秘密★啟用前2027屆普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試青桐鳴大聯(lián)考（高一）數(shù)學(xué)（北師大版）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知平面向量，，則（）．A．4 B． C． D．2．關(guān)于斜二測(cè)畫(huà)法的內(nèi)容和原理，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）．A．斜二測(cè)畫(huà)法中，原圖形中平行于y軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度為原來(lái)的一半B．斜二測(cè)畫(huà)法中，原圖中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與軸或軸平行C．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)平面圖形的直觀圖時(shí)，平行的線段在直觀圖中不一定平行D．斜二測(cè)畫(huà)法中，直觀圖和原圖的面積一定相等3．在平行四邊形ABCD中，，，記，，則（）．A． B．C． D．4．已知復(fù)數(shù)（，i為虛數(shù)單位），且，當(dāng)取得最小值時(shí)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．在中，已知，，則（）．A． B． C． D．6．在中，已知，，則面積的最大值為（）．A．1 B． C．3 D．27．已知曲線與垂直于y軸的k條直線：，，，…，，為常數(shù)，在區(qū)間內(nèi)共有2025個(gè)交點(diǎn)，則（）．A． B．1013 C． D．10128．已知，，均有意義，且，則的取值可以是（）．A． B． C． D．1二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下面對(duì)正三棱臺(tái)的描述一定正確的有（）．A．上下底面平行 B．側(cè)面是等腰梯形C．所有棱長(zhǎng)都相等 D．延長(zhǎng)正三棱臺(tái)的各條側(cè)棱，它們相交于一點(diǎn)10．已知扇形的周長(zhǎng)為120，圓心角為，則下列說(shuō)法正確的有（）．A．此扇形的弧長(zhǎng)為30 B．此扇形的半徑為30C．此扇形的面積為900 D．此扇形的面積為60011．已知復(fù)數(shù)，（，，，2，i為虛數(shù)單位），，的共軛復(fù)數(shù)分別為，，定義運(yùn)算，記任意復(fù)數(shù)z的實(shí)部為，虛部為，則下列說(shuō)法正確的有（）．A．若，則B．若，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的向量所成的夾角為銳角，則C．D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，則______．13．已知函數(shù)的最小正周期為，，則______．14．在中，已知，O是的外心，且，則______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）已知平面向量，，．（1）若，求；（2）若在方向上的投影數(shù)量為1，求m的值；（3）若，的夾角為銳角，求m的取值范圍．16．（15分）如圖，已知正四面體PABC，M，N，Q，R分別是棱PA，PC，AB，BC的中點(diǎn)．（1）證明：四邊形MNRQ為菱形；（2）求異面直線BM與QR所成角的余弦值．17．（15分）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)．（1）求的最大值；（2）若曲線在區(qū)間上至少有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，求的取值范圍．18．（17分）如圖所示，曲線與y軸的交點(diǎn)為B，與x軸在y軸的左、右兩側(cè)的第一個(gè)交點(diǎn)分別為C，D，且的面積為1，M是BC的中點(diǎn)．（1）證明：．（2）若．（ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；（ⅱ）設(shè)的外接圓交直線CD于點(diǎn)N（D，N為兩個(gè)不同的點(diǎn)），求BN的長(zhǎng)度．19．（17分）在中，．（1）證明：；（2）若，求BC的最小值．

2027屆普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試青桐鳴大聯(lián)考（高一）數(shù)學(xué)（北師大版）參考答案1．B 【解析】易得，故．故選B．2．D【解析】斜二測(cè)畫(huà)法中，原圖形中平行于y軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度為原來(lái)的一半，故A錯(cuò)誤；斜二測(cè)畫(huà)法中，原圖中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與軸或軸平行，故B錯(cuò)誤；用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)平面圖形的直觀圖時(shí)，平行的線段在直觀圖中不一定平行，故C錯(cuò)誤；斜二測(cè)畫(huà)法中，直觀圖和原圖的面積不一定相等，故D正確．故選D．3．B【解析】易得，其中，故．故選B．4．D【解析】由題意可得，故，故當(dāng)，時(shí)，取得最小值為，此時(shí)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限．故選D．5．A【解析】若，則，故設(shè)，所以，解得，所以，因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫驗(yàn)椋裕驗(yàn)椋裕蔬xA．6．B【解析】由題意可得，，設(shè)，，由余弦定理可得，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故面積的最大值為．故選B．7．A【解析】由題可得曲線與直線在區(qū)間內(nèi)共有2025個(gè)交點(diǎn)．由題意及曲線在區(qū)間內(nèi)的圖象可知方程分別有兩個(gè)不同的實(shí)根，且各根均不同，所以需，所以．故選A．8．C【解析】由題可得，整理得，所以，所以，記，則，解得．只有在上述區(qū)間內(nèi)．故選C．9．ABD【解析】正三棱臺(tái)的上下底面平行，故A正確；側(cè)面是等腰梯形，故B正確；所有棱長(zhǎng)不是都相等的，故C錯(cuò)誤；延長(zhǎng)各條側(cè)棱，相交于一點(diǎn)，故D正確．故選ABD．10．BC【解析】設(shè)該扇形的圓心角、弧長(zhǎng)、半徑分別為，l，r，扇形的弧長(zhǎng)，扇形周長(zhǎng)等于，代入解得扇形的半徑為30，弧長(zhǎng)為60，故A錯(cuò)誤，B正確；扇形的面積，故C正確，D錯(cuò)誤．故選BC．11．ACD【解析】若，則，，解得，故A正確；設(shè)對(duì)應(yīng)的向量為，對(duì)應(yīng)的向量為，，的夾角為，若，則，其所成角為鈍角，故B錯(cuò)誤；，原選項(xiàng)等價(jià)于：，令，，則原式等價(jià)于，整理得，所以原式恒成立，故C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，由，兩邊平方，整理得，故D正確．故選ACD．12．【解析】由題意可得，故．13．1【解析】由題意可得，故，又因?yàn)椋剩郑剩剩剩?4．【解析】因?yàn)镺是的外心，所以O(shè)在AB的中垂線上，故．由題意可得，對(duì)等式兩邊同時(shí)乘，則，則，解得，故．由余弦定理可得，解得．15．解：（1）若，則，故，所以．（2）在方向上的投影數(shù)量是，，若在方向上的投影數(shù)量為1，則，解得．（3）若，的夾角為銳角，則，且，不共線，由，所以，解得，由，不共線，所以，解得，綜上，m的取值范圍為，且．16．解：（1）證明：由題知，MN為的中位線，所以，且，同理可得，且，故，且，故四邊形MNRQ為平行四邊形，同理有，因?yàn)樵谡拿骟w中，，所以，故四邊形MNRQ為菱形．（2）因?yàn)椋约礊楫惷嬷本€BM，QR所成的角，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則，，由余弦定理得，，故異面直線BM與QR所成角的余弦值為．17．解：（1）當(dāng)，，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則，解得，故的最大值為1．（2）圖象的對(duì)稱(chēng)中心滿足，，整理得，，其圖象在區(qū)間上至少有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則，在區(qū)間上至少有兩個(gè)不同的解，整理得至少存在兩個(gè)k值使，故至少有，2兩個(gè)取值，所以，綜上，的取值范圍為．18．解：（1）證明：設(shè)函數(shù)的最小正周期為T(mén)，因?yàn)镃，D分別為W與x軸在y軸的左、右兩側(cè)的第一個(gè)交點(diǎn)，所以，因?yàn)锽為W與y軸的交點(diǎn)，所以，因?yàn)榈拿娣e為1，所以，整理得．（2）（ⅰ）由（1）知，，，，所以，故，，所以，整理得，所以，解得，所以，故，故最小正周期為．（11分）（ⅱ）由（ⅰ）知