PAGEPAGE1小題專練·作業(八)空間幾何體的三視圖、表面積與體積1.如圖為一個幾何體的側視圖和俯視圖，則它的正視圖為()解析依據題中側視圖和俯視圖的形態，推斷出該幾何體是在一個正方體的上表面上放置一個四棱錐(其中四棱錐的底面是正方體的上表面、頂點在底面上的射影是底面一邊的中點)，結合選項知，它的正視圖為B。答案B2．(2024·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A．2B．4C．6D．8解析由三視圖可知，該幾何體是一個底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積V＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2×2＝6。故選C。答案C3．(2024·太原二模)某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．eq\f(7,3) B．eq\f(8－π,3)C．eq\f(8,3) D．eq\f(7－π,3)解析由三視圖知該幾何體是由如圖所示的四棱錐P－ABCD挖去一個半圓錐后形成的，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，高是2，圓錐的底面半徑是1，高是2，所以該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×2×2×2－eq\f(1,2)×eq\f(1,3)π×12×2＝eq\f(8－π,3)。故選B。答案B4．(2024·福建漳州二模)如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中，畫出的是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是()A．9 B．eq\f(27,2)C．18D．27解析依據三視圖可知該幾何體是一個三棱錐，將三棱錐A－BCD還原到長方體中，長方體的長、寬、高分別為6、3、3，所以該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×3×3＝9。故選A。答案A5．(2024·全國卷Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π解析依據題意，可得截面是邊長為2eq\r(2)的正方形，所以圓柱的高為2eq\r(2)，底面圓的半徑為eq\r(2)，所以其表面積為S＝2π(eq\r(2))2＋2eq\r(2)π×2eq\r(2)＝12π。故選B。答案B6．(2024·成都診斷)在三棱錐P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝eq\r(3)，若該三棱錐的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為()A．eq\f(4π,3) B．eq\f(8\r(2)π,3)C．8π D．12π解析易知△ABC是等邊三角形。如圖，作OM⊥平面ABC，其中M為△ABC的中心，且點O滿意OM＝eq\f(1,2)PA＝1，則點O為三棱錐P－ABC外接球的球心。于是，該外接球的半徑R＝OA＝eq\r(AM2＋OM2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)×\r(3)×\f(2,3)))2＋12)＝eq\r(2)。故該球的表面積S＝4πR2＝8π。故選C。答案C7．一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為________。解析由已知三視圖知該幾何體是由一個正方體截去了一個“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個三棱錐。設正方體的棱長為1，則三棱錐的體積為V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)，剩余部分的體積V2＝13－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6)。所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,6),\f(5,6))＝eq\f(1,5)。答案eq\f(1,5)8．(2024·江蘇高考)如圖所示，正方體的棱長為2，以其全部面的中心為頂點的多面體的體積為________。解析正方體的棱長為2，以其全部面的中心為頂點的多面體是正八面體，其中正八面體的全部棱長都是eq\r(2)，則該正八面體的體積為eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×1×2＝eq\f(4,3)。答案eq\f(4,3)9．如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D為棱AA1的中點。若AA1＝4，AB＝2，則四棱錐B－ACC1D的體積為________。解析取AC的中點O，連接BO，則BO⊥AC，所以BO⊥平面ACC1D，因為AB＝2，所以BO＝eq\r(3)，因為D為棱AA1的中點，AA1＝4，所以S梯形ACC1D＝eq\f(1,2)(2＋4)×2＝6，所以四棱錐B－ACC1D的體積為2eq\r(3)。答案2eq\r(3)10．設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D－ABC體積的最大值為________。解析設等邊三角形ABC的邊長為x，則eq\f(1,2)x2sin60°＝9eq\r(3)，得x＝6。設△ABC的外接圓半徑為r，則2r＝eq\f(6,sin60°)，解得r＝2eq\r(3)，所以球心到△ABC所在平面的距離d＝eq\r(42－2\r(3)2)＝2，則點D到平面ABC的最大距離d1＝d＋4＝6，所以三棱錐D－ABC體積的最大值Vmax＝eq\f(1,3)S△ABC×6＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3)。答案18eq\r(3)11．(2024·河南新鄉一模)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，其中俯視圖中的兩段圓弧均為半圓，該幾何體的體積為()A．8－eq\f(2,3)π B．8－πC．8－2π D．8＋2π解析由三視圖可知該幾何體是由正方體挖去兩個半圓柱后形成的，如圖。該幾何體的體積為2×2×2－2×eq\f(1,2)×π×12×2＝8－2π。故選C。答案C12．(2024·全國卷Ⅰ)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為()A．eq\f(3\r(3),4) B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\f(3\r(2),4) D．eq\f(\r(3),2)解析記該正方體為ABCD－A′B′C′D′，正方體的每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，即共點的三條棱A′A，A′B′，A′D′與平面α所成的角都相等。如圖，連接AB′，AD′，B′D′，因為三棱錐A′－AB′D′是正三棱錐，所以A′A，A′B′，A′D′與平面AB′D′所成的角都相等。分別取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中點E，F，G，H，I，J，連接EF，FG，GH，HI，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六點共面，平面EFGHIJ與平面AB′D′平行，且截正方體所得截面的面積最大。又EF＝FG＝GH＝HI＝IJ＝JE＝eq\f(\r(2),2)，所以該正六邊形的面積為6×eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝eq\f(3\r(3),4)，所以α截此正方體所得截面面積的最大值為eq\f(3\r(3),4)，故選A。答案A13．(2024·東北三校二模)已知某幾何體的三視圖如圖所示，過該幾何體最短兩條棱的中點作平面α，使得α平分該幾何體的體積，則可以作此種平面α()A．恰好1個 B．恰好2個C．至多3個 D．至少4個解析幾何體的直觀圖如圖所示。該幾何體最短兩條棱為PA和BC，設PA和BC的中點分別為E，F，則過E，F且平分幾何體體積的平面α，可能為：①平面PAF；②平面BCE；③平面EGFH(其中G，H為AC和PB的中點)；④平面EMFN(其中M，N為PC和AB的中點)，所以此種平面至少4個。故選D。答案D14．(2024·江西九江二模)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB＝BC＝1。點D為側棱BB1上的動點。若△ADC1周長的最小值為eq\r(3)＋eq\r(5)，則三棱錐C1－ABC外接球的表面積為________。解析將側面綻開如圖，易知當D為側棱BB1的中點時，△ADC1周長最小，此時設BD＝x，則2eq\r(1＋x2)＋eq\r(2＋4x2)＝eq\r(3)＋eq\r(5)，可得x＝eq\f(1,2)，所以CC1＝1，又易知三棱錐C1－ABC外接球的球心為AC1的中點，所以半徑R＝eq\f(\r(3),2)，則三棱錐C1－ABC外接球的表面積為S＝4πR2＝3π。答案3π15．(2024·長春質量監測)已知圓錐的側面綻開圖是半徑為3的扇形，則該圓錐體積的最大值為________。解析由題意得圓錐的母線長為3，設圓錐的底面半徑為r，高為h，則h＝eq\r(9－r2)，所以圓錐的體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(9－r2)＝eq\f(1,3)πeq\r(9r4－r6)。設f(r)＝9r4－r6(r>