數學分析試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數$y=\sinx$的導數是（）A.$\cosx$B.$-\cosx$C.$\sinx$D.$-\sinx$2.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.不存在D.∞3.函數$f(x)=x^2$在區(qū)間$[1,2]$上的定積分是（）A.$\frac{7}{3}$B.$\frac{8}{3}$C.3D.$\frac{14}{3}$4.若函數$f(x)$在點$x_0$處可導，則它在點$x_0$處（）A.一定連續(xù)B.不一定連續(xù)C.一定不連續(xù)D.以上都不對5.函數$y=e^x$的原函數是（）A.$e^x+C$B.$-e^x+C$C.$\frac{1}{e^x}+C$D.以上都不對6.下列級數中，收斂的是（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}n$D.$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n$7.曲線$y=x^3$在點$(1,1)$處的切線方程是（）A.$y=3x-2$B.$y=3x+2$C.$y=-3x+4$D.$y=-3x-2$8.已知函數$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，且$f(a)f(b)\lt0$，則在$(a,b)$內（）A.至少有一個零點B.至多有一個零點C.沒有零點D.一定有唯一零點9.$\int\frac{1}{x}dx=$（）A.$\lnx+C$B.$-\lnx+C$C.$\frac{1}{x^2}+C$D.以上都不對10.函數$f(x)=\ln(1+x)$的麥克勞林級數展開式為（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}x^n$C.$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}x^n$D.$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}x^n$多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是奇函數的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\ln\frac{1-x}{1+x}$2.以下哪些是求極限的方法（）A.等價無窮小替換B.洛必達法則C.夾逼準則D.泰勒公式3.關于函數的極值，下列說法正確的是（）A.駐點一定是極值點B.極值點一定是駐點C.導數不存在的點可能是極值點D.函數在極值點處的導數可能為04.下列積分中，能用牛頓-萊布尼茨公式計算的有（）A.$\int_{0}^{1}x^2dx$B.$\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx$C.$\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^2}dx$D.$\int_{1}^{2}\frac{1}{x^2}dx$5.冪級數$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收斂性可能出現的情況有（）A.僅在$x=0$處收斂B.在整個數軸上都收斂C.存在一個正數$R$，在$(-R,R)$內收斂，在$|x|\gtR$時發(fā)散D.在某個區(qū)間$(a,b)$內收斂，在區(qū)間外發(fā)散6.函數$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積的充分條件有（）A.$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)B.$f(x)$在$[a,b]$上有界且只有有限個間斷點C.$f(x)$在$[a,b]$上單調D.$f(x)$在$[a,b]$上無界7.下列等式正確的是（）A.$(\intf(x)dx)^\prime=f(x)$B.$\intf^\prime(x)dx=f(x)+C$C.$\intdf(x)=f(x)+C$D.$d(\intf(x)dx)=f(x)dx$8.已知函數$f(x)$和$g(x)$，則$(f(x)g(x))^\prime$等于（）A.$f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)$B.$f^\prime(x)g(x)$C.$f(x)g^\prime(x)$D.按乘積求導法則計算9.以下哪些曲線是漸近線相關的情況（）A.水平漸近線B.垂直漸近線C.斜漸近線D.不存在漸近線10.對于數列極限$\lim_{n\to\infty}a_n=A$，以下說法正確的是（）A.對于任意給定的正數$\varepsilon$，總存在正整數$N$，當$n\gtN$時，有$|a_n-A|\lt\varepsilon$B.數列$\{a_n\}$無限趨近于$A$C.數列$\{a_n\}$最終會等于$A$D.極限$A$是唯一的判斷題（每題2分，共10題）1.函數$y=\sqrt{x}$在$x=0$處可導。（）2.若$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在，$\lim_{x\tox_0}g(x)$不存在，則$\lim_{x\tox_0}[f(x)+g(x)]$不存在。（）3.函數$y=x^2+1$在$(-\infty,+\infty)$上是單調遞增函數。（）4.定積分的值只與被積函數和積分區(qū)間有關，與積分變量的符號無關。（）5.若級數$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，則$\lim_{n\to\infty}a_n=0$。（）6.函數$f(x)$在點$x_0$處的導數$f^\prime(x_0)$表示曲線$y=f(x)$在點$(x_0,f(x_0))$處的切線斜率。（）7.若函數$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的定積分$\int_{a}^f(x)dx=0$，則$f(x)$在$[a,b]$上恒為0。（）8.函數$y=\cosx$的一個原函數是$\sinx+1$。（）9.冪級數在其收斂區(qū)間內一定絕對收斂。（）10.若函數$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內可導，且$f^\prime(x)\gt0$，則$f(x)$在$(a,b)$內單調遞增。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述函數極限的$\varepsilon-\delta$定義。答：設函數$f(x)$在點$x_0$的某去心鄰域內有定義，$A$為常數。若對于任意給定的正數$\varepsilon$，總存在正數$\delta$，使得當$0\lt|x-x_0|\lt\delta$時，都有$|f(x)-A|\lt\varepsilon$，則稱常數$A$為函數$f(x)$當$x\tox_0$時的極限。2.求函數$y=x^3-3x^2+1$的極值點和極值。答：先求導$y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$y^\prime=0$，得$x=0$和$x=2$。當$x\lt0$，$y^\prime\gt0$；$0\ltx\lt2$，$y^\prime\lt0$；$x\gt2$，$y^\prime\gt0$。所以$x=0$是極大值點，極大值為$y(0)=1$；$x=2$是極小值點，極小值為$y(2)=-3$。3.簡述牛頓-萊布尼茨公式及其意義。答：若函數$F(x)$是連續(xù)函數$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的一個原函數，則$\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)$。意義在于將定積分的計算轉化為求原函數在區(qū)間端點值的差，極大簡化了定積分計算。4.簡述判斷級數收斂的比較判別法。答：設$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$是兩個正項級數，且$u_n\leqv_n(n=1,2,\cdots)$。若$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$收斂，則$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收斂；若$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$發(fā)散，則$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$發(fā)散。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數連續(xù)性與可導性的關系，并舉例說明。答：可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導。例如$y=|x|$在$x=0$處連續(xù)，因為$\lim_{x\to0}|x|=0=|0|$，但在$x=0$處不可導，左右導數不相等。而$y=x^2$在定義域內既連續(xù)又可導。2.討論定積分和不定積分的聯系與區(qū)別。答：聯系：不定積分是求被積函數的原函數族，定積分計算常借助原函數，牛頓-萊布尼茨公式將二者相連。區(qū)別：不定積分結果是函數族，定積分結果是數值；不定積分關注原函數，定積分與積分區(qū)間上的累積量有關。3.討論冪級數的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域的概念及求法。答：收斂半徑$R$可通過公式$R=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$（或其他方法）求出。收斂區(qū)間是開區(qū)間$(-R,R)$。收斂域是在收斂區(qū)間基礎上，再判斷端點處的收斂性得到，可能是開區(qū)間、閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間。4.討論函數單調性與導數正負的關系，并說明其應用。答：若函數$f(x)$在區(qū)間內導數$f^\prime(x)\gt0$，則函數單調遞增；若$f^\prime(x)\lt0$，則函數單調遞減。應用有求函數極值、最值，證明不等式等