp的方程多元線性回歸方程的形式為E(y)=

0+

1x1

+

2x2

+…+

pxp

b1，b2，，bp稱為偏回歸系數

bi

表示假定其他變量不變，當xi

每變動一個單位時，y的平均平均變動值

對于多元線性回歸模型

利用OLS法，有：

多元線性回歸模型的參數估計多元線性回歸模型的參數估計

分別求關于模型參數的一階偏導數，并令其等于零，得到：整理得：同樣稱上式為正規方程組。

多元線性回歸模型的參數估計多元線性回歸模型的參數估計（矩陣表示法）則正規方程組可以用矩陣表示成：

所以，參數的最小二乘估計為：多重判定系數

(multiplecoefficientofdetermination)

回歸平方和占總平方和的比例計算公式為3.因變量取值的變差中，能被估計的多元回歸方程所解釋的比例修正多重判定系數

(adjustedmultiplecoefficientofdetermination)

用樣本容量n和自變量的個數p去修正R2得到計算公式為避免增加自變量而高估R2意義與R2類似數值小于R2估計標準誤差Sy對誤差項

的標準差

的一個估計值衡量多元回歸方的程擬合優度計算公式為線性關系檢驗檢驗因變量與所有自變量之間的是否顯著也被稱為總體的顯著性檢驗檢驗方法是將回歸離差平方和(SSR)同剩余離差平方和(SSE)加以比較，應用F檢驗來分析二者之間的差別是否顯著如果是顯著的，因變量與自變量之間存在線性關系如果不顯著，因變量與自變量之間不存在線性關系線性關系檢驗1.提出假設H0：

1

2

p=0線性關系不顯著H1：

1，

2，，

p至少有一個不等于02.

計算檢驗統計量F3.

確定顯著性水平和分子自由度p、分母自由度n-p-1找出臨界值F

4.作出決策：若F>F

，拒絕H0若F>Fα，拒絕H0，模型的線性關系是顯著的；若F<Fα，接受H0，模型的線性關系不顯著，回歸模型無效。

檢驗通不過的原因可能在于：⑴解釋變量選取不當或遺漏重要解釋變量；⑵解釋變量與被解釋變量之間不存在線性相關關系；⑶樣本容量n比較小；⑷回歸模型存在序列相關(時間序列中,不同時期)。回歸模型顯著性檢驗（F檢驗）未通過的原因

H0：bi=0，即假設xi對y沒有顯著影響，則

給定α，可由t分布表查得臨界值tα/2,

若|t|>tα/2，拒絕H0，xi對y有顯著影響；若|t|≤tα/2，接受H0，認為xi對y影響不顯著，應考慮將xi從模型中剔除，重新建模。解釋變量的顯著性檢驗1．倒數變換模型（雙曲函數模型）2．雙對數模型（冪函數模型）3．半對數模型4．多項式模型5.S型曲線模型6.不可線性化模型的迭代估計法第四節非線性回歸模型設：即可變換為線性。模型1．倒數變換模型（雙曲函數模型）應用：平均固定成本曲線、商品成長曲線菲利普斯曲線等則轉換成線性回歸模型：

設:模型2．雙對數模型（冪函數模型）：彈性

模型y=a+blnx+ε(對數函數模型)lny=a+bx+ε(指數函數模型)

對數函數模型中，

指數函數模型中，

3．半對數模型對于模型

設:則:模型轉化成多元線性回歸模型。4．多項式模型5.S型曲線模型設有S形曲線方程如下：

常見初等函數曲線圖

可以采用：高斯—牛頓迭估計代法設模型

估計過程如下：（1）根據經濟理論和所掌握的資料，先確定一組數a0,b0,c0作為參數a,b,c的初始估計值；（2）將模型在點（a0,b0,c0）處展開成泰勒級數，并取一階近似值；6.不可線性化模型的迭代估計法（3）作變量變換，轉化成線性回歸模型,以利用OLS法估計模型，得到參數的第一組估計值（4）將代入線性回歸模型取代參數的上一組估計值，計算出一組新觀察值，進而得到a、b、c的第二組估計值。（5）重復第（4）步，逐次估計，直到第t+1次估計值的估計誤差小于事先取定的誤差精度時為止。并以第t+1次的計算結果作為參數a、b、c的估計值。不可線性化模型的迭代估計法第五節應用回歸預測時應注意的問題一、回歸預測的外推性問題二、回歸模型的比較三、誤差（殘差）分析四、古典回歸模型的擴展（計量經濟檢驗）1、《計量經濟學》龐皓編著，西南財大出版社，2001年2、《經濟計量學》張保法編著，經濟科學出版社，2000年版3、《計量經濟學》趙國慶編著，中國人民大學出版社，2001年4、《計量經濟學》謝識予編著，高等教育出版社，上海社會科學院出版社，2002年參考文獻一、回歸預測的外推性問題因為y0在1-置信水平下的預測區間為所以回歸預測的預測區間的兩頭是喇叭形的，在均值處是最窄的，不能任意外推太遠。注意！二、回歸模型的比較1．圖形觀察分析2．模型估計結果觀察分析3．殘差分布觀察分析（1）觀察趨勢圖

①變量的發展趨勢是否一致？

②解釋變量能否反映被解釋變量的波動變化情況？

③變量發展過程中是否有異常點等問題。（2）觀察相關圖

直觀地判斷兩者的相關程度和相關類型。1．圖形觀察分析（1）回歸系數的符號、值的大小。（2）改變模型形式之后是否使判定系數的值明顯提高。（3）各個解釋變量t檢驗的顯著性。（4）系數的估計誤差較小。（5）自相關檢驗2．模型估計結果觀察分析（1）各期殘差是否大都落在的內；（2）殘差分布是否具有某種規律性，即是否存在著系統誤差；（3）近期殘差的分布情況。

注意：當模型側重于預測，則應關注F,R2,當模型側重于因素分析，則應關注t。3．殘差分布觀察分析三、殘差(residual)分析因變量的觀測值與根據估計的回歸方程求出的預測值之差，用e表示反映了用估計的回歸方程去預測而引起的誤差確定有關誤差項

的假定是否成立檢測有影響的觀測值

殘差圖(residualplot)

表示殘差的圖形用于判斷誤差

的假定是否成立檢測有影響的觀測值殘差圖

(形態及判別)殘差圖

(例題分析)標準化殘差

(standardizedresidual)

殘差除以它的標準差后得到的數值。計算公式為

ei是第i個殘差的標準差，其計算公式為標準化殘差圖

用以直觀地判斷誤差項服從正態分布這一假定是否成立若假定成立，標準化殘差的分布也應服從正態分布在標準化殘差圖中，大約有95%的標準化殘差在--2到+2之間標準化殘差圖

用殘差檢測異常值(outlier)和有影響的觀測值如果某一個點與其他點所呈現的趨勢不相吻合，這個點就有可能是異常點，或稱為野點如果異常值是一個錯誤的數據，比如記錄錯誤造成的，應該修正該數據，以便改善回歸的效果如果是由于模型的假定不合理，使得標準化殘差偏大，應該考慮采用其他形式的模型，比如非線性模型如果完全是由于隨機因素而造成的異常值，則應該保留該數據在處理異常值時，若一個異常值是一個有效的觀測值，不應輕易地將其從數據集中予以剔出異常值(識別)異常值也可以通過標準化殘差來識別如果某一個觀測值所對應的標準化殘差較大，就可以識別為異常值一般情況下，當一個觀測值所對應的標準化殘差小于-2或大于+2時，就可以將其視為異常值有影響的觀測值如果某一個或某一些觀測值對回歸的結果有強烈的影響，那么該觀測值或這些觀測值就是有影響的觀測值一個有影響的觀測值可能是一個異常值，即有一個的值遠遠偏離了散點圖中的趨勢線對應一個遠離自變量平均值的觀測值或者是這二者組合而形成的觀測值，有影響的觀測值

(圖示)不存在影響值的趨勢有影響的觀測值存在影響值的趨勢杠桿率點(leveragepoint)如果自變量存在一個極端值，該觀測值則稱為高杠桿率點(highieveragepoint)在一元回歸中，第i個觀測值的杠桿率用hi表示，其計算公式為如果一個觀測值的杠桿率就可以將該觀測值識別為有高杠桿率的點一個有高杠桿率的觀測值未必是一個有影響的觀測值，它可能對回歸直線的斜率沒有什么影響高杠桿率點

(圖示)高杠桿率點異常值例題上海市居民1981年至1998年期間的收入和消費數據見附件，通過SPSS異常值診斷可知1998年的標準化回歸殘差大于2，為了消除該異常值的影響，可以引入虛擬變量

提高模型精度。

例題spss,EXCEL四、古典回歸模型的擴展（計量經濟檢驗）異方差檢驗自相關檢驗(DW)多重共線性檢驗（1）異方差性及其產生的原因（2）異方差性產生的后果（3）異方差性的檢驗（4）異方差的解決方法1.異方差性對于線性回歸模型yi=b0+b1x1i+b2x2i+…+bkxki+εi如果出現：D(εi)＝σ2i≠常數(i=1,2,….n)則稱模型出現了異方差性（Heteroskedasticity）。異方差性的概念模型中遺漏了隨時間變化影響逐漸增大的因素。模型函數形式的設定誤差。隨機因素的影響。異方差性產生的主要原因最小二乘估計不再是有效估計；無法正確估計系數的標準誤差；t檢驗的可靠性降低；增大模型的預測誤差。異方差性產生的后果（1）圖示檢驗法殘差分布圖分析相關圖分析（2）統計檢驗（WhiteorGleiser等檢驗）（參見計量經濟學書，參考書目見后）異方差性的檢驗

基本思想:變異方差為同方差，或盡量緩解方差變異的程度。1．模型變換法例如，對于模型yi=a+bxi+εi（1）如果σi2=D(εi)＝λxi2（λ>0，且為常數）因為異方差性的解決方法之一（模型變換法）

所以，用xi除以原模型的兩端，將模型變換成：設:則異方差性的解決方法之一（模型變換法）

（2）對于模型yi=a+bxi+εi,如果σi2=D(εi)＝λXi，因為所以，用除以原模型的兩端，將模型變換成：異方差性的解決方法之一（模型變換法）設:則

一般情況下，若D(εi)=λf(xi)，則以f(xi)的平方根除以原模型的兩端，即可將原模型中的異方差性予以消除.異方差性的解決方法之一（模型變換法）

2、加權最小二乘法（WLS）WLS是使:ωi是權數

ωi有兩個作用:一是權重，二是為了消除異方差。由于在極小化過程中對通常意義的殘差平方加上了權數ωi，所以稱為加權最小二乘法（WeightedLeastSquare—WLS。注意權數的變化趨勢應與異方差的變化趨勢相反，通常將ωi直接取成1/σi2。異方差性的解決方法之二（加權最小二乘法WLS）異方差例題美國18個行業1988年的銷售（SALE）、利潤和研究與發展支出（REDE）截面數據見鏈接附件，由于每個行業包括若干不同子類，各自類所包括公司的規模也各不相同，設模型為則明顯存在異方差，觀察殘差圖可知誤差方差正比與銷售量，可對模型采用以為權重的加權最小二乘法，也可對變量作相應變化，減弱異方差的影響。異方差例題也可做相應的變化，在等式兩邊同乘即原模型為新模型為

就可減弱異方差的影響，注意回歸方程中無常數項例題SPSS,EXCEL。

（1）自相關性及其產生的原因（2）自相關性的后果（3）自相關性的檢驗（4）自相關性的修正方法

2.自相關性概念對于模型yt=b0+b1x1t+b2x2t+…+bkxkt+εt如果：Cov(εt,εt-i)＝E(εtεt-i)≠0(i=1,2,…,s)則稱模型存在著自相關性（Autocorrelation）。自相關性概念經濟慣性；模型中遺漏了重要的解釋變量；模型形式設定不當；隨機因素的影響；數據處理造成的自相關。

自相關性產生原因

εt=ρ1εt-1+ρ2εt-2+…+ρpεt-p+νt稱之為p階自回歸形式，或模型存在p階自相關。

νt是滿足回歸模型基本假定的隨機誤差項。

ρ為自回歸系數（數值上等于自相關系數，證明略）自相關性表示最小二乘估計不再是有效估計；低估OLS估計的標準誤差；t檢驗失效；模型的預測精度降低。自相關性的后果

（1）殘差圖分析（2）德賓-沃森（Durbin-Watson，DW）檢驗（一階自相關檢驗）（3）高階自相關檢驗（略）

自相關性檢驗的方法德賓-沃森（Durbin-Watson，DW）檢驗

適用條件：隨機項一階自相關性；解釋變量與隨機項不相關，樣本容量較大。

基本原理和步驟：

(1)提出假設H0:ρ=0（2）構造檢驗統計量：

因為對于大樣本，

DW統計量與ρ之間的關系所以有:（3）檢驗自相關性：

若

DW=0即存在完全正自相關性

DW=4即存在負自相關性

DW=2即不存在(一階)自相關性

DW統計量與ρ之間的關系因為-1≤ρ≤1，所以0≤DW≤4。DW的概率分布很難確定，實際檢驗過程為（見下圖）：①0≤DW≤dL時，拒絕H0，存在（正）自相關性。②4-dL≤DW≤4時，拒絕H0，存在（負）自相關性。③dU≤DW≤4-dU時，接受H0，不存在自相關性。④dL<DW<dU，或4-dU<DW<4-dL時，無法判定是否存在自相關性。

4-dLdLdU4-dU42無自相關負自相關正自相關無法判定無法判定DW檢驗臨界值圖（1）D-W檢驗只能判斷是否存在一階自相關性。（2）D-W檢驗有兩個無法判定的區域。（3）如果模型的解釋變量中間含有滯后的被解釋變量，此時D-W檢驗失效。對此類模型Durbin又提出了一個新的檢驗統計量，稱為Durbin-h統計量：

D-W自相關性檢驗注意問題設yt=a+bxt+εt，εt=ρεt-1+υt模型滯后一期:yt-1=a+bxt-1+εt-1兩邊同乘以ρ，與原模型相減：yt-ρyt-1=a(1-ρ)+b(xt-ρxt-1)+(εt-ρεt-1)作廣義差分變換：則其中，A=a(1-ρ)。利用OLS法估計A、b，進而得到：

自相關性的修正方法（廣義差分法）

在大樣本(n≥30)情況下，DW≈2（1-ρ），所以，對于小樣本(n<30)，泰爾（Thei1.H）建議使用下述近似公式：其中k為解釋變量個數，當n→∞時，=1-DW/2。ρ的常用估計方法之一（近似估計法）①利用OLS法估計模型，計算第一輪殘差et(1)；②根據殘差et(1)計算ρ的（第一輪）估計值：

③利用估計的ρ值進行廣義差分變換，并估計廣義差分模型④計算（第二輪）殘差和ρ的估計值：⑤重復執行③、④兩步，直到ρ的前后兩次估計值比較接近，即估計誤差小于事先給定的精度δ時為止ρ的常用估計方法之二（迭代估計法

）自相關例題

某地區出口A類商品的商品總值與國民生產總值見鏈接SPSS;EXCEL

，直接采用OLS估計可得到DW=0.951,對Y和X分別作廣義差分變換,令

再進行OLS估計得到DW=1.563,查表可知已消除了自相關。結果鏈接（1）多重共線性及其產生的原因（2）多重共線性的后果（3）多重共線性的檢驗（4）多重共線性的修正方法3.多重共線性

對于模型yi=b0+b1x1i+b2x2i+…+bkxki+εi，若解釋變量之間存在較強的線性相關關系，即存在一組不全為零的常數λ1，λ2，…λk，使得λ1x1i+λ2x2i+…+λkxki+νi=0則稱模型存在著多重共線性如果νi=0,則稱存在完全的多重共線性。多重共線性概念⑴經濟變量的內在聯系。⑵經濟變量變化趨勢的“同向性”。⑶滯后變量作為解釋變量。

多重共線性產生的主要原因（1）增大OLS估計的方差。設模型為：yi=a+b1x1i+b2x2i+εi則，的方差為：

稱為方差膨脹因子(VarianceInflatingFactor)，記成VIF。r12為x1、x2的相關系數多重共線性的后果（2）無法正確反映每個解釋變量對被解釋變量的單獨影響。（3）t檢驗的可靠性降低。（4）回歸模型缺乏穩定性。

VIF表明：當x1、x2高度相關時（即r12→1），VIF→+∞；OLS估計量的方差將成倍增長，直至趨于無窮大。多重共線性的后果（１）簡單相關系數法（２）輔助回歸模型檢驗(i=1,2,…,k)多重共線性的檢驗（３）方差膨脹因子檢驗對于多元線性回歸模型，的方差可以表示成:

一般當VIF>10時（此時Ri2>0.9），認為模型存在較嚴重的多重共線性。

Ri2為xi關于其它解釋變量輔助回歸模型的判定系數

為方差膨脹因子多重共線性的檢驗

另一個與VIF等價的指標是“容許度”（Tolerance），其定義為：

顯然，0≤TOL≤1；當xi與其它解釋變量高度相關時，TOL→0。因此，一般當TOL<0.1時，認為模型存在較嚴重的多重共線性多重共線性的檢驗

首先明確建立模型的目的：預測、結構分析或政策評價。（1）直接剔除次要或可替代的變量需注意產生新的問題:①模型的經濟意義不合理；②是否使模型產生異方差性或自相關性；③若剔除不當,可能會產生模型設定誤差，造成參數估計嚴重有偏多重共線性的修正方法（2）間接剔除重要的解釋變量①利用附加信息生產函數，L與K通常高度相關已知附加信息：α+β=1（規模報酬不變）

或

記y=Y/L,k=K/L則C-D生產函數可以表示成:y=Akβ利用OLS法估計，進而得到則多重共線性的修正方法

②變換模型的形式變換模型的函數形式變換模型的變量形式改變變量的統計指標

③綜合使用時序數據與橫截面數據（增加樣本容量）。

可以看出，最終還是通過減少模型中解釋變量個數的方式來消除多重共線性的影響，但并不是直接剔除有重要影響的解釋變量。多重共線性的修正方法

（3）逐步回歸基本原理：從所有解釋變量中間先選擇影響最為顯著的變量建立模型，然后再將模型之外的變量逐個引入模型；每引入一個變量，就對模型中的所有變量進行一次顯著性檢驗，并從中剔除不顯著的變量；逐步引入—剔除—引入，直到模型之外所有變量均不顯著時為止。

例題SPSSEXCEL及結果

多重共線性的修正方法4時間序列分解法和趨勢外推法

4.1趨勢外推法概述

4.2多項式曲線趨勢外推法

4.3指數曲線趨勢外推法

4.4生長曲線趨勢外推法

4.5曲線擬合優度分析4.1趨勢外推法概述一、趨勢外推法概念和假定條件趨勢外推法概念：當預測對象依時間變化呈現某種上升或下降趨勢，沒有明顯的季節波動，且能找到一個合適的函數曲線反映這種變化趨勢時，就可以用趨勢外推法進行預測。

趨勢外推法的兩個假定：（1）假設事物發展過程沒有跳躍式變化；（2）假定事物的發展因素也決定事物未來的發展，其條件是不變或變化不大。

二、趨勢模型的種類多項式曲線外推模型：一次（線性）預測模型：二次（二次拋物線）預測模型：三次（三次拋物線）預測模型：一般形式：指數曲線預測模型：一般形式：

修正的指數曲線預測模型：對數曲線預測模型：生長曲線趨勢外推法：皮爾曲線預測模型：龔珀茲曲線預測模型：

三、趨勢模型的選擇

圖形識別法：常見初等函數曲線圖

這種方法是通過繪制散點圖來進行的，即將時間序列的數據繪制成以時間t為橫軸，時序觀察值為縱軸的圖形，觀察并將其變化曲線與各類函數曲線模型的圖形進行比較，以便選擇較為合適的模型。差分法：利用差分法把數據修勻，使非平穩序列達到平穩序列。一階向后差分可以表示為：二階向后差分可以表示為：

差分法識別標準：差分特性使用模型一階差分相等或大致相等一次線性模型二階差分相等或大致相等二次線性模型三階差分相等或大致相等三次線性模型一階差分比率相等或大致相等指數曲線模型一階差分的一階比率相等或大致相等修正指數曲線模型4.2多項式曲線趨勢外推法一、二次多項式曲線模型及其應用二次多項式曲線預測模型為：多項式曲線規律N次多項式預測模型對該式關于t求n階導數，得到bnn!,為一常數，可知，當數據的n階差分近似為常數時，宜配合n次多項式。模型可通過簡單的數學變換變成多元線性模型，再采用多元線性回歸的方式估計參數。設有一組統計數據，，…，，令即：解這個三元一次方程就可求得參數。二、三次多項式曲線預測模型及其應用

三次多項式曲線預測模型為：設有一組統計數據，，…，，令即：解這個四元一次方程就可求得參數。多項式曲線外推法例題某市1990年至2006年棉布產量時間序列資料見鏈接，試預測2007年的棉布產量。題中數據的一階差分依然有上漲的趨勢，而二階差分幾乎等于某一常數，所以擬合二次曲線非常合適，即曲線為多項式曲線外推法例題通過SPSS計算得出回歸方程為2007年的點預測值為（單位：億米）2007年95%近似預測區間為（單位：億米）4.3指數曲線趨勢外推法一、指數曲線模型及其應用

指數曲線預測模型為：對函數模型做線性變換得：令，則這樣，就把指數曲線模型轉化為直線模型了。指數曲線模型的特點環比發展數度為常數，即一階差比率為常數：指數曲線模型例題例：1995年以來某地居民儲蓄存款余額數據如鏈接所示。試預測該地居民2007年的儲蓄存款余額。解：第一步：選擇預測模型，可畫散點圖和計算環比發展速度；第二步：估計模型參數，先對數線性化后再用普通最小二乘法估計參數；第三步：預測2007年的儲蓄存款余額。指數曲線模型例題經計算的綜合例題

下表是我國1952年到1983年社會商品零售總額（按當年價格計算），分析預測我國社會商品零售總額。年份時序（t）總額（yt

）年份時序（t）總額（

yt

）年份時序（t）總額（

yt

）19521276.8196312604.51974231163.619532348.0196413638.21975241271.119543381.1196514670.31976251339.419554392.2196615732.81977261432.819565461.0196716770.51978271558.619576474.2196817737.31979281800.019587548.0196918801.51980292140.019598638.0197019858.01981302350.019609696.9197120929.21982312570.0196110607.71972211023.31983322849.4196211604.01973221106.7（1）對數據畫折線圖分析，以社會商品零售總額為

y軸，年份為x軸。（2）從圖形可以看出大致的曲線增長模式，較符合的模型有二次曲線和指數曲線模型。但無法確定哪一個模型能更好地擬合該曲線，則我們將分別對該兩種模型進行參數擬合。

適用的二次曲線模型為：

適用的指數曲線模型為：（3）進行二次曲線擬合。首先產生序列，然后運用普通最小二乘法對模型各參數進行估計。得到估計模型為：其中調整的，，則方程通過顯著性檢驗，擬合效果很好。標準誤差為151.7。

(4)進行