答案第=page11頁，共=sectionpages22頁7.3離散型隨機變量的數字特征第七章隨機變量及其分布7.3離散型隨機變量的數字特征7.3.1離散型隨機變量的均值例1在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分．如果某運動員罰球命中的概率為0.8．那么他罰球1次的得分X的均值是多少？分析：罰球有命中和不中兩種可能結果，命中時，不中時，因此隨機變量X服從兩點分布．X的均值反映了該運動員罰球1次的平均得分水平．解：因為，，所以．即該運動員罰球1次的得分X的均值是0.8．一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么．例2拋擲一枚質地均勻的骰子，設出現的點數為X，求X的均值．分析：先求出X的分布列，再根據定義計算X的均值．解：X的分布列為，，2，3，4，5．6．因此，．例3猜歌名游戲是根據歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名．某嘉賓參加猜歌名節目，猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對時獲得相應的公益基金如表7.3-3所示．表7.3-3規則如下：按照A，B，C的順序猜，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首．求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值．分析：根據規則，公益基金總額X的可能取值有四種情況：猜錯A，獲得0元基金；猜對A而猜錯B，獲得1000元基金；猜對A和B而猜錯C，獲得3000元基金；A，C全部猜對．獲得6000元基金，因此X是一個離散型隨機變量，利用獨立條件下的乘法公式可求分布列．解：分別用A，B，C表示猜對歌曲A，B，C歌名的事件，則A，B，C相互獨立．，，，．X的分布列如表7.3-4所示．表7.3-4X的均值為．例4根據天氣預報，某地區近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區某工地上有一臺大型設備，遇到大洪水時要損失60600元，遇到小洪水時要損失10000元．為保護設備，有以下3種方案：方案1運走設備，搬運費為3800元；方案2建保護圍墻，建設費為2000元，但圍墻只能防小洪水；方案3不采取措施．工地的領導該如何決策呢？分析：決策目標為總損失（即投入費用與設備損失之和）越小越好．根據題意，各種方案在不同狀態下的總損失如表7.3-5所示．7.3-5方案2和方案3的總損失都是隨機變量，可以采用期望總損失最小的方案．解：設方案1、方案2、方案3的總損失分別為，，．采用方案1，無論有無洪水，都損失3800元．因此，．采用方案2，遇到大洪水時，總損失為元；沒有大洪水時，總損失為2000元．因此，，．采用方案3，，，．于是，，，．因此，從期望損失最小的角度，應采取方案2．練習1．已知隨機變量X的分布列為：X12345P0.10.30.40.10.1（1）求；（2）求．2．拋擲一枚硬幣，規定正面向上得1分，反面向上得分，求得分X的均值．3．甲、乙兩臺機床生產同一種零件，它們生產的產量相同，在1h內生產出的次品數分別為，其分布列分別為：甲機床次品數的分布列0123P0.40.30.20.1乙機床次品數的分布列012P0.30.50.2哪臺機床更好？請解釋你所得出結論的實際含義？7.3.2離散型隨機變量的方差例5拋擲一枚質地均勻的骰子，求擲出的點數X的方差．解：隨機變量X的分布列為，，3，4，5，6．因為，，所以．例6投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如表7.3-9和表7.3-10所示．表7.3-9股票A收益的分布列表7.3-10股票B收益的分布列（1）投資哪種股票的期望收益大？（2）投資哪種股票的風險較高？分析：股票投資收益是隨機變量，期望收益就是隨機變量的均值．投資風險是指收益的不確定性，在兩種股票期望收益相差不大的情況下，可以用收益的方差來度量它們的投資風險高低，方差越大風險越高，方差越小風險越低．解：（1）股票A和股票B投資收益的期望分別為，．因為，所以投資股票A的期望收益較大．（2）股票A和股票B投資收益的方差分別為，．因為和相差不大，且，所以投資股票A比投資股票B的風險高．練習4．已知隨機變量X的分布列為：X1234P0.20.30.40.1求和．5．若隨機變量X滿足，其中c為常數，求．6．甲、乙兩個班級同學分別目測數學教科書的長度，其誤差（精確到1cm）X和Y的分布列如下：甲班的目測誤差分布列X012P0.10.20.40.20.1乙班的目測誤差分布列Y012P0.050.150.60.150.05先直觀判斷X和Y的分布哪一個離散程度大，再分別計算X和Y的方差，驗證你的判斷．習題7.3復習鞏固7．某品牌手機投放市場，每部手機可能發生按定價售出、打折后售出、沒有售出而收回三種情況．按定價售出每部利潤100元，打折后售出每部利潤0元，沒有售出而收回每部利潤元．據市場分析，發生這三種情況的概率分別為0.6，0.3，0.1.求每部手機獲利的均值和方差．8．現要發行10000張彩票，其中中獎金額為2元的彩票1000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張．1張彩票可能中獎金額的均值是多少元？9．隨機變量X的分布列為，，，若，求a和b．10．在單項選擇題中，每道題有4個選項，其中僅有一個選項正確．如果從四個選項中隨機選一個，選對的概率為0.25．請給選對和選錯分別賦予合適的分值，使得隨機選擇時得分的均值為0．11．證明：．綜合運用12．有A和B兩道謎語，張某猜對A謎語的概率為0.8，猜對得獎金10元；猜對B謎語的概率為0.5，猜對得獎金20元，規則規定：只有在猜對第一道謎語的情況下，才有資格猜第二道．如果猜謎順序由張某選擇，他應該選擇先猜哪一道謎語？13．甲、乙兩種品牌的手表，它們的日走時誤差分別為X和Y（單位：s），其分布列