高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省常州市2024-2025學年高一下學期4月期中質量調研數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將答題卡交回一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】復數，則.故選：B.2.在下列各組向量中，可以作為基底的是（）A， B.，C.， D.，【答案】C【解析】對于A，，，由于，所以與共線，它們不可以作為基底；對于B，，，根據零向量與平面內任意向量共線，可知與不可以作為基底；對于C，，，根據，可知與不共線，它們可以作為基底；對于D，，，由于，所以與共線，它們不可以作為基底．故選：C．3.中的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，則（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】由正弦定理可得：，代入得：，解得，因為，所以，即，故選：A.4.在中，設，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】在中，；①在中，；②①+②，得因為，所以，即故選：D.5.設中的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的形狀是（）A.銳角三角形 B.等腰直角三角形 C.鈍角三角形 D.直角三角形【答案】D【解析】由，利用正弦定理：，整理得，因為，所以，故，故．所以為直角三角形.故選：D．6.設是方程的兩根，且，則（）A. B. C.或 D.【答案】B【解析】因為是方程的兩根，所以，所以，因為，所以，所以，則，所以.故選：B.7.在正六邊形中，是正六邊形內部以及邊界上任意一點，且，則的最大值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】如圖，過作于，設正六邊形的邊長為，則，，則，因為，所以，又，由于是正六邊形內部以及邊界上任意一點，所以，所以，即，所以，故的最大值為.故選：C.8.在中，，，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，，則，，在中，有，即，即，有，故，，，則，其中，，則當，即時，有最大值，由，則，由，則，故可取，故有最大值.故選：D二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求、全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知兩個不共線的單位向量的夾角為，則下列結論正確的是（）A.向量在上的投影向量為 B.C. D.【答案】ABC【解析】，兩個單位向量的夾角為，故根據投影向量定義可得，向量在上的投影向量為，故A正確；向量的平方等于模的平方，所以，故B正確；是不共線的單位向量，故利均為非零向量，，故C正確；，故不正確.故選：ABC.10.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，則（）A.外接圓的面積為 B.若，則C.面積的最大值為 D.周長的最大值為【答案】BCD【解析】對于A，由題意知，，故設外接圓的半徑為R，則，即得，則外接圓的面積為，A錯誤；對于B，若，則，則，B正確；對于C，由余弦定理可得，即，當且僅當時等號成立，則，故面積的最大值為，C正確；對于D，由，得，則，當且僅當時等號成立，即得，故周長的最大值為，D正確，故選：BCD11.已知函數，將的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，則下列說法正確的有（）A.的一個對稱中心為B.若實數滿足，則C.函數的最大值為D.若平面向量，則的取值范圍為【答案】BCD【解析】因為函數，所以，對于A，，所以不是的對稱中心，故A不正確；對于B，，若實數滿足，則，所以，即，故B正確；對于C，由B選項可得，由于，則函數的最大值為，故C正確；對于D，由平面向量，可得：由于，則，所以，即的取值范圍為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若是關于的實系數方程的一個復數根，則___________.【答案】3【解析】∵實系數一元二次方程的一個虛根為，∴其共軛復數也是方程的根.由根與系數的關系知，，∴，.故答案：13.在中，，，，若中點，則長為________.【答案】【解析】在中，，，所以，則，由余弦定理得：，故，由余弦定理得：，若為中點，則在中，，由余弦定理得：，故.故答案為：.14.已知單位圓上不同的三點A，B，C，則的最小值為________.【答案】【解析】以圓心為坐標原點，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，設，且，，則，則，故當時，取得最小值，由于，則當時，取得最小值，此時，或，，故的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知復數（）．（1）若復數z為純虛數，求實數m的值；（2）若復數z在復平面內對應的點在第二象限，求實數m的取值范圍．解：（1）因為復數為純虛數，所以，解之得，．（2）因為復數在復平面內對應的點在第二象限，所以，解之得，得．所以實數的取值范圍為（2，3）．16.已知向量，.（1）若，求實數的值；（2）若，求最小值.解：（1）已知，，則，.因為，所以.可得：，解得.（2）.根據向量模的計算公式可得：.被開方數看作關于的二次函數，對進行配方：因為，所以，則.當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.17.已知函數部分圖象如圖所示.（1）求的單調遞增區間；（2）已知，，求的值.解：（1）由函數部分圖象可得，可得函數的最小正周期，所以，可得，又，結合圖象可得，所以，因為，所以，所以，令，解得，可得的單調遞增區間為；（2）由于，可得，因為，所以，可得，當時，，不符合；當時，，符合，則，綜上，.18.在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且.（1）求；（2）若，，①的平分線交于點，求線段的長；②若，點P，Q是邊上的兩個動點，且，設的面積為，求的最小值.解：（1）因為，所以，由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，因為，所以；（2）①因為，，所以，即，解得，設邊上的角平分線長為，則，即，故，即，解得，即設邊上的角平分線長為；②因為，，所以或，因為，所以，所以，即，則，如圖，設，則在中，由正弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以的面積為，因為，所以，.故當，即時，19.對于一組復數（且），如果存在，使得，其中，那么稱是該復數組的“長復數”.（1）設，，若是復數組，，的“長復數”，求實數的取值范圍；（2）若，，復數組是否存在“長復數”?給出你的結論并說明理由；（3）若，，是否，對于，都能滿足復數組，，中的每一個復數均為“長復數”?若存在，求出所有的；若不存在，請說明理由.解：（1）由題意可得：，又，故，，，故，解得；（2）存在“長復數”，且“長復數”為，理由如下：由題意可得，若存在“長復數”，只需要，又，故，即，，當或時，符合要求，故存在“長復數”，且“長復數”為；（3）由題意，得，，即，即，解得，同理，所以，解得，故，因為，所以或.江蘇省常州市2024-2025學年高一下學期4月期中質量調研數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將答題卡交回一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】復數，則.故選：B.2.在下列各組向量中，可以作為基底的是（）A， B.，C.， D.，【答案】C【解析】對于A，，，由于，所以與共線，它們不可以作為基底；對于B，，，根據零向量與平面內任意向量共線，可知與不可以作為基底；對于C，，，根據，可知與不共線，它們可以作為基底；對于D，，，由于，所以與共線，它們不可以作為基底．故選：C．3.中的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，則（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】由正弦定理可得：，代入得：，解得，因為，所以，即，故選：A.4.在中，設，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】在中，；①在中，；②①+②，得因為，所以，即故選：D.5.設中的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的形狀是（）A.銳角三角形 B.等腰直角三角形 C.鈍角三角形 D.直角三角形【答案】D【解析】由，利用正弦定理：，整理得，因為，所以，故，故．所以為直角三角形.故選：D．6.設是方程的兩根，且，則（）A. B. C.或 D.【答案】B【解析】因為是方程的兩根，所以，所以，因為，所以，所以，則，所以.故選：B.7.在正六邊形中，是正六邊形內部以及邊界上任意一點，且，則的最大值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】如圖，過作于，設正六邊形的邊長為，則，，則，因為，所以，又，由于是正六邊形內部以及邊界上任意一點，所以，所以，即，所以，故的最大值為.故選：C.8.在中，，，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，，則，，在中，有，即，即，有，故，，，則，其中，，則當，即時，有最大值，由，則，由，則，故可取，故有最大值.故選：D二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求、全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知兩個不共線的單位向量的夾角為，則下列結論正確的是（）A.向量在上的投影向量為 B.C. D.【答案】ABC【解析】，兩個單位向量的夾角為，故根據投影向量定義可得，向量在上的投影向量為，故A正確；向量的平方等于模的平方，所以，故B正確；是不共線的單位向量，故利均為非零向量，，故C正確；，故不正確.故選：ABC.10.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，則（）A.外接圓的面積為 B.若，則C.面積的最大值為 D.周長的最大值為【答案】BCD【解析】對于A，由題意知，，故設外接圓的半徑為R，則，即得，則外接圓的面積為，A錯誤；對于B，若，則，則，B正確；對于C，由余弦定理可得，即，當且僅當時等號成立，則，故面積的最大值為，C正確；對于D，由，得，則，當且僅當時等號成立，即得，故周長的最大值為，D正確，故選：BCD11.已知函數，將的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，則下列說法正確的有（）A.的一個對稱中心為B.若實數滿足，則C.函數的最大值為D.若平面向量，則的取值范圍為【答案】BCD【解析】因為函數，所以，對于A，，所以不是的對稱中心，故A不正確；對于B，，若實數滿足，則，所以，即，故B正確；對于C，由B選項可得，由于，則函數的最大值為，故C正確；對于D，由平面向量，可得：由于，則，所以，即的取值范圍為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若是關于的實系數方程的一個復數根，則___________.【答案】3【解析】∵實系數一元二次方程的一個虛根為，∴其共軛復數也是方程的根.由根與系數的關系知，，∴，.故答案：13.在中，，，，若中點，則長為________.【答案】【解析】在中，，，所以，則，由余弦定理得：，故，由余弦定理得：，若為中點，則在中，，由余弦定理得：，故.故答案為：.14.已知單位圓上不同的三點A，B，C，則的最小值為________.【答案】【解析】以圓心為坐標原點，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，設，且，，則，則，故當時，取得最小值，由于，則當時，取得最小值，此時，或，，故的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知復數（）．（1）若復數z為純虛數，求實數m的值；（2）若復數z在復平面內對應的點在第二象限，求實數m的取值范圍．解：（1）因為復數為純虛數，所以，解之得，．（2）因為復數在復平面內對應的點在第二象限，所以，解之得，得．所以實數的取值范圍為（2，3）．16.已知向量，.（1）若，求實數的值；（2）若，求最小值.解：（1）已知，，則，.因為，所以.可得：，解得.（2）.根據向量模的計算公式可得：.被開方數看作關于的二次函數，對進行配方：因為，所以，則.當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.17.已知函數部分圖象如圖所示.（1）求的單調遞增區間；（2）已知，，求的值.解：（1）由函數部分圖象可得，可得函數的最小正周期，所以，可得，又，