第四章三角形第14課時三角形與多邊形的有關概念及性質課前循環練（限時5分鐘）

B

圖4-14-1C

C4.

（廣東真題）如圖4-14-2，在不等邊三角形ABC中，DE∥BC，∠ADE=60°，圖中等于60°的角還有

.

圖4-14-2∠ABC5.

（廣東真題）池塘中放養了鯉魚8000條，鰱魚若干.

在幾次隨機捕撈中，共抓到鯉魚320條，鰱魚400條.

估計池塘中原來放養了鰱魚

條.

10

000

①理解三角形及其內角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩定性，了解四邊形的不穩定性.

②探索并證明三角形內角和定理.掌握該定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

③證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊.

④了解三角形重心的概念.

⑤探索并證明三角形的中位線定理.

課標要求

⑥了解多邊形的概念及多邊形的頂點、邊、內角、外角與對角線；探索并掌握多邊形內角和與外角和公式.

對接教材

人教：八上第十一章三角形

北師：七下第四章三角形；八上第七章平行線的證明（7.5三角形內角和定理）；

八下第六章平行四邊形（6.3三角形的中位線、6.4多邊形的內角和與外角和）

考點梳理考點復習1.三角形的分類（1）三角形按角分類：銳角三角形、

三角形、鈍角三角形.

（2）三角形按邊分類：直角等邊廣東省對應考點例題例1.

在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，則△ABC是

（

）A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形

D.直角三角形B2.三角形的邊的關系（1）三角形任意兩邊之和

第三邊.

（2）三角形任意兩邊之差

第三邊

例2.

下列三條線段不能構成三角形的三邊的是

（

）A.3cm，4cm，5cmB.5cm，6cm，11cmC.5cm，6cm，10cmD.2cm，3cm，4cm大于小于B3.三角形的穩定性三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質叫做三角形的穩定性.三角形具有穩定性，而四邊形沒有穩定性例3.下列圖形具有穩定性的是

（

）B4.三角形的角的關系（1）三角形三個內角的和等于

；特別地，當有一個內角是90°時，其余的兩個內角互余.

（2）三角形的外角和等于

.

（3）三角形的任意一個外角

與它不相鄰的兩個內角的和，三角形的任意一個外角

任意一個與它不相鄰的內角

180°360°等于大于例4.

如圖4-14-3，在△ABC中，D，E，F分別是BC，CA，AB延長線上一點.（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，則∠BAC=

°；

（2）若∠ACD=120°，∠BAE=110°，則∠CBF=

°；

（3）若∠ABC=50°，∠ACD=120°，則∠BAC=

°.

圖4-14-360130705.三角形的中線（1）在三角形中，連接一個頂點與它對邊

的線段，叫做這個三角形的中線.

（2）一個三角形有三條中線，都在三角形的內部，三條中線交于一點，這點叫做三角形的

.

（3）三角形的一條中線把原三角形分成

相等的兩部分

中點重心面積例5.

如圖4-14-4，已知AE是△ABC的中線，AD是△ABE的中線.若CE=4，則BD的長為

；若S△ABD=3，則S△ABC

.

圖4-14-42126.三角形的高（1）從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點與垂足之間的線段叫做

.

（2）一個三角形有三條高，可能在三角形內部，也可能在三角形上，還可能在三角形的外部三角形的高例6.

△ABC中BC邊上的高作法正確的是

（

）C7.三角形的角平分線在三角形中，一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的

角平分線例7.

如圖4-14-5，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，若∠A=50°，則∠D等于

（

）A.120°B.130°C.115°D.110°圖4-14-5C8.三角形的中位線（1）連接三角形兩邊的中點的線段叫做三角形的中位線.

（2）一個三角形有

條中位線，都在三角形的內部.

（3）三角形的中位線

于第三邊，且等于第三邊的

3平行一半例8.

如圖4-14-6，DE是△ABC的中位線，若BC=8，則DE的長為（

）A.2B.4C.6D.8圖4-14-6B9.多邊形的內、外角和n（n≥3）邊形的內角和是

，外角和是

.正n邊形每個內角的度數是

，每個外角的度數是

例9.

（1）若一個多邊形的內角和是外角和的3倍，則這個多邊形的邊數是

；

（2）若一個正多邊形的每個外角都是40°，則這個正多邊形是正

邊形.

（n-2）·180°

360°

8九10.多邊形的對角線連接多邊形

的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.

從n（n≥4）邊形的一個頂點可作

條對角線，n邊形對角線的總條數為

條

不相鄰

（n-3）

例10.

（1）若一個多邊形從同一個頂點出發可以作4條對角線，則這個多邊形的邊數為

（

）A.5

B.6C.7

D.8（2）五邊形對角線的總條數為

條.

C5廣東中考1.

（2022·廣東題3，3分，三角形的穩定性）下列圖形有穩定性的是

（

）A.

三角形B.

平行四邊形C.

長方形D.

正方形2.

（2020·廣東題4，3分，多邊形的內角和）若一個多邊形的內角和是540°，則該多邊形的邊數為

（

）A.4B.5C.6D.7AB

圖4-14-7D4.

（2024·廣東題22節選，3分，三角形中位線定理）如圖4-14-8，在△ABC中，DE是△ABC的中位線.

連接CD，將△ADC繞點D按逆時針方向旋轉，得到△A'DC'.

當點E的對應點E'與點A重合時，求證：AB=BC.

圖4-14-8證明：∵△ADC繞點D按逆時針方向旋轉，得到△A'DC'，且點E'與點A重合，∴DE=DA.

∴∠DEA=∠DAE.∵DE是△ABC的中位線，

∴DE∥BC.∴∠DEA=∠BCA.∴∠DAE=∠BCA.∴AB=BC.

高分擊破【典型考點】三角形角平分線、中線、高和中位線的綜合運用

得分點分析

1.

（原創題）如圖4-14-9，CD平分∠ACB，BE是△ABC的中線，AG是△ADC的高，延長AG交BC于點F.

溫馨提示：此類考題可能見于廣東省中考數學試卷的第19題，分值一般為9分，答題時要注意書寫格式，分步書寫，慢做會求全對，評卷老師是分步給分的哦！【典型錯例】忽視判斷三角形的高是在三角形的內部還是外部2.

在△ABC中，BD為AC邊上的高，∠ABD=30°，求∠BAC的度數.

解：∵BD為AC邊上的高，∴∠BDA=90°.①如答圖4-14-1，當∠BAC是銳角時，∠BAC=90°-∠ABD=90°-30°=60°；②如答圖4-14-2，當∠BAC是鈍角時，∠BAC=∠BDA+∠ABD=90°+30°=120°.綜上所述，∠BAC的度數為60°或120°.

答圖4-14-1答圖4-14-2錯解分析錯解：如圖4-14-10，BD為AC邊上的高，∴∠BDA=90°.

∴∠BAC=90°-∠ABD=90°-30°=60°.

剖析：該解答過程的錯誤在于直接默認高BD在△ABC的內部，忽視了高BD可能在△ABC的外部的情況.本題應分兩種情況進行討論：當高BD在△ABC的內部時和高BD在△ABC的外部時（即分∠BAC是銳角和∠BAC是鈍角兩種情況），然后分別進行解答.

圖4-14-10【生長式訓練】知識生長→變式創新3.

（中考創新，原創題）如圖4-14-11，在△ABC中，D是邊BC上的一點.知識種子：基本概念（1）①若AB=5，AC=3，則BC的取值范圍是

；

②若∠B=30°，AD=BD，則∠ADC的度數為

；

圖4-14-112<BC<8

60°

種子生長：三角形的角平分線（2）如圖4-14-12，若AD是△ABC的角平分線，且∠C=2∠B，AC=3，CD=2，求AB的長；解：如答圖4-14-3，延長AC到點P，使得CP=CD=2.∴∠P=∠CDP.∴∠ACB=∠P+∠CDP=2∠P.又∵∠ACB=2∠B，∴∠B=∠P.∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠PAD.答圖4-14-3

答圖4-14-3生長變式：圖形變式（3）如圖4-14-13，若AD是△ABC的中線，且AB=10，AC=6，求AD的取值范圍；解：如答圖4-14-4，延長AD到點M，使得MD=AD，連接BM.∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD.答圖4-14-4

答圖4-14-4種子成樹：綜合創新（4）如圖4-14-14，AD是△ABC的中線，過點A分別向外作AE⊥AB，AF⊥AC，使得AE=AB，AF=AC，連接EF，延長DA交EF于點P，判斷線段EF與AD的數量關系和位置關系，并說明理由.解：EF=2AD，EF⊥AD.理由：如答圖4-14-5，延長AD到點N，使得ND=AD，連接BN.同（3）可得△ADC≌△NDB，∴NB=AC=AF，∠DAC=∠DNB.∴AC∥BN.∴∠BAC+∠ABN=180°.答圖4-14-5∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠FAC=90°.∴∠BAC+∠EAF=360°-∠BAE-∠FAC=180°.∴∠ABN=∠EAF.

答圖4-14-5中考演練（限時15分鐘）一、選擇題1.

（2023·金華）在下列長度的四條線段中，能與長6cm，8cm的兩條線段圍成一個三角形的是

（

）A.1cmB.2cmC.13cmD.14cm2.

（2024·資陽）已知一個多邊形的每個外角都等于60°，則該多邊形的邊數是

（

）A.4B.5C.6D.7CC3.

（2024·蘭州）如圖4-14-15，小張想估測被池塘隔開的A，B兩處景觀之間的距離，他先在AB外取一點C，然后步測出AC，BC的中點D，E，并步測出DE的長約為18m，由此估測A，B之間的距離約為

（

）A.18mB.24mC.36mD.54m圖4-14-15C5.

（2023·深圳）如圖4-14-16為商場某品牌椅子的側面圖，∠DEF=120°，DE與地面平行，∠ABD=50°，則∠ACB=（

）A.70°

B.65°

C.60°

D.50°圖4-14-16A4.

（2024·遂寧，數學文化）佩佩在“黃娥古鎮”研學時學習扎染技術，得到一個內角和為1080°的正多邊形圖案，這個正多邊形的每個外角為

（

）A.36°

B.40°

C.45°

D.60°C二、填空題6.

（2024·浙江）如圖4-14-17，D，E分別是△ABC邊AB，AC的中點，連接BE，DE.

若∠AED=∠BEC，DE=2，則BE的長為

.

圖4-14-1747.

（2024·涼山州）如圖4-14-18，△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是邊AB上的高，AE是∠CAB的平分線，則∠AEB的度數是

.

圖4-14-18100°8.

（2023·長春）如圖4-14-19，將正五邊形紙片ABCDE折疊，使點B與點E重合，折痕為AM，展開后，再將紙片折疊，使邊AB落在線段AM上，點B的對應點為點B'，折痕為AF，則∠AFB'的大小為

°.

圖4-14-1945三、解答題9.

（教材改編）如圖4-14-20，在△ABC中，CD平分∠ACB，E是AC上的點，BE與CD交于點O，∠A=72°，∠ACB=60°，∠ABE=22°.

（1）求∠BEC的度數；解：（1）∵∠BEC是△ABE的外角，∠A=72°，∠ABE=22°，∴∠BEC=∠A+∠ABE=