PAGEPAGE6第18練用導數探討函數的單調性[基礎保分練]1.設函數f(x)＝eq\f(1,2)x2－16lnx在區間[a－1，a＋2]上單調遞減，則實數a的取值范圍是()A.(1,3)B.(2,3)C.(1,2]D.[2,3]2.(2024·嘉興模擬)已知函數f(x)＝eq\f(1,3)ax3＋eq\f(1,2)ax2＋x(a∈R)，下列選項中不行能是函數f(x)的圖象的是()3.定義域為R的函數f(x)對隨意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且其導函數f′(x)滿意eq\f(f′x,2－x)>0，則當2<a<4時，有()A.f(2a)<f(log2a)<f(2) B.f(log2a)<f(2)<f(2a)C.f(2a)<f(2)<f(log2a) D.f(log2a)<f(2a)<f(2)4.(2024·金華一中模擬)已知定義在R上的可導函數f(x)，滿意0<f′(x)<f(x)，對a∈(1，＋∞)，則下列不等關系均成立的是()A.f(1)>eaf(a)，f(a)>eaf(1)B.f(1)>eaf(a)，f(a)<eaf(1)C.f(1)<eaf(a)，f(a)>eaf(1)D.f(1)<eaf(a)，f(a)<eaf(1)5.(2024·臺州模擬)若定義在R上的函數f(x)滿意f(0)＝0，且f(x)的導函數f′(x)的圖象如圖所示，記α＝|f(－1)|＋|f′(1)|，β＝|f(1)|＋|f′(－1)|，則()A.α＝β B.α>βC.α<β D.α＝2β6.已知函數f(x)的導函數f′(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的圖象最有可能的是()7.已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，當x>0時，xf′(x)>f(x)，若f(2)＝0，則不等式eq\f(fx,x)>0的解集為()A.{x|－2<x<0或0<x<2}B.{x|x<－2或x>2}C.{x|－2<x<0或x>2}D.{x|x<－2或0<x<2}8.已知函數y＝f(x)在R上存在導函數f′(x)，隨意x∈R都有f′(x)<x，若f(4－m)－f(m)≥8－4m，則實數m取值范圍是()A.[－2,2] B.[2，＋∞)C.[0，＋∞) D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)9.定義1：若函數f(x)在區間D上可導，即f′(x)存在，且導函數f′(x)在區間D上也可導，則稱函數f(x)在區間D上存在二階導數，記作f″(x)＝[f′(x)]′.定義2：若函數f(x)在區間D上的二階導數恒為正，即f″(x)>0恒成立，則稱函數f(x)在區間D上為凹函數，已知函數f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2＋1在區間D上為凹函數，則x的取值范圍是________.10.(2024·嘉興測試)已知f(x)＝2lnx＋x2－5x＋c在區間(m，m＋1)上為遞減函數，則m的取值范圍為________.[實力提升練]1.設函數f′(x)是函數f(x)(x∈R)的導函數，已知f′(x)<f(x)，且f′(x)＝f′(4－x)，f(4)＝0，f(2)＝1，則使得f(x)－2ex<0成立的x的取值范圍是()A.(－2，＋∞) B.(0，＋∞)C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)2.(2024·溫州模擬)已知函數f(x)與f′(x)的圖象如圖所示，則g(x)＝eq\f(ex,fx)()A.在(0,1)上是減函數B.在(1,4)上是減函數C.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))上是減函數D.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，4))上是減函數3.函數f(x)是定義在區間(0，＋∞)上的可導函數，其導函數為f′(x)，且滿意xf′(x)＋2f(x)＞0，則不等式eq\f(x＋2024fx＋2024,5)＜eq\f(5f5,x＋2024)的解集為()A.{x|x＞－2013} B.{x|x＜－2013}C.{x|－2013＜x＜0} D.{x|－2024＜x＜－2013}4.設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數，當x>0時，xlnx·f′(x)<－f(x)，則使得(x2－4)f(x)>0成立的x的取值范圍是()A.(－2,0)∪(0,2) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－2,0)∪(2，＋∞) D.(－∞，－2)∪(0,2)5.已知函數f(x)＝ex－e－x－2sinx，則不等式f(2x2－1)＋f(x)≤0的解集為________.6.若函數ex·f(x)(e＝2.71828…是自然對數的底數)在f(x)的定義域上單調遞增，則稱函數f(x)具有M性質.下列函數中全部具有M性質的函數的序號為________.①f(x)＝2－x； ②f(x)＝3－x；③f(x)＝x3； ④f(x)＝x2＋2.答案精析基礎保分練1.C2.D3.A4.D5.C6.B7.C8.B9.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))10.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))實力提升練1.B[設F(x)＝eq\f(fx,ex)，則F′(x)＝eq\f(f′x－fx,ex)<0，即函數F(x)在R上單調遞減，因為f′(x)＝f′(4－x)，即導函數y＝f′(x)關于直線x＝2對稱，所以函數y＝f(x)是中心對稱圖形，且對稱中心為(2,1)，由f(4)＝0，即函數y＝f(x)過點(4,0)，其關于點(2,1)的對稱點(0,2)也在函數y＝f(x)上，所以有f(0)＝2，所以F(0)＝eq\f(f0,e0)＝2，而不等式f(x)－2ex<0，即eq\f(fx,ex)<2，即F(x)<F(0)，所以x>0，故使得不等式f(x)－2ex<0成立的x的取值范圍是(0，＋∞)，故選B.]2.C[依據導函數的幾何意義，易得函數f(x)與f′(x)的圖象如圖所示，由圖易得當x＝0或x＝2時，f(x)＝0，則函數g(x)＝eq\f(ex,fx)的定義域為(－∞，0)∪(0,2)∪(2,＋∞)，解除選項B，D；g′(x)＝eq\f(ex[fx－f′x],f2x)，由圖易得當x∈(0,1)時，f(x)>f′(x)，即g′(x)＝eq\f(ex[fx－f′x],f2x)>0，所以函數g(x)＝eq\f(ex,fx)在(0,1)上是增函數，故選項A錯誤；又由圖易得當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))時，f(x)<f′(x)，即g′(x)＝eq\f(ex[fx－f′x],f2x)<0，所以函數g(x)＝eq\f(ex,fx)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))上是減函數，故選C.]3.D[構造函數g(x)＝x2f(x)，則g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)].當x＞0時，∵2f(x)＋xf′(x)＞0，∴g′(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上單調遞增.∵不等式eq\f(x＋2024fx＋2024,5)＜eq\f(5f5,x＋2024)，∴當x＋2024＞0，即x＞－2024時，(x＋2024)2f(x＋2024)＜52f(5)，∴g(x＋2024)＜g(5)，∴x＋2024＜5，∴－2024＜x＜－2013.]4.D[依據題意，設g(x)＝lnx·f(x)(x>0)，其導數g′(x)＝(lnx)′f(x)＋lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＋lnxf′(x)，又由當x>0時，lnx·f′(x)<－eq\f(1,x)f(x)，得g′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＋lnx·f′(x)<0，即函數g(x)在(0，＋∞)上為減函數，又由g(1)＝ln1·f(1)＝0，則在區間(0,1)上，g(x)＝lnx·f(x)>g(1)＝0，又由lnx<0，得f(x)<0；在區間(1，＋∞)上，g(x)＝lnx·f(x)<g(1)＝0，又由lnx>0，得f(x)<0，則在(0,1)和(1，＋∞)上f(x)<0，當x>0時，xlnx·f′(x)<－f(x)，令x＝1得，0<－f(1)，則f(1)<0，即在(0，＋∞)上f(x)<0，又由f(x)為奇函數，則在區間(－∞，0)上，都有f(x)>0，(x2－4)f(x)>0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4>0，,fx>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4<0，,fx<0，))解得x<－2或0<x<2.則x的取值范圍是(－∞，－2)∪(0,2)，故選D.]5.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))解析由題意得f(－x)＝e-x－ex－2sin(－x)＝e-x－ex＋2sinx＝－f(x)，∴函數f(x)是奇函數.設x>0，則f′(x)＝ex＋e-x－2cosx，∵x>0，∴ex＋e-x>2eq\r(ex·e-x)＝2，∴f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增.∵函數f(x)是定義在R上的奇函數，∴函數f(x)是R上的增函數，∴f(2x2－1)≤－f(x)＝f(－x)，∴2x2－1≤－x，∴－1≤x≤eq\f(1,2).6.①④解析對于①，f(x)＝2－x，則g(x)＝exf(x)＝ex·2-x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))x為實數集上的增函數；對于②，f(x)＝3-x，則g(x)＝exf(x)＝ex·3-x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,3)))x為實數集上的減函數；對于③，f(x)＝x3，則g(