方法技巧專題21排列組合與二項(xiàng)式定理解析篇一、排列組合與二項(xiàng)式定理知識框架二、與排列相關(guān)的常見問題【一】特殊元素、特殊位置的排列問題特殊元素、特殊位置的排列問題解法：特殊元素、特殊位置的排列問題解法：以元素為主體：即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；以位置為主體：即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.1.例題【例1】有名學(xué)生排成一排，求分別滿足下列條件的排法種數(shù)，要求列式并給出計(jì)算結(jié)果.（1）甲不在兩端；（2）甲、乙相鄰；（3）甲、乙、丙三人兩兩不得相鄰；（4）甲不在排頭，乙不在排尾。【答案】（1）30240（2）10080（3）14400（4）30960【解析】（1）假設(shè)8個人對應(yīng)8個空位，甲不站兩端，有6個位置可選，則其他7個人對應(yīng)7個位置，故有：種情況（2）把甲乙兩人捆綁在一起看作一個復(fù)合元素，再和另外6人全排列，故有種情況；（3）把甲乙丙3人插入到另外5人排列后所形成的6個空中的三個空，故有種情況；（4）利用間接法，用總的情況數(shù)減去甲在排頭、乙在排尾的情況數(shù)，再加上甲在排頭同時乙在排尾的情況，故有種情況【例2】畢業(yè)季有位好友欲合影留念，現(xiàn)排成一排，如果：（1）、兩人不排在一起，有幾種排法？（2）、兩人必須排在一起，有幾種排法？（3）不在排頭，不在排尾，有幾種排法？【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）將、插入到其余人所形成的個空中，因此，排法種數(shù)為；（2）將、兩人捆綁在一起看作一個復(fù)合元素和其他人去安排，因此，排法種數(shù)為；（3）分以下兩種情況討論：①若在排尾，則剩下的人全排列，故有種排法；②若不在排尾，則有個位置可選，有個位置可選，將剩下的人全排列，安排在其它個位置即可，此時，共有種排法.綜上所述，共有種不同的排法種數(shù).2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】用0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．（Ⅰ）在組成的三位數(shù)中，求所有偶數(shù)的個數(shù)；（Ⅱ）在組成的三位數(shù)中，如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小，則稱這個數(shù)為“凹數(shù)”，如301，423等都是“凹數(shù)”，試求“凹數(shù)”的個數(shù)；【解析】（1）將所有的三位偶數(shù)分為兩類：（i）若個位數(shù)為，則共有（個）；（ii）若個位數(shù)為或，則共有（個），所以，共有個符合題意的三位偶數(shù)．（2）將這些“凹數(shù)”分為三類：（i）若十位數(shù)字為，則共有（個）；（ii）若十位數(shù)字為，則共有（個）；（iii）若十位數(shù)字為，則共有（個），所以，共有個符合題意的“凹數(shù)”．（3）將符合題意的五位數(shù)分為三類：（i）若兩個奇數(shù)數(shù)字在一、三位置，則共有（個）；（ii）若兩個奇數(shù)數(shù)字在二、四位置，則共有（個）；（iii）若兩個奇數(shù)數(shù)字在三、五位置，則共有（個），所以，共有個符合題意的五位數(shù)．【練習(xí)2】7個人排成一排，按下列要求各有多少種排法？其中甲不站排頭，乙不站排尾；其中甲、乙、丙3人兩兩不相鄰；其中甲、乙中間有且只有1人；其中甲、乙、丙按從左到右的順序排列【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論：、甲站在排尾，剩余6人進(jìn)行全排列，安排在其他6個位置，有種排法，、甲不站在排尾，則甲有5個位置可選，有種排法，乙不能在排尾，也有5個位置可選，有種排法，剩余5人進(jìn)行全排列，安排在其他5個位置，有種排法，則此時有種排法；故甲不站排頭，乙不站排尾的排法有種根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析，、將除甲、乙、丙之外的4人進(jìn)行全排列，有種情況，排好后，有5個空位，、在5個空位種任選3個，安排甲、乙、丙3人，有種情況，則共有種排法根據(jù)題意，、先將甲、乙全排列，有種情況，、在剩余的5個人中任選1個，安排在甲乙之間，有種選法，、將三人看成一個整體，與其他四人進(jìn)行全排列，有種排法，則甲、乙中間有且只有1人共有種排法根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：、在7個位置中任取4個，安排除甲、乙、丙之外的4人，有種排法，、將甲、乙、丙按從左到右的順序安排在剩余的3個空位中，只有1種排法，則甲、乙、丙按從左到右的順序排列的排法有種．【二】相鄰元素的排列問題相鄰元素的排列問題解法—捆綁法：相鄰元素的排列問題解法—捆綁法：=1\*GB3①即先把排在一起的元素（個）捆綁成一個版塊（有種方法）；=2\*GB3②再把版塊當(dāng)作一個“大元素”與其他元素進(jìn)行排列.1.例題【例1】7人排成一排甲、乙、丙排在一起，共有多少種排法？甲、乙相鄰，丙、丁相鄰，共有多少種排法？甲、乙、丙排在一起，且都不在兩端，共有多少種排法？甲、乙、丙排在一起，且甲在兩端，共有多少種排法？甲、乙之間恰有2人，共有多少種排法？甲、乙之間是丙，共有多少種排法？【解析】（1）甲、乙、丙版塊有種排法，與其余4人排列，共種排法；甲、乙版塊有種排法，丙、丁版塊有種排法，與其余3人排列，共種排法；甲、乙、丙版塊有種排法，與其余4人排列，且版塊不在兩端，共種排法；甲在兩端有種排法，乙、丙版塊與甲相鄰有種排法，，共種排法；甲、乙之間恰有2人版塊有，與其余3人排列，共種排法；甲、乙、丙版塊有種排法，與其余4人排列，共種排法；2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】有本互不相同的書，其中數(shù)學(xué)書本，英語書本，語文書本，若將這些書排成一列放在書架上，則數(shù)學(xué)書恰好排在一起，英語書也恰好排在一起的排法共有______種.（用數(shù)值回答）【解析】由于數(shù)學(xué)書恰好排在一起，英語書也恰好排在一起，則將數(shù)學(xué)書捆綁成一個大元素，英語書也捆綁成一個大元素，與兩本語文書形成四個元素，因此，所有的排法種數(shù)為種.故答案為：.【練習(xí)2】A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開會，A是會議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（）A．60種 B．48種 C．30種 D．24種【解析】首先，A是會議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，考慮B、C兩人的情況，只能選擇相鄰的兩個座位，位置可以互換，根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算公式，得到，，接下來，考慮其余三人的情況，其余位置可以互換，可得種，最后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到種，故選B.【練習(xí)3】“仁義禮智信”為儒家“五常”由孔子提出“仁、義、禮”,孟子延伸為“仁、義、禮、智”,董仲舒擴(kuò)充為“仁、義、禮、智、信”.將“仁義禮智信”排成一排,“仁”排在第一位,且“智信”相鄰的概率為（）A． B． C． D．【解析】“仁義禮智信”排成一排,任意排有種排法,其中“仁”排在第一位,且“智信”相鄰的排法有種排法,故概率故選：A【練習(xí)4】某小區(qū)有排成一排的8個車位，現(xiàn)有5輛不同型號的轎車需要停放，則這5輛轎車停入車位后，剩余3個車位連在一起的概率為_______（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）.【解析】5輛轎車停入車位后，剩余3個車位連在一起的方法數(shù)有種，8個車位任意停5輛車子方法數(shù)為，所以概率為．故答案為：．【三】不相鄰元素的排列問題將將個不同元素與個不同元素進(jìn)行排列，要求這個元素互不相鄰，求排列數(shù)時，使用插空法，具體方法如下：=1\*GB3①個不同元素在個不同元素中插空，先把個元素排好，有種排法；=2\*GB3②個不同元素有個空，將個不同元素放入這個空中，有種排法；=3\*GB3③由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種排法.1.例題【例1】】7人排成一排（1）甲、乙、丙互不相鄰，共有多少種排法？（2）甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰，共有多少種排法？（3）甲、乙不相鄰，丙、乙不相鄰，共有多少種排法？【解析】（1）共種排法；（2）甲、乙版塊有種排法，與其余3人共4人排列有，丙、丁在5個空中插空，共種排法；（3）甲、乙、丙互不相鄰，共種排法；甲、丙相鄰成版塊有種排法，與乙在其余4人中插空，共種排法，所以，共有1440+960=2400種排法.【例2】老況、老王、老顧、小周、小郭和兩位王女士共7人要排成一排拍散伙紀(jì)念照.（1）若兩位王女士必須相鄰，則共有多少種排隊(duì)種數(shù)？（2）若老王與老況不能相鄰，則共有多少種排隊(duì)種數(shù)？（3）若兩位王女士必須相鄰，若老王與老況不能相鄰，小郭與小周不能相鄰，則共有多少種排隊(duì)種數(shù)？【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】（1）首先把兩位女士捆綁在一起看做一個符合元素，和另外5人全排列，故有種，（2）將老王與老況插入另外5人全排列所形成的6個空的兩個，故有種，（3）首先把兩位女士捆綁在一起看做一個符合元素，再將老王與老況（或小郭與小周）插入到符合元素和老顧全排列所形成的3個空中的2個，此時形成了5個空，將小郭與小周（或老王與老況）插入其中，故有種．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】某大型聯(lián)歡會準(zhǔn)備從含甲、乙的6個節(jié)目中選取4個進(jìn)行演出，要求甲、乙2個節(jié)目中至少有一個參加，且若甲、乙同時參加，則他們演出順序不能相鄰，那么不同的演出順序的種數(shù)為（）A．720 B．520 C．600 D．264【解析】若甲、乙兩節(jié)目只有一個參加，則演出順序的種數(shù)為：，若甲、乙兩節(jié)目都參加，則演出順序的種數(shù)為：；因此不同的演出順序的種數(shù)為.故選：D.【練習(xí)2】有紅色、黃色小球各兩個，藍(lán)色小球一個，所有小球彼此不同，現(xiàn)將五球排成一行，顏色相同者不相鄰，不同的排法共有（）種A．48 B．72 C．78 D．84【解析】五個小球全排列共有：種排法當(dāng)兩個紅色小球與兩個黃色小球都相鄰時，共有：種排法當(dāng)兩個紅色小球相鄰，兩個黃色小球不相鄰時，共有：種排法當(dāng)兩個紅色小球不相鄰，兩個黃色小球相鄰時，共有：種排法顏色相同的小球不相鄰的排法共有：種排法故選：【練習(xí)3】2019年11月5日，第二屆中國國際進(jìn)口博覽會在國家會展中心（上海）開幕，共有155個國家和地區(qū)，26個國際組織參加.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企業(yè)參加某主題展覽活動，每個企業(yè)一個展位.在排成一排的6個展位中，甲、乙、丙三個企業(yè)兩兩互不相鄰的排法有________種.【解析】先安排丁、戊、己共有種再安排甲、乙、丙，插入四個空位中，共有種則甲、乙、丙三個企業(yè)兩兩互不相鄰的排法有，故答案為：144【練習(xí)4】現(xiàn)有5個不同編號的小球，其中黑色球2個，白色球2個，紅色球1個，若將其隨機(jī)排成一列，則相同顏色的球都不相鄰的概率是______.【解析】由題意,5個不同的小球全排列為,同一色的有種,同二色的有種情況.故同一顏色的小球不相鄰的排列總數(shù)有種.故相同顏色的球都不相鄰的概率是.故答案為：【四】含定序元素的排列問題含定序元素的排列問題常規(guī)方法：含定序元素的排列問題常規(guī)方法：（1）全排消序法（除法）：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù)；即先全排，再除以定序元素的全排列。如：個元素的全排列中若有（）個元素必須按照一定順序排列，這個元素相鄰或不相鄰不受限制，其排列數(shù)為：.（2）逐一插入法：先排好個元素，只有1種排法；剩下的個元素一個一個地插空，其排列數(shù)為：.（3）只選不排法：先從個位置中選出個位置，排列這個元素有種，剩下的個元素在剩下的個位置進(jìn)行排列，有種，共有.1.例題【例1】4男3女排成一排，且4男不等高，4男自左向右從高到矮的順序排列，有多少種排法？【解析】（1）方法一，全排消序法：先全排列，再消除因4男有序造成的影響，所以共有種排法；方法二，逐一插入法：4男自左向右從高到矮的順序排列后，第一個女的插入空當(dāng)中，有5種方法；第二個女的插入空當(dāng)中，有6種方法；第三個女的插入空當(dāng)中，有7種方法；所以共有種排法；方法三，只選不排法先選定4男的位置，有種，3人可以任意排列，有種，所以共有=210種排法.【例2】某工程隊(duì)有5項(xiàng)工程需要單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后立即進(jìn)行那么安排這5項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是_____________.（用數(shù)字作答）【解析】由題意得乙丙相鄰，甲與乙丙定順序，所以安排這項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】用1,2,3,4,5,6,7排出無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，按下述要求各有多少個？(1)偶數(shù)不相鄰；(2)偶數(shù)一定在奇數(shù)位上；(3)1和2之間恰夾有一個奇數(shù)，沒有偶數(shù)；(4)三個偶數(shù)從左到右按從小到大的順序排列．【答案】（1）1440（2）576（3）720（4）840(1)用插空法，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440(個)．(2)先把偶數(shù)排在奇數(shù)位上有Aeq\o\al(3,4)種排法，再排奇數(shù)有Aeq\o\al(4,4)種排法，所以共有Aeq\o\al(3,4)Aeq\o\al(4,4)＝576(個)．(3)在1和2之間放一個奇數(shù)有Aeq\o\al(1,3)種方法，把1,2和相應(yīng)的奇數(shù)看成整體和其他4個數(shù)進(jìn)行排列有Aeq\o\al(5,5)種排法，所以共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(5,5)＝720(個)．(4)七個數(shù)的全排列為Aeq\o\al(7,7)，三個數(shù)的全排列為Aeq\o\al(3,3)，所以滿足要求的七位數(shù)有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(3,3))＝840(個)．【練習(xí)2】7人站成一排．(1)甲必須在乙的前面(不一定相鄰)，則有多少種不同的排列方法；(2)甲、乙、丙三人自左向右的順序不變(不一定相鄰)，則有多少不同的排列方法．【答案】（1）2520（2）840【解析】(1)甲在乙前面的排法種數(shù)占全體全排列種數(shù)的一半，故有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(2,2))＝2520種不同的排法．（2）甲、乙、丙自左向右的順序保持不變，即甲、乙、丙自左向右順序的排法種數(shù)占全排列種數(shù)的eq\f(1,A\o\al(3,3)).故有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(3,3))＝840種不同的排法．三、與組合相關(guān)的常見問題【一】有限制條件的抽(選)取問題有限制條件的抽(選)取問題，主要有兩類：有限制條件的抽(選)取問題，主要有兩類：（1）“含”與“不含”問題：其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計(jì)數(shù)；（2）“至多”“至少”問題：其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準(zhǔn)對立面，確保不重不漏．1.例題【例1】某市工商局對35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？【答案】（1）561；（2）5984；（3）2100；（4）2555；（5）6090.【解析】（1）從余下的34種商品中，選取2種有(種)，∴某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種.（2）從余下的34種可選商品中，選取3種，有(種).∴某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5984種.（3）從20種真貨中選取1件，從15種假貨中選取2件有(種).∴恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2100種.選取2種假貨有種，選取3種假貨種，共有選取方式(種).∴至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種.選取3種的總數(shù)為，選取3種假貨有種，因此共有選取方式(種).∴至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種.【例2】10雙互不相同的襪子混裝在一只口袋中，從中任意抽取4只，求各有多少種情況出現(xiàn)如下結(jié)果．（1）4只襪子沒有成雙；（2）4只襪子恰好成雙；（3）4只襪子2只成雙，另兩只不成雙．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）；（2）；（3）．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】男運(yùn)動員名,女運(yùn)動員名,其中男女隊(duì)長各人,選派人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法.（1）任選人（2）男運(yùn)動員名,女運(yùn)動員名（3）至少有名女運(yùn)動員（4）隊(duì)長至少有一人參加（5）既要有隊(duì)長,又要有女運(yùn)動員【答案】（1）252（2）120（3）246（4）196（5）191【解析】（1）男運(yùn)動員名,女運(yùn)動員名,共名任選人的選法為:任選人,共有種選法.（2）選派男運(yùn)動員名,女運(yùn)動員名.首先選名男運(yùn)動員,有種選法,再選名女運(yùn)動員,有種選法根據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理選派男運(yùn)動員名,女運(yùn)動員名,共有種選法.（3）至少名女運(yùn)動員包括以下幾種情況:女男,女男,女男,女男.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得有:.至少有名女運(yùn)動員有種選法.（4）只有男隊(duì)長的選法為選法,只有女隊(duì)長的選法為選法又男、女隊(duì)長都入選的選法為選法.共有種選法.隊(duì)長至少有一人參加有:種選法.（5）當(dāng)有女隊(duì)長,其他人選法任意,共有種選法,不選女隊(duì)長時,必選男隊(duì)長,共有種選法,選男隊(duì)長且不含女運(yùn)動員有種選法.不選女隊(duì)長時共有種選法.既有隊(duì)長又有女運(yùn)動員共有:種選法.【練習(xí)2】從5名男生和4名女生中選出4人去參加座談會，問：(1)如果4人中男生和女生各選2人，有多少種選法？(2)如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，有多少種選法？(3)如果4人中必須既有男生又有女生，有多少種選法？【答案】（1）30；（2）91種；（3）120種.【解析】(1)；(2)方法1：(間接法)在9人選4人的選法中，把男甲和女乙都不在內(nèi)的去掉，就得到符合條件的選法數(shù)為：(種)；方法2：(直接法)甲在內(nèi)乙不在內(nèi)有種，乙在內(nèi)甲不在內(nèi)有種，甲、乙都在內(nèi)有種，所以男生中的甲與女生中的乙至少有1人在內(nèi)的選法共有：(種).(3)方法1：(間接法)在9人選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數(shù)為：(種)；方法2：(直接法)分別按含男1，2，3人分類，得到符合條件的選法總數(shù)為：(種).【二】分組分配問題1、不同元素的分組分配問題：1、不同元素的分組分配問題：一般地，個不同的元素分成組，各組內(nèi)元素?cái)?shù)目分別為，其中組元素?cái)?shù)目相等，那么分組方法數(shù)是：.2、相同元素的分組分配問題：（1）隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”．每一種插入隔板的方法對應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法．隔板法專門解決相同元素的分配問題．（2）將個相同的元素分給（）個不同的對象，有種方法．可描述為－1個空中插入－1塊板．1.例題【例1】按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90.【解析】（1）先從6本書中選1本，有種分配方法；再從剩余5本書中選擇2本，有種分配方法剩余的就是2本書，有種分配方法所以總共有種分配方法．（2）由（1）可知分組后共有60種方法，分別分給甲乙丙后的方法有種．（3）從6本書中選擇2本書，有種分配方法；再從剩余4本書中選擇2本書，有種分配方法；剩余的就是2本書，有種分配方法;所以有種分配方法．但是，該過程有重復(fù)．假如6本書分別為A、B、C、D、E、F，若三個步驟分別選出的是．則所有情況為，，，，，．所以分配方式共有種（4）由（3）可知，將三種分配方式分別分給甲乙丙三人，則分配方法為種（5）從6本書中選4本書的方法有種從剩余2本書中選1本書有種因?yàn)樵谧詈髢杀緯x擇中發(fā)生重復(fù)了所以總共有種（6）由（5）可知，將三種分配情況分別分給甲乙丙三人即可，即種．【例2】將6個相同的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子，求下列方法的種數(shù)．(1)每個盒子都不空；(2)恰有一個空盒子；(3)恰有兩個空盒子．【答案】（1）10（2）40（3）30【解析】(1)先把6個相同的小球排成一行，在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，然后在小球之間5個空隙中任選3個空隙各插一塊隔板，有Ceq\o\al(3,5)＝10(種)．(2)恰有一個空盒子，插板分兩步進(jìn)行．先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，如|0|000|00|，有Ceq\o\al(2,5)種插法，然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒，如|0|000||00|，有Ceq\o\al(1,4)種插法，故共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(1,4)＝40(種)．(3)恰有兩個空盒子，插板分兩步進(jìn)行．先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個空隙中任選1個空隙各插一塊隔板，有Ceq\o\al(1,5)種插法，如|00|0000|，然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒．①這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個盒子，如||00||0000|，有Ceq\o\al(2,3)種插法．②將兩塊板與前面三塊板之一并放，如|00|||0000|，有Ceq\o\al(1,3)種插法．故共有Ceq\o\al(1,5)·(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3))＝30(種)．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90；（7）30【解析】（1）無序不均勻分組問題.先選本有種選法;再從余下的本中選本有種選法;最后余下的本全選有種選法.故共有(種)選法.（2）有序不均勻分組問題.由于甲、乙、丙是不同三人,在題的基礎(chǔ)上,還應(yīng)考慮再分配,共有.（3）無序均勻分組問題.先分三步,則應(yīng)是種選法,但是這里出現(xiàn)了重復(fù).不妨記六本書為,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,記該種分法為(,,),則種分法中還有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有種情況,而這種情況僅是,,的順序不同,因此只能作為一種分法,故分配方式有.（4）有序均勻分組問題.在題的基礎(chǔ)上再分配給個人,共有分配方式(種).（5）無序部分均勻分組問題.共有(種)分法.（6）有序部分均勻分組問題.在題的基礎(chǔ)上再分配給個人,共有分配方式(種).（7）直接分配問題.甲選本有種選法,乙從余下本中選本有種選法,余下本留給丙有種選法,共有(種)選法.【練習(xí)2】某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有()A．4種B．10種C．18種D．20種【答案】B【解析】由于只剩一本書，且這些畫冊、集郵冊分別相同，可以從剩余的書的類別進(jìn)行分析．又由于排列、組合針對的是不同的元素，應(yīng)從4位朋友中進(jìn)行選取．第一類：當(dāng)剩余的一本是畫冊時，相當(dāng)于把3本相同的集郵冊和1本畫冊分給4位朋友，只有1位朋友得到畫冊．即把4位朋友分成人數(shù)為1,3的兩隊(duì)，有1個元素的那隊(duì)分給畫冊，另一隊(duì)分給集郵冊，有Ceq\o\al(1,4)種分法．第二類：當(dāng)剩余的一本是集郵冊時，相當(dāng)于把2本相同的畫冊和2本相同的集郵冊分給4位朋友，有2位朋友得到畫冊，即把4位朋友分成人數(shù)為2,2的兩隊(duì)，一隊(duì)分給畫冊，另一隊(duì)分給集郵冊，有Ceq\o\al(2,4)種分法．因此，滿足題意的贈送方法共有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝4＋6＝10(種)．【練習(xí)3】（2018·黑龍江鶴崗一中高二月考（理））按照下列要求,分別求有多少種不同的方法?(用數(shù)字作答)(1)個不同的小球放入個不同的盒子；(2)個不同的小球放入個不同的盒子,每個盒子至少一個小球；(3)個相同的小球放入個不同的盒子,每個盒子至少一個小球；(4)個不同的小球放入個不同的盒子,恰有個空盒.【答案】（1）4096（2）1560（3）10（4）2160【解析】(1)46＝4096；(2)＝1560；(3)＋4＝10；或＝10；(4)＝2160.四、排列與組合綜合問題1.例題【例1】在某大型活動中，甲、乙等五名志愿者被隨機(jī)地分到A，B，C，D四個不同的崗位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者.(1)求甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率；(2)求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率；(3)求五名志愿者中僅有一人參加A崗位服務(wù)的概率.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)記“甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)”為事件EA，那么，即甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率是；(2)記“甲、乙兩人同時參加同一崗位服務(wù)”為事件E，那么，所以甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是P()＝1－P(E)＝；(3)因?yàn)橛袃扇送瑫r參加A崗位服務(wù)的概率，所以僅有一人參加A崗位服務(wù)的概率P1＝1－P2＝.【例2】用0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．（1）在組成的五位數(shù)中，所有奇數(shù)的個數(shù)有多少?（2）在組成的五位數(shù)中，數(shù)字1和3相鄰的個數(shù)有多少?（3）在組成的五位數(shù)中，若從小到大排列，30124排第幾個?【答案】（1）36個（2）36個（2）49個【解析】（1）在組成的五位數(shù)中，所有奇數(shù)的個數(shù)有個；（2）在組成的五位數(shù)中，數(shù)字1和3相鄰的個數(shù)有個；（3）要求在組成的五位數(shù)中，要求得從小到大排列，30124排第幾個，則計(jì)算出比30124小的五位數(shù)的情況，比30124小的五位數(shù)，則萬位為1或2，其余位置任意排，即，故在組成的五位數(shù)中比30124小的數(shù)有48個，所以在組成的五位數(shù)中，若從小到大排列，30124排第49個.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】（1）五人站一排，必須站右邊，則不同的排法有多少種；（2）晚會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又加了2個節(jié)目，若將這2個節(jié)目插入原節(jié)目單中，則不同的插法有多少種．（3）有四個編有1、2、3、4的四個不同的盒子，有編有1、2、3、4的四個不同的小球，現(xiàn)把小球放入盒子里．①小球全部放入盒子中有多少種不同的放法；②恰有一個盒子沒放球有多少種不同的放法；③恰有兩個盒子沒放球有多少種不同的放法．【解析】（1）根據(jù)題意，五人并排站成一排，有種情況，而其中B站在A的左邊與B站在A的右邊是等可能的，則其情況數(shù)目是相等的，則B站在A的右邊的情況數(shù)目為＝60，（2）∵增加兩個新節(jié)目，將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，∴可以應(yīng)用插空法來解，原來的5個節(jié)目形成6個空，新增的兩個節(jié)目插到6個空中，共有＝30（3）.①∵1號小球可放入任意一個盒子內(nèi)，有4種放法．同理，2、3、4號小球也各有4種放法，∴共有44＝256種放法．②∵恰有一個空盒，則這4個盒子中只有3個盒子內(nèi)有小球，且小球數(shù)只能是1、1、2．先從4個小球中任選2個放在一起，有種方法，然后與其余2個小球看成三組，分別放入4個盒子中的3個盒子中，有種放法．∴由分步計(jì)數(shù)原理知共有＝144種不同的放法．③恰有2個盒子內(nèi)不放球，也就是把4個小球只放入2個盒子內(nèi)，有兩類放法：(i).一個盒子內(nèi)放1個球，另一個盒子內(nèi)放3個球．先把小球分為兩組，一組1個，另一組3個，有種分法，再放到2個盒子內(nèi)，有種放法，共有種方法；(ii).2個盒子內(nèi)各放2個小球．先從4個盒子中選出2個盒子，有種選法，然后把4個小球平均分成2組，每組2個，放入2個盒子內(nèi)，有種選法，共有種方法．∴由分類計(jì)數(shù)原理知共有＝84種不同的放法．【練習(xí)2】有4個不同的球，4個不同的盒子，現(xiàn)在要把球全部放入盒內(nèi)．(1)共有幾種放法？(2)恰有一個盒不放球，共有幾種放法？【解析】(1)一個球一個球地放到盒子里，每個球都可有4種獨(dú)立的放法．由分步計(jì)數(shù)原理，放法共有44＝256種．(2)為保證“恰有一個盒子不放球”，先從4個盒子中任意拿出去1個；將4個球分為2,1,1三組，有種分法；然后再從三個盒子中選一個放兩個球，其余兩個各放一個球，兩個盒子全排列即可．由分步計(jì)數(shù)原理，共有···＝144種放法．五、二項(xiàng)式定理【一】通項(xiàng)及二項(xiàng)式系數(shù)1.二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式：1.二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式：①展開式：；②通項(xiàng)：第項(xiàng)為.2.二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)及系數(shù)有如下常規(guī)考點(diǎn)：①對于常數(shù)項(xiàng)：隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項(xiàng))；②對于有理項(xiàng)，一般是先寫出通項(xiàng)公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)：解這類問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解；③對于整式項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)一致．1.例題【例1】在二項(xiàng)式的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是。（2）二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)是___________．（3）在二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為。【答案】（1）10（2）7（3）-80【解析】（1）的展開項(xiàng)，令，可得，∴．故選．（2）二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為,令得，故所求的常數(shù)項(xiàng)為（3）由題意，二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，可得，即展開式中的系數(shù)為.【例2】（1）的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A．B．C．D．（2）（2019·重慶八中高三月考（理））的展開式中的系數(shù)為（）A． B． C．、 D．【答案】（1）A（2）C【解析】（1）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中不含項(xiàng),無需求解.中含項(xiàng),即當(dāng)時中含項(xiàng),即當(dāng)時的展開式中項(xiàng)故選:A.（2），故它的展開式中含的項(xiàng)有的和故的系數(shù)為，故選：．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】【解析】展開式的通項(xiàng)為當(dāng)時即展開式中的常數(shù)項(xiàng)為故答案為：【練習(xí)2】展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由展開式的通項(xiàng)公式=,,令即,∴展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.故選:B.【練習(xí)3】二項(xiàng)式的二項(xiàng)展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為________.【答案】【解析】由題意n＝11，r＝2，∴二項(xiàng)式（3x﹣1）11的二項(xiàng)展開式第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為55，故答案為：55．【練習(xí)4】的展開式中的系數(shù)是（）A．58 B．62 C．52 D．42【答案】D【解析】的展開式中的系數(shù)是.選D.【練習(xí)5】的展開式中的系數(shù)為_____.【答案】5【解析】由的展開式中項(xiàng)為：，所以的系數(shù)為.故答案為：.測【二】二項(xiàng)式系數(shù)和問題二項(xiàng)展開式中系數(shù)和的求法：二項(xiàng)展開式中系數(shù)和的求法：對形如，()的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對形如()的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令即可．一般地，若，則展開式中：各項(xiàng)系數(shù)之和為：；奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為：；偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為：.1.例題【例1】若.求：（1）；（2）；（3）.【解析】（1）令，可得，∴．①（2）令可得，∴．②由①②得，∴．（3）由題意得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，∴每項(xiàng)的系數(shù)，∴．【例2】在二項(xiàng)式的展開式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和；(2)各項(xiàng)系數(shù)之和；(3)所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和．【解析】設(shè)(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和為Ceq\o\al(0,9)＋Ceq\o\al(1,9)＋Ceq\o\al(2,9)＋…＋Ceq\o\al(9,9)＝29.(2)各項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，將兩式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝eq\f(59－1,2)，即所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為eq\f(59－1,2).2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】設(shè).（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值【解析】（1）令，得.令，得.①∴（2）令，得.②與①式聯(lián)立，①-②得，所以（3）（令）【練習(xí)2】我設(shè)(2－eq\r(3)x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100·x100，求下列各式的值．(1)求a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.【解析】(1)令x＝0，則展開式為a0＝2100.(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－eq\r(3))100，①所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－eq\r(3))100－2100.(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋eq\r(3))100.②與①式聯(lián)立相減得a1＋a3＋…＋a99＝eq\f(2－\r(3)100－2＋\r(3)100,2).(4)由①②可得，(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－…＋a100)＝(2－eq\r(3))100·(2＋eq\r(3))100＝1.(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|，即(2＋eq\r(3)x)100的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和，在(2＋eq\r(3)x)100的展開式中，令x＝1，可得各項(xiàng)系數(shù)的和為(2＋eq\r(3))100.【三】系數(shù)的最值問題1、二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)的求法：1、二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)的求法：求二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對中的進(jìn)行討論．①當(dāng)為奇數(shù)時，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．②當(dāng)為偶數(shù)時，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．2、展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)的求法：求展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需要根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況進(jìn)行分析．如求()的展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，且第項(xiàng)最大，應(yīng)用，解出，即得出系數(shù)的最大項(xiàng)．1.例題【例1】已知二項(xiàng)式的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列.（1）求正整數(shù)的值；（2）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，由于展開式系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列，則，即，整理得，，解得；（2）第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，因此，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時，；（3）由，得，整理得，解得，所以當(dāng)或時，項(xiàng)的系數(shù)最大.因此，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】（2018·上海市第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)高三月考）在的展開式中，（1）求展開式中所有的有理項(xiàng)；（2）展開式中系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？并求系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)【解析】(1)由題展開式中的第項(xiàng).即.故當(dāng)為整數(shù)時為有理項(xiàng).故當(dāng)時成立,分別為,,,.即,,,(2)由知,當(dāng)系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)即最大.故.故絕對值最大的項(xiàng)是第6、7項(xiàng).其中系數(shù)最大的項(xiàng)為,系數(shù)最小的項(xiàng)為【練習(xí)2】我已知的展開式前三項(xiàng)的三項(xiàng)式系數(shù)的和等于37，求：（1）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)．（2）展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【解析】（1）由的展開式前三項(xiàng)的三項(xiàng)式系數(shù)的和等于37，即，解得，即二項(xiàng)式，所以展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，因此由可知此項(xiàng)的系數(shù)為.（2）設(shè)二項(xiàng)展開式的第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，解得，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第8項(xiàng)及第9項(xiàng)，即，.六、課后自我檢測1.一個口袋里裝有7個白球和1個紅球，從口袋中任取5個球．(1)共有多少種不同的取法？(2)其中恰有一個紅球，共有多少種不同的取法？(3)其中不含紅球，共有多少種不同的取法？【解析】（1）從口袋里的個球中任取個球,不同取法的種數(shù)是（2）從口袋里的個球中任取個球,其中恰有一個紅球,可以分兩步完成:第一步,從個白球中任取個白球,有種取法;第二步,把個紅球取出,有種取法.故不同取法的種數(shù)是:（3）從口袋里任取個球,其中不含紅球,只需從個白球中任取個白球即可,不同取法的種數(shù)是.2.把6本不同的書，全部分給甲，乙，丙三人，在下列不同情形下，各有多少種分法？（用數(shù)字作答）(Ⅰ)甲得2本；(Ⅱ)每人2本；(Ⅲ)有1人4本，其余兩人各1本．【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，在6本書中任選2本，分給甲，有C62＝15種選法，②，將剩下的4本分給乙、丙，每本書都有2種分法，則有2×2×2×2＝16種分法，則甲得2本的分法有15×16＝240種；（Ⅱ）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將6本書平均分成3組，有15種分組方法，②，將分好的3組全排列，分給甲乙丙三人，有A33＝6種情況，則有15×6＝90種分法；（Ⅲ）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，在6本書中任選4本，分給三人中1人，有C64×C31＝45種分法，②，將剩下的2本全排列，安排給剩下的2人，有A22＝2種情況，則有45×2＝90種分法．3.一次游戲有10個人參加，現(xiàn)將這10人分為5組，每組兩人。（1）若任意兩人可分為一組，求這樣的分組方式有多少種？（2）若這10人中有5名男生和5名女生，要求各組人員不能為同性，求這樣的分組方式有多少種？（3）若這10人恰為5對夫妻，任意兩人均可分為一組，問分組后恰有一對夫妻在同組的概率是多少？【解析】（1）將10人平均分為5組共有=945;（2）將5名男生視為5個不同的小盒，5名女生視為5個不同的小球，問題轉(zhuǎn)化為將5個小球裝入5個不同的盒子，每盒一個球，共有種；（3）先任選一對夫妻有種，再將剩余4對夫妻分組，再將4個丈夫視為A，B，C，D四個小球，4個妻子分別視為a，b，c，d四個盒子，則4個小球裝入4個不同的盒子，每盒一個球，且與自己的字母不同，有BADC，CADB，DABC，BDAC，CDAB，DCAB，BCDA，DCBA，CDBA，共有9種方法，故不同的分組方法有×9＝45.4.從8名運(yùn)動員中選4人參加米接力賽，在下列條件下，各有多少種不同的排法？（1）甲、乙兩人必須入選且跑中間兩棒；（2）若甲、乙兩人只有一人被選且不能跑中間兩棒；（3）若甲、乙兩人都被選且必須跑相鄰兩棒；（4）甲不在第一棒.【解析】（1）除甲、乙外還需選擇人參加接力賽共有種選法則甲、乙跑中間兩棒共有種排法；另外人跑另外兩棒共有種排法甲、乙兩人必須入選且跑中間兩棒共有：種排法（2）甲、乙只有一人入選且選另外選人參加接力賽共有種選法甲或乙不跑中間兩棒共有種排法；其余人跑剩余三棒共有種排法甲、乙兩人只有一人被選且不能跑中間兩棒共有：種排法（3）除甲、乙外還需選擇人參加接力賽共有種選法甲乙跑相鄰兩棒，其余人跑剩余兩棒共有種排法甲、乙兩人都被選且必須跑相鄰兩棒共有：種排法（4）甲不在第一棒則需選擇一人跑第一棒，共有種選法其余三棒共有種排法甲不在第一棒共有種排法5.有8名學(xué)生排成一排，求分別滿足下列條件的排法種數(shù)，要求列式并給出計(jì)算結(jié)果.（1）甲不在兩端；（2）甲、乙相鄰；（3）甲不在排頭，乙不在排尾；（4）甲、乙兩人之間有且只有1人.【解析】因?yàn)榧撞辉趦啥?所以甲從剩余的6個位置中任選一個,有種排法,把剩下7人全排列,有種排法.由分步計(jì)數(shù)原理可得,總排法數(shù)為種排法.先把甲和乙捆綁在一起全排列,有種排法;再把甲乙最為一體與剩下的6名學(xué)生全排列,有種排法;由分步計(jì)數(shù)原理可得,總排法數(shù)為種排法.第一步：8名學(xué)生隨機(jī)排,有種排法,第二步：甲在排頭,其他人任意排,有種排法,乙在排尾,其他人任意排,有種排法,第三步：甲在排頭且乙在排尾,有種排法,所以總排列數(shù)為：種排法,第一步：先從除甲乙外的6名學(xué)生中任選一人排在甲乙之間,有種排法,第二步:把甲乙全排列,有種排法,第三步:把此三人作為一體與剩下的5名學(xué)生進(jìn)行全排列,有種排法,有分步計(jì)數(shù)原理可得：總排列數(shù)為：種排法.6.在班級活動中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：（寫出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答）（1）三名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？（2）四名男生相鄰有多少種不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？（甲乙丙三位同學(xué)身高互不相等）（5）從中選出2名男生和2名女生表演分四個不同角色朗誦，有多少種選派方法？（6）現(xiàn)在有7個座位連成一排，僅安排4個男生就坐，恰好有兩個空座位相鄰的不同坐法共有多少種？【解析】（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將4名男生全排列，有A44＝24種情況，排好后有5個空位，②，在5個空位中任選3個，安排3名女生，有A53＝60種情況，則三名女生不能相鄰的排法有A44×A53＝24×60＝1440種；（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將4名男生看成一個整體，考慮4人間的順序，有A44＝24種情況，②，將這個整體與三名女生全排列，有A44＝24種情況，則四名男生相鄰的排法有A44×A44＝24×24＝576種；（3）根據(jù)題意，分2種情況討論：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，有A66＝720種情況，②，女生甲不站在右端，甲有5種站法，女生乙有5種站法，將剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有A55＝120種站法，則此時有5×5×120＝3000種站法，則一共有A66+5×5×A55＝720+3000＝3720種站法；（4）根據(jù)題意，首先把7名同學(xué)全排列，共有A77種結(jié)果，甲乙丙三人內(nèi)部的排列共有A33＝6種結(jié)果，要使的甲乙丙三個人按照一個高矮順序排列，結(jié)果數(shù)只占6種結(jié)果中的一種，則有840種．（5）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，在4名男生中選取2名男生，3名女生中選取2名女生，有C42C32種選取方法，②，將選出的4人全排列，承擔(dān)4種不同的任務(wù)，有A44種情況，則有種不同的安排方法；（6）根據(jù)題意，7個座位連成一排，僅安排4個男生就座，還有3個空座位，分2步進(jìn)行分析：①，將4名男生全排列，有A44種情況，排好后有5個空位，②，將3個空座位分成2、1的2組，在5個空位中任選2個，安排2組空座位，有A52種情況，則有種排法．7.現(xiàn)有5名男生和3名女生站成一排照相，（1）3名女生站在一起，有多少種不同的站法？（2）3名女生次序一定，但不一定相鄰，有多少種不同的站法？（3）3名女生不站在排頭和排尾，也互不相鄰，有多少種不同的站法？（4）3名女生中，A，B要相鄰，A，C不相鄰，有多少種不同的站法？【解析】（1）根據(jù)題意，分2步分析：①，3名女生看成一個整體，考慮其順序有A33＝6種情況，②，將這個整體與5名男生全排列，有A66＝720種情況，則3名女生排在一起的排法有6×720＝