高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省連云港市贛榆區2024-2025學年高一下學期4月期中學業水平質量監測數學試題（A）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上）1.設，若向量，，且，則m的值為（）A. B. C.4 D.9【答案】D【解析】由題意得，解得.故選：D2.設復數，（）.若為實數，則（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】，為實數，故，解得.故選：B3.在中，若，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等邊三角形【答案】A【解析】由，結合正弦定理可得：，，可得：，，則的形狀為等腰三角形．故選：．4.在中，C是AB上一點，且，若，則實數的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】，所以，故.故選：D5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，聯立可得，所以.故選：B6.已知非零向量在向量上的投影向量為，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在向量上的投影向量為，故，所以，又，所以，所以.故選：C7.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，，所以，即，所以，解得或（舍），所以，故選：B8.一船在海上自西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東，前進m千米后在B處測得該島的方位角為北偏東，已知該島周圍n千米范圍內（包括邊界）有暗礁，現該船繼續東行，若該船沒有觸礁危險，則，滿足的條件為（）①②③④A.①③ B.②③ C.①④ D.②④【答案】C【解析】由題意可知，，，過M作于C，設，根據正弦定理可得，，又因為x=BM?cos即，故（1）正確，mn>sin故選：C二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共計18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分）9.已知復數（為虛數單位），則下列說法正確的是（）A.z的虛部為B.復數z在復平面內對應的點位于第三象限C.z的共軛復數D.【答案】AD【解析】A選項，，故虛部為-2，A正確；B選項，z在復平面內對應的點坐標為，位于第四象限，B錯誤；C選項，z的共軛復數，C錯誤；D選項，，D正確.故選：AD10.已知，，是三個非零向量，則下列結論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，，則D.不與垂直【答案】AC【解析】A選項，，又，，是非零向量，所以，所以同向共線，A正確；B選項，若，則，非零向量，故，故不一定相等，B錯誤；C選項，若，，設，故，，C正確；D選項，，與垂直，D錯誤.故選：AC11.在中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法正確的有（）A.若，則為直角三角形B.若，則為等腰三角形C.若，則D.若是銳角三角形，則【答案】ACD【解析】A選項，由正弦定理得，故，故，所以，即，則為直角三角形，A正確；B選項，若，則，由正弦定理得，又，故，所以，即，，所以或，所以或，為等腰三角形或直角三角形，B錯誤；C選項，若，則，由正弦定理得，又，，故，C正確；D選項，若是銳角三角形，則，則，其中，，又在上單調遞增，故，故D正確.故選：ACD三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）12.在中，已知，，，則＝__________．【答案】或.【解析】由，且根據正弦定理可知，因為，所以或.故答案為：或.13.已知，則__________.【答案】【解析】由，得：，，，所以，故答案為：14.在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，的面積，若且，則______.【答案】【解析】，故，又，故，所以，因為，所以，故，，因為，所以，由三角形面積公式得，又，故，所以，由余弦定理得，即，所以，方程兩邊同除以得，解得，又，故，所以滿足要求，舍去，故.故答案為：四、解答題（本大題共5個小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知向量，，.（1）求；（2）求與的夾角.解：（1），故，故，解得，故，所以；（2），又，故.16.已知復數（）（1）若，求實數m的值；（2）若z為虛數，求實數m的取值范圍；（3）若復數z對應的點在第四象限，求實數m的取值范圍.解：（1），故為實數，，解得；（2）z為虛數，故，所以；（3）由題意得，解得17.定義向量的“伴隨函數”為，函數的“伴隨向量”為.（1）寫出向量的伴隨函數，并直接寫出的最大值M；（2）求函數的伴隨向量的模.解：（1）向量的伴隨函數為，，當，即時，取得最大值，最大值；（2），故伴隨向量，故.18.在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求證：；（2）若D為BC的中點，，，求AD的長.（1）證明：由正弦定理得，所以，即，又，故，所以；（2）解：由（1）知，，故，延長至點，使得，連接，因為D為BC的中點，所以，又，所以≌，所以，在中，，由余弦定理得，即，解得，所以.19.在非直角三角形ABC中，邊長a，b，c滿足（，且）（1）若，且，求的值；（2）求證：；（3）是否存在函數，使得對于一切滿足條件的，代數式恒為定值？若存在，請給出一個滿足條件的，并證明，若不存在，請給出一個理由.（1）解：由正弦定理可得，即，即，又，即，由余弦定理可得.（2）證明：因為，所以，即.則.故，即.故.（3）解：存在.下面給出證明:因，所以，.展開整理可得，即,故.因此，.所以，存函數.江蘇省連云港市贛榆區2024-2025學年高一下學期4月期中學業水平質量監測數學試題（A）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上）1.設，若向量，，且，則m的值為（）A. B. C.4 D.9【答案】D【解析】由題意得，解得.故選：D2.設復數，（）.若為實數，則（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】，為實數，故，解得.故選：B3.在中，若，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等邊三角形【答案】A【解析】由，結合正弦定理可得：，，可得：，，則的形狀為等腰三角形．故選：．4.在中，C是AB上一點，且，若，則實數的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】，所以，故.故選：D5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，聯立可得，所以.故選：B6.已知非零向量在向量上的投影向量為，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在向量上的投影向量為，故，所以，又，所以，所以.故選：C7.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，，所以，即，所以，解得或（舍），所以，故選：B8.一船在海上自西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東，前進m千米后在B處測得該島的方位角為北偏東，已知該島周圍n千米范圍內（包括邊界）有暗礁，現該船繼續東行，若該船沒有觸礁危險，則，滿足的條件為（）①②③④A.①③ B.②③ C.①④ D.②④【答案】C【解析】由題意可知，，，過M作于C，設，根據正弦定理可得，，又因為x=BM?cos即，故（1）正確，mn>sin故選：C二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共計18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分）9.已知復數（為虛數單位），則下列說法正確的是（）A.z的虛部為B.復數z在復平面內對應的點位于第三象限C.z的共軛復數D.【答案】AD【解析】A選項，，故虛部為-2，A正確；B選項，z在復平面內對應的點坐標為，位于第四象限，B錯誤；C選項，z的共軛復數，C錯誤；D選項，，D正確.故選：AD10.已知，，是三個非零向量，則下列結論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，，則D.不與垂直【答案】AC【解析】A選項，，又，，是非零向量，所以，所以同向共線，A正確；B選項，若，則，非零向量，故，故不一定相等，B錯誤；C選項，若，，設，故，，C正確；D選項，，與垂直，D錯誤.故選：AC11.在中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法正確的有（）A.若，則為直角三角形B.若，則為等腰三角形C.若，則D.若是銳角三角形，則【答案】ACD【解析】A選項，由正弦定理得，故，故，所以，即，則為直角三角形，A正確；B選項，若，則，由正弦定理得，又，故，所以，即，，所以或，所以或，為等腰三角形或直角三角形，B錯誤；C選項，若，則，由正弦定理得，又，，故，C正確；D選項，若是銳角三角形，則，則，其中，，又在上單調遞增，故，故D正確.故選：ACD三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）12.在中，已知，，，則＝__________．【答案】或.【解析】由，且根據正弦定理可知，因為，所以或.故答案為：或.13.已知，則__________.【答案】【解析】由，得：，，，所以，故答案為：14.在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，的面積，若且，則______.【答案】【解析】，故，又，故，所以，因為，所以，故，，因為，所以，由三角形面積公式得，又，故，所以，由余弦定理得，即，所以，方程兩邊同除以得，解得，又，故，所以滿足要求，舍去，故.故答案為：四、解答題（本大題共5個小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知向量，，.（1）求；（2）求與的夾角.解：（1），故，故，解得，故，所以；（2），又，故.16.已知復數（）（1）若，求實數m的值；（2）若z為虛數，求實數m的取值范圍；（3）若復數z對應的點在第四象限，求實數m的取值范圍.解：（1），故為實數，，解得；（2）z為虛數，故，所以；（3）由題意得，解得17.定義向量的“伴隨函數”為，函數的“伴隨向量”為.（1）寫出向量的伴隨函數，并直接寫出的最大值M；（2）求函數的伴隨向量的模.解：（1）向量的伴隨函數為，，當，即時，取得最大值，最大值；（2），故伴隨向量，故.18.在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求證：；（2）若D為BC的中點，，，求AD的長.（1）證明：由正弦定理得，所以，即，又，故，所以；（2）解：由（1）知，，故，延長至點，使得，連接，因為D為BC的中點