高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省鄭州市2023-2024學年高二下學期期末考試數學試卷第I卷（選擇題，共58分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.若，則等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】．故選：C．2.已知隨機變量滿足，下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根據隨機變量線性運算的方差結論，得到，則．故選：B.3.五行是中國古代的一種物質觀，多用于哲學?中醫學和占卜方面，五行指金?木?水?火?土.現將“金?木?水?火?土”排成一排，則“土?水”相鄰的排法種數為（）A.12 B.24 C.48 D.72【答案】C【解析】將“土、水”綁在一起，當做一個整體，有種排法，將該整體與“金?木?火”全排列，共有種排法，所以共有種排法.故選：C4.已知由樣本數據組成一個樣本,可得到回歸直線方程為,且，則樣本點的殘差為（）A.0.3 B.-0.3 C.1.3 D.-1.3【答案】A【解析】由題意知，將點代入，得，所以，將代入，解得，所以樣本點的殘差為.故選：A5.某校乒乓球社團為了解喜歡乒乓球運動是否與性別有關，隨機抽取了若干人進行調查.已知抽查的男生?女生人數均為，其中男生喜愛乒乓球運動的人數占男生人數的，女生喜愛乒乓球運動的人數占女生人數的.若本次調查得出“有的把握認為喜愛乒乓球運動與性別有關”的結論，則的最小值為（）附：參考公式及數據：.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.20 B.21 C.22 D.23【答案】D【解析】依題意，作出列聯表：男生女生合計喜愛乒乓球運動不喜愛乒乓球運動合計則，因本次調查得出“有的把握認為喜愛乒乓球運動與性別有關”的結論，故得，解得，因，故的最小值為23.故選：D.6.函數在區間上有最小值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】求導，令，得．易知函數在單調遞增，在單調遞減，且，，由圖象知故選：D.7.不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知，.因為，，，所以原不等式可化為，所以，所以原不等式的解集為.故選：A8設，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】構造函數，所以，即在上單調遞增，所以，即，即，所以，又因，所以，則，故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中，正確的是（）A.兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1B.在樣本數據中,根據最小二乘法求得線性回歸方程為，去除一個樣本點后，得到的新線性回歸方程一定會發生改變C.在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區域越窄，說明模型的擬合精度越低D.已知隨機變量，若，則【答案】AD【解析】對于A選項，根據線性相關性判斷，兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1，則A正確；對于B選項，當點在回歸直線上時，去掉后，回歸方程不改變，故B錯誤；對于C選項，根據殘差點分布特征，在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區域越窄，說明波動越小，說明模型的擬合精度越高，故C錯誤；對于D選項，運用正態分布對稱性，隨機變量，若，則，則，故D正確．故選：AD.10.已知函數，則“有兩個零點”的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】由題意知有兩個相異實根，即與的圖像有兩個交點.，當，，單調遞增；當，，單調遞減.；當，；當，gx>0，所以.又因為CD是的真子集，所以答案選CD.故選：CD.11.楊輝是我國古代數學史上一位著述豐富的數學家，著有《詳析九章算法》?《日用算法》和《楊輝算法》，楊輝在1261年所著的《詳析九章算法》給出了如下圖1所示的表，我們稱這個表為楊輝三角，圖2是楊輝三角的數字表示，楊輝三角的發現要比歐洲早500年左右，由此可見我國古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的.根據以上材料，以下說法正確的是（）A.第2024行中，第1012個數最大B.楊輝三角中第8行的各數之和為256C.記第行的第個數為，則D.在“楊輝三角”中，記每一行第個數組成的數列稱為第斜列，該三角形數陣前2024行中第斜列各項之和為【答案】BC【解析】對于A，因為楊輝三角的第行就是的展開式的二項式系數，即，當為偶數時中間一項最大，因為，所以中間一項最大，且為第個數最大，故A錯誤；對于B，楊輝三角中第8行的各數之和為，故B正確；對于C，記第行的第個數為，則，則，故C正確；對于D，因為，所以時，該三角形數陣前2024行中第斜列各項之和為，時，該三角形數陣前2024行中第1斜列各項之和為2024，而，所以只適用于，故D錯誤.故選：BC.第II卷（非選擇題，共92分）三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12.曲線在點處切線的斜率為_________________.【答案】【解析】因為，所以，所以即曲線在點處切線的斜率為.故答案為：13.某班教室一排有6個座位，如果每個座位只能坐1人，現安排三人就座，恰有兩個空位相鄰的不同坐法有___________種.（用數字作答）【答案】72【解析】由題意，可看成3個坐著人的座位和3個空座位排隊，恰有兩個空座位相鄰，故和另外一個空座位均不相鄰，先安排3個坐著人的座位，共有種坐法，產生4個空位，然后安排空座位到空中，相鄰的兩個空位捆綁在一起，看做一個元素，有種坐法，然后再從剩余的3個空中選擇一個，將剩余的一個空座位安上，有種坐法，所以共有種坐法.故答案為：72.14.在三個地區暴發了流感，這三個地區分別有人患了流感.假設這三個地區的人口數的比為，現從這三個地區中任取一人，則這個人患流感的概率是___________；如果此人患流感，此人選自地區的概率___________.【答案】；【解析】記事件選取的這個人患了流感，記事件此人來自地區，記事件此人來自地區，記事件此人來自地區，則，且、、彼此互斥，由題意可得，，，，，，由全概率公式可得；由條件概率公式可得.故答案為：；. 四?解答題：本題共5小題，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知二項式的二項展開式中二項式系數之和為256.（1）求展開式中的系數；（2）求展開式中所有的有理項.解：（1）由二項式系數和為，則，解得；則展開式的通項公式為，，令，解得，所以展開式中含的系數為；（2）由（1）可知，令，且，則，則展開式中的有理項分別為，，.16.在能源和環保的壓力下，新能源汽車無疑將成為未來汽車發展的方向.為促進新能源汽車發展，實施差異化交通管理政策，公安部將在2018年上半年，將在全國所有城市全面啟用新能源汽車專用號牌.2020年11月，國務院辦公廳印發《新能源汽車產業發展規劃》（2021—2035年）要求深入實施發展新能源汽車國家戰略，推動中國新能源汽車產業高質量可持續發展.隨著國家對新能源汽車產業的支持，很多國產新能源汽車迅速崛起，又因其顏值高?空間大?提速快?用車成本低等特點深得民眾的追捧，目前充電難問題已成為影響新能源汽車銷量的關鍵因素，國家為了加快新能源汽車的普及，在全國范圍內逐步增建充電樁.某地區2019—2023年的充電樁數量及新能源汽車的年銷量如表所示：年份20192020202120222023充電樁數量萬臺13579新能源汽車年銷量萬輛2537485872（1）由上表中新能源汽車年銷售量和充電樁數量的樣本數據所畫出的散點圖知,它們的關系可用線性回歸模型擬合,請用所學統計知識進行定量分析；（結果精確到0.001）；（2）求關于的線性回歸方程，且預測當該地區充電樁數量為24萬臺時，新能源汽車的年銷量是多少萬輛？參考公式：相關系數回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.參考數據：.解：（1）由題知，，又，，，所以，因為y與x的相關系數近似為0.999，非常接近1，所以y與x的線性相關程度很高，可以用線性回歸模型擬合y與x的關系；（2），，所以y關于x的線性回歸方程為．當時，，故當充電樁數量為24萬臺時，該地區新能源汽車的年銷量為157.25萬輛．17.已知函數，其中.（1）當時，求函數在上的最大值；（2）討論的單調性.解：（1）當時，，則，所以，當或時，，則函數單調遞增，當時，，則函數單調遞減，故函數在和上單調遞增，在上單調遞減，又，所以，函數在上的最大值為；（2）函數的定義域為0,+∞，，當時，由，可得，，當時，當時，f'x<0，此時，函數單調遞減，當或時，f'x>0，此時，函數單調遞增，當時，對任意的，f'x≥0此時，函數在0,+∞上單調遞增；當時，當時，f'x<0，此時，函數單調遞減，當或時，f'x>0，此時，函數單調遞增，綜上所述，當時，函數在、上單調遞增，在上單調遞減；當時，函數在0,+∞上單調遞增；當時，函數在、上的單調遞增，在上單調遞減.18.從2020年開始，新高考數學試卷中出現了一種新的題型多選題.教育部考試中心通過科學測量分析，指出該題型擴大了試卷考點的覆蓋面，有利于提高試卷的得分率，也有利于提高試卷的區分度.新高考數學試卷中的多項選擇題，給出的4個選項中有2個以上選項是正確的，每一道題考生全部選對得6分.對而不全得3分，選項中有錯誤得0分.設一套數學試卷的多選題中有2個選項正確的概率為，有3個選項正確的概率為，沒有4個選項都正確的（在本問題中認為其概率為0）.在一次模擬考試中：（1）小明可以確認一道多選題的選項是錯誤的，從其余的三個選項中隨機選擇2個作為答案，若小明該題得6分的概率為，求；（2）小明可以確認另一道多選題的選項是正確的，其余的選項只能隨機選擇.小明有三種方案：①只選不再選擇其他答案；②從另外三個選項中再隨機選擇1個，共選2個；③從另外三個選項中再隨機選擇2個，共選3個.若，以最后得分的數學期望為決策依據，小明應該選擇哪個方案？解：（1）根據題意可知，不妨記一道多選題“有2個選項正確”為事件A1，“有3個選項正確”為事件A2，“小明該題得6分”為事件B，則，解得；（2）若小明選擇方案①，則小明的得分為3分，若小明選擇方案②，記小明該題得分為X，則X的可能取值為0，3，6，對應概率為：，，，故，若小明選擇方案③，記小明該題得分為Y，則Y的可能取值為0，6，對應概率為：，，故，E（Y）＜E（X）＜3，故以最后得分的數學期望為決策依據，小明應該選擇方案①．19.從函數的觀點看，方程的根就是函數的零點，設函數的零點為.牛頓在《流數法》一書中，給出了高次代數方程的一種數值解法——牛頓法.具體做法如下：先在軸找初始點，然后作y=fx在點處切線，切線與軸交于點，再作y=fx在點處切線（軸，以下同），切線與軸交于點，再作y=fx在點處切線，一直重復，可得到一列數：.顯然，它們會越來越逼近.于是，求近似解的過程轉化為求，若設精度為，則把首次滿足的稱為的近似解.（1）設，試用牛頓法求方程滿足精度的近似解（取，且結果保留小數點后第二位）；（2）如圖，設函數；（i）由以前所學知識，我們知道函數沒有零點，你能否用上述材料中牛頓法加以解釋？（ii）若設初始點為，類比上述算法，求所得前個三角形的面積和.解：（1）由函數，則，切線斜率，,那么在點處的切線方程為，所以，且，，,那么在點處的切線方程為，所以，且，故用牛頓法求方程滿足精度的近似解為；（2）（i）設，則，因為，所以，則處切線為，切線與軸相交得，，即為定值，根據牛頓法，此函數沒有零點；（ii）因為得，所以，，所以，，．故所得前n個三角形的面積和為.河南省鄭州市2023-2024學年高二下學期期末考試數學試卷第I卷（選擇題，共58分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.若，則等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】．故選：C．2.已知隨機變量滿足，下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根據隨機變量線性運算的方差結論，得到，則．故選：B.3.五行是中國古代的一種物質觀，多用于哲學?中醫學和占卜方面，五行指金?木?水?火?土.現將“金?木?水?火?土”排成一排，則“土?水”相鄰的排法種數為（）A.12 B.24 C.48 D.72【答案】C【解析】將“土、水”綁在一起，當做一個整體，有種排法，將該整體與“金?木?火”全排列，共有種排法，所以共有種排法.故選：C4.已知由樣本數據組成一個樣本,可得到回歸直線方程為,且，則樣本點的殘差為（）A.0.3 B.-0.3 C.1.3 D.-1.3【答案】A【解析】由題意知，將點代入，得，所以，將代入，解得，所以樣本點的殘差為.故選：A5.某校乒乓球社團為了解喜歡乒乓球運動是否與性別有關，隨機抽取了若干人進行調查.已知抽查的男生?女生人數均為，其中男生喜愛乒乓球運動的人數占男生人數的，女生喜愛乒乓球運動的人數占女生人數的.若本次調查得出“有的把握認為喜愛乒乓球運動與性別有關”的結論，則的最小值為（）附：參考公式及數據：.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.20 B.21 C.22 D.23【答案】D【解析】依題意，作出列聯表：男生女生合計喜愛乒乓球運動不喜愛乒乓球運動合計則，因本次調查得出“有的把握認為喜愛乒乓球運動與性別有關”的結論，故得，解得，因，故的最小值為23.故選：D.6.函數在區間上有最小值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】求導，令，得．易知函數在單調遞增，在單調遞減，且，，由圖象知故選：D.7.不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知，.因為，，，所以原不等式可化為，所以，所以原不等式的解集為.故選：A8設，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】構造函數，所以，即在上單調遞增，所以，即，即，所以，又因，所以，則，故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中，正確的是（）A.兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1B.在樣本數據中,根據最小二乘法求得線性回歸方程為，去除一個樣本點后，得到的新線性回歸方程一定會發生改變C.在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區域越窄，說明模型的擬合精度越低D.已知隨機變量，若，則【答案】AD【解析】對于A選項，根據線性相關性判斷，兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1，則A正確；對于B選項，當點在回歸直線上時，去掉后，回歸方程不改變，故B錯誤；對于C選項，根據殘差點分布特征，在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區域越窄，說明波動越小，說明模型的擬合精度越高，故C錯誤；對于D選項，運用正態分布對稱性，隨機變量，若，則，則，故D正確．故選：AD.10.已知函數，則“有兩個零點”的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】由題意知有兩個相異實根，即與的圖像有兩個交點.，當，，單調遞增；當，，單調遞減.；當，；當，gx>0，所以.又因為CD是的真子集，所以答案選CD.故選：CD.11.楊輝是我國古代數學史上一位著述豐富的數學家，著有《詳析九章算法》?《日用算法》和《楊輝算法》，楊輝在1261年所著的《詳析九章算法》給出了如下圖1所示的表，我們稱這個表為楊輝三角，圖2是楊輝三角的數字表示，楊輝三角的發現要比歐洲早500年左右，由此可見我國古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的.根據以上材料，以下說法正確的是（）A.第2024行中，第1012個數最大B.楊輝三角中第8行的各數之和為256C.記第行的第個數為，則D.在“楊輝三角”中，記每一行第個數組成的數列稱為第斜列，該三角形數陣前2024行中第斜列各項之和為【答案】BC【解析】對于A，因為楊輝三角的第行就是的展開式的二項式系數，即，當為偶數時中間一項最大，因為，所以中間一項最大，且為第個數最大，故A錯誤；對于B，楊輝三角中第8行的各數之和為，故B正確；對于C，記第行的第個數為，則，則，故C正確；對于D，因為，所以時，該三角形數陣前2024行中第斜列各項之和為，時，該三角形數陣前2024行中第1斜列各項之和為2024，而，所以只適用于，故D錯誤.故選：BC.第II卷（非選擇題，共92分）三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12.曲線在點處切線的斜率為_________________.【答案】【解析】因為，所以，所以即曲線在點處切線的斜率為.故答案為：13.某班教室一排有6個座位，如果每個座位只能坐1人，現安排三人就座，恰有兩個空位相鄰的不同坐法有___________種.（用數字作答）【答案】72【解析】由題意，可看成3個坐著人的座位和3個空座位排隊，恰有兩個空座位相鄰，故和另外一個空座位均不相鄰，先安排3個坐著人的座位，共有種坐法，產生4個空位，然后安排空座位到空中，相鄰的兩個空位捆綁在一起，看做一個元素，有種坐法，然后再從剩余的3個空中選擇一個，將剩余的一個空座位安上，有種坐法，所以共有種坐法.故答案為：72.14.在三個地區暴發了流感，這三個地區分別有人患了流感.假設這三個地區的人口數的比為，現從這三個地區中任取一人，則這個人患流感的概率是___________；如果此人患流感，此人選自地區的概率___________.【答案】；【解析】記事件選取的這個人患了流感，記事件此人來自地區，記事件此人來自地區，記事件此人來自地區，則，且、、彼此互斥，由題意可得，，，，，，由全概率公式可得；由條件概率公式可得.故答案為：；. 四?解答題：本題共5小題，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知二項式的二項展開式中二項式系數之和為256.（1）求展開式中的系數；（2）求展開式中所有的有理項.解：（1）由二項式系數和為，則，解得；則展開式的通項公式為，，令，解得，所以展開式中含的系數為；（2）由（1）可知，令，且，則，則展開式中的有理項分別為，，.16.在能源和環保的壓力下，新能源汽車無疑將成為未來汽車發展的方向.為促進新能源汽車發展，實施差異化交通管理政策，公安部將在2018年上半年，將在全國所有城市全面啟用新能源汽車專用號牌.2020年11月，國務院辦公廳印發《新能源汽車產業發展規劃》（2021—2035年）要求深入實施發展新能源汽車國家戰略，推動中國新能源汽車產業高質量可持續發展.隨著國家對新能源汽車產業的支持，很多國產新能源汽車迅速崛起，又因其顏值高?空間大?提速快?用車成本低等特點深得民眾的追捧，目前充電難問題已成為影響新能源汽車銷量的關鍵因素，國家為了加快新能源汽車的普及，在全國范圍內逐步增建充電樁.某地區2019—2023年的充電樁數量及新能源汽車的年銷量如表所示：年份20192020202120222023充電樁數量萬臺13579新能源汽車年銷量萬輛2537485872（1）由上表中新能源汽車年銷售量和充電樁數量的樣本數據所畫出的散點圖知,它們的關系可用線性回歸模型擬合,請用所學統計知識進行定量分析；（結果精確到0.001）；（2）求關于的線性回歸方程，且預測當該地區充電樁數量為24萬臺時，新能源汽車的年銷量是多少萬輛？參考公式：相關系數回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.參考數據：.解：（1）由題知，，又，，，所以，因為y與x的相關系數近似為0.999，非常接近1，所以y與x的線性相關程度很高，可以用線性回歸模型擬合y與x的關系；（2），，所以y關于x的線性回歸方程為．當時，，故當充電樁數量為24萬臺時，該地區新能源汽車的年銷量為157.25萬輛．17.已知函數，其中.（1）當時，求函數在上的最大值；（2）討論的單調性.解：（1）當時，，則，所以，當或時，，則函數單調遞增，當時，，則函數單調遞減，故函數在和上單調遞增，在上單調遞減，又，所以，函數在上的最大值為；（2）函數的定義域為0,+∞，，當時，由，可得，，當時，當時，f'x<0，此時，函數單調遞減，當或時，f'x>0，此時，函數單調遞增，當時，對任意的，f'x≥0此時，函數在0,+∞上單調遞增；當時，當時，f'x<0，此時，函數單調遞減，當或時，f'x>0，此時，函數單調遞增，綜上所述，當時，函數在、上單調遞增，在上單調遞減；當時，函數在0,+∞上單調遞增；當時，函數在、上的單調遞增，在上單調遞減.18.從2020年開始，新高考數學試卷中出現了一種新的題型多選題.教育部考試中心通過科學測量分析，指出該題型擴大了試卷考點的覆蓋面，有利于提高試卷的得分率，也有利于提高試卷的區分度.新高考數學試卷中的多項選擇題，給出的4個選項中有2