試題試題2024北京五十五中高一12月月考數學本試卷共4頁，共150分，考試時長120分鐘第一部分（選擇題共40分）一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項，把答案填在答題紙上）1.若集合，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.2.下列函數中是奇函數的是（）A. B. C. D.3.已知，則（）A. B. C. D.4.“”是“函數存在零點”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.若在處取得最小值，則（）A. B.3 C. D.46.已知奇函數的定義域為，且在上單調遞減．若，則的解集為（）A. B.C. D.7.已知函數的圖像如圖所示，則此函數可能是（）A. B.C. D.8.已知函數是上的減函數，則a的范圍是（）A. B. C. D.9.記函數在上的最大值是，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.010.中國茶文化博大精深．茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關．經驗表明，有一種茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至55℃時飲用，可以產生最佳口感．某研究人員在室溫下，每隔1min測一次茶水溫度，得到數據如下：放置時間/min012345茶水溫度/℃85.0079.0073.6068.7464.3760.43為了描述茶水溫度與放置時間的關系，現有以下兩種函數模型供選擇：①，②．選擇最符合實際的函數模型，可求得剛泡好的茶水達到最佳口感所需放置時間大約為（）（參考數據：，）A.6min B.6.5min C.7min D.7.5min第二部分（非選擇題共110分）二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題紙上）11.函數的定義域________.12.__________．13.函數（且）恒過定點________14.已知函數①若，則x的值是________②若且，則的取值范圍是________15.人口問題是關系民族發展的大事．歷史上在研究受資源約束的人口增長問題中，有學者提出了“Logisticmodel”：，其中均為正常數，且，該模型描述了人口隨時間t的變化規律．給出下列三個結論：①；②在上是增函數；③．其中所有正確結論的序號是_______________．三、解答題（共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．）16.已知集合，.（1）當時，求；（2）若，求實數a的取值范圍.17.已知定義在的函數的圖象如圖所示，其中y軸的左側為一條線段，右側為指數函數的一部分．（1）寫出函數的解析式和值域；（2）求的值．（3）若方程有兩個不相等的實根，求實數m的取值范圍18.已知函數，（1）若函數是偶函數，求實數的值；（2）若在區間上單調遞減，求實數的取值范圍；（3），直接寫出與的大小關系（不用證明）.19.已知函數的零點是．（1）求實數的值；（2）判斷函數的單調性，并說明理由；（3）設，若不等式在區間上有解，求的取值范圍．20.某公司為改善營運環境，年初以萬元的價格購進一輛豪華客車．已知該客車每年的營運總收入為萬元，使用年所需的各種費用總計為萬元．（1）該車營運第幾年開始贏利（總收入超過總支出，今年為第一年）；（2）該車若干年后有兩種處理方案：①當贏利總額達到最大值時，以萬元價格賣出；②當年平均贏利總額達到最大值時，以萬元的價格賣出．問：哪一種方案較為合算？并說明理由．21.設集合，如果對于的每一個含有個元素的子集P，P中必有4個元素的和等于，稱正整數為集合的一個“相關數”.（1）當時，判斷5和6是否為集合的“相關數”，說明理由；（2）若為集合的“相關數”，證明：；（3）給定正整數，求集合的“相關數”m的最小值.

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項，把答案填在答題紙上）1.【答案】C【分析】根據元素與集合的關系可判斷A，求出可判斷BC；求出可判斷D.【詳解】，，，故A錯誤；，所以，故B錯誤，C正確；，故D錯誤.故選：C.2.【答案】D【分析】利用奇函數的定義，逐項判斷得解.【詳解】對于A，函數定義域為R，而，不是奇函數，A不是；對于B，函數的定義域為，不是奇函數，B不是；對于C，函數的定義域為R，而，不是奇函數，C不是；對于D，函數的定義域為R，，則是奇函數，D是.故選：D3.【答案】D【分析】利用作差法可判斷A，B；根據函數的單調性可判斷C，D.【詳解】因為，所以，對于A，，所以，故A錯誤；對于B，，所以，故B錯誤；對于C，因為在上單調遞增，且，所以，故C錯誤；對于D，因為在上單調遞增，且，則，所以，故D正確.故選：D.4.【答案】C【分析】根據函數零點的性質結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【詳解】若函數存在零點，則有實數解，即有實數解，因為，所以，而，由得，則“”是“函數存在零點”的充分必要條件.故選：C5.【答案】B【分析】利用基本不等式求出最小值即可得解.【詳解】由，得，則，當且僅當，即時取等號，所以當時，取得最小值2，因此.故選：B6.【答案】B【分析】利用奇函數的性質結合單調性計算即可.【詳解】根據奇函數的性質可知在0,+∞和上單調遞減，且，所以的解集為.故選：B7.【答案】C【分析】通過函數的定義域排除AB，計算特殊值排除D，得到答案.【詳解】的定義域為，不符合函數圖像，A不滿足；的定義域為，不符合函數圖像，B不滿足；，，不符合函數圖像，D不滿足.故選：C8.【答案】A【分析】分段函數是上的減函數，不僅需要每一段是單調遞減的，還需要左邊一段的最低不高于右邊一段的最高，據此列不等式求解即可.【詳解】函數是上的減函數,則，解得故選：A.9.【答案】A【分析】結合函數的圖象求出，再由的圖象可得答案.【詳解】函數的圖象如下，令，解得，當時，，當時，，所以，其圖象如下，則的最小值為.故選：A.10.【答案】B【分析】根據每分鐘茶水溫度的減少值呈現越來越小的變化趨勢，可判定應當選擇模型①為更符合實際的模型.利用前兩組數據可以求得和的值，進而將最佳口感溫度代入所求得解析式，利用對數的運算性質求得的值，即可做出判斷.【詳解】由表格中數據可得，每分鐘茶水溫度的減少值依次為6,5.4,4.86,4.37,3.94,呈現越來越小的變化趨勢，故選用模型①為更符合實際的模型.由x=0時，，代入，得,解得.∴.

由x=1時,可得，解得,∴,由,得,∴,,剛泡好的茶水達到最佳口感所需放置時間大約為6.5min,故選:B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題紙上）11.【答案】【分析】根據對數函數有意義的條件得到不等式求解.【詳解】要使函數有意義，則，即，所以函數的定義域為，故答案為:.12.【答案】【分析】根據指數冪與對數的運算性質，準確運算，即可求解.【詳解】由指數冪和對數的運算性質，可得.故答案為：.13.【答案】2,0【分析】根據指數函數的性質進行求解即可.【詳解】由得，此時，即函數過定點.故答案為：.14.【答案】①.或②.【分析】（1）根據函數值求自變量的值.（2）設，根據函數解析式，把轉化成二次函數在給定區間上的值域問題求解.【詳解】（1）若，由；若，由；所以或；（2）設，由題意：，；，，；所以，，所以.故答案為：或；.15.【答案】①②③【分析】①代入函數值即可求解；②求導后確定函數的單調性即可；③進行等價證明看是否復合條件即可.【詳解】①當，所以；②，因為均為正常數，且，所以，所以在上是增函數；③，等價于，即等價于，即等價于，等價于，而恒成立，且，所以恒成立，即．故選項③正確.故答案為：①②③.三、解答題（共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．）16.【答案】（1）（2）【分析】（1）代入，求解集合，，按照交集的定義直接求解即可；（2）求解集合，由并集為全集得出集合的范圍，從而求出的范圍.【小問1詳解】解：由得或.所以.當時，所以.【小問2詳解】由題意知].又，因為，所以.所以.所以實數的取值范圍是.17.【答案】（1）；（2）（3）0,1【分析】（1）當，函數為一次函數，設其解析式為；當x∈0,+∞，設指數函數解析式為,結合待定系數法即可求出函數解析式，由圖象可得值域；（2）由函數的解析式，分別計算求的值即可得答案；（3）求當直線與y=fx圖象有兩個交點時的的值即可.【小問1詳解】當，函數為一次函數，設其解析式為．∵點0,2和在該一次函數的圖象上，∴，解得，∴．當x∈0,+∞，函數為指數函數且是故設其解析式為,∵點在該指數函數的圖象上，即.∴，綜上，，觀察圖象可知fx的值域為；【小問2詳解】∵，∴，又∵，∴，所以；【小問3詳解】若方程有兩個不相等的實根，則直線與y=fx圖象有兩個交點，由圖象可知，.故實數m的取值范圍為0,1.18.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）直接根據偶函數的定義得到答案；（2）利用二次函數性質可得結果；（3）直接證明即可.【小問1詳解】若fx是偶函數，則，即，解得；當時，確實是偶函數.所以的值是.【小問2詳解】由于單調遞增，故命題等價于fx在上單調遞減.根據二次函數的性質可知，這等價于對稱軸在直線處或其右側，也就是，即.所以的取值范圍是.【小問3詳解】由于.故.19.【答案】（1）（2）在上是單調遞減函數，理由見解析（3）【分析】（1）根據可求出結果；（2）根據對數函數的單調性和單調性的定義可得結果；（3）轉化為在區間上有解，換元后化為在區間上有解，令，，化為，根據二次函數知識求出的最大值可得答案.【小問1詳解】因為函數的零點是，所以，即，所以，解得.【小問2詳解】由（1）知，，在上是單調遞減函數，理由如下：設，則，因為，所以，因為為增函數，所以，所以，所以在上是單調遞減函數.【小問3詳解】因為不等式在區間上有解，所以在區間上有解，所以在區間上有解，因為為增函數，所以在區間上有解，所以在區間上有解，令，因為，所以，所以在區間上有解，令，，則，因為在上單調遞減，所以當時，.所以.20.【答案】（1）第3年開始贏利；（2）方案②合算．理由見解析.【分析】（1）設該車年開始盈利，可構造不等關系，結合可求得解集，由此得到結果；（2）由二次函數最值和基本不等式求最值分別求得兩種方案的盈利總額，通過比較盈利總額和所需時長，得到方案②合算．【詳解】（1）客車每年的營運總收入為萬元，使用年所需的各種費用總計為萬元，若該車年開始贏利，則，即，，，該車營運第年開始贏利．（2）方案①贏利總額，時，贏利總額達到最大值為萬元．年后賣出客車，可獲利潤總額為萬元．方案②年平均贏利總額（當且僅當時取等號）．時年平均贏利總額達到最大值萬元．年后賣出客車，可獲利潤總額為萬元．兩種方案的利潤總額一樣，但方案②的時間短，方案②合算．【點睛】關鍵點點睛：本題考查建立擬合函數模型求解實際問題，解題關鍵是能夠根據已知條件構造出合適的函數模型，結合二次函數性質和基本不等式求得函數的最值.21.【答案】（1）5不是集合的“相關數”，6是集合的“相關數”，理由見解析（2）證明見解析（3）【分析】（1）根據相關數的定義判斷，即可求解；（2）根據相關數的定義，得到時，一定不是集合的“相關數”，得到，從而證明結論；（3）根據，將集合的元素分成組，對的任意一個含有個元素的子集，必有三組同屬于集合，不妨設與無相同元素，此時這4個元素之和為，從而求出的最小值．【小問1詳解】解：當時，，①對于的含有5個元素的子集，因為，所以5不是集合的“相關數”；②的含有6個元素的子集只有，因為，所以6是集合的“相關數”．【小問2詳解】證明：考察集合的含有個元素的子集，中任意4個元素之和一定不小于，所以一定