第一講統籌安排

例1.媽媽殺好魚后，讓小明幫助燒魚.他洗魚、切魚、切姜片蔥花、洗鍋煎燒，各道工序共花

了17分鐘（如下圖），請你設計一個順序，使花費的時間最少.

2分鐘2分鐘1分鐘2分鐘,2分鐘3分鐘5分鐘

"殖H旗畫1T漏"H隹鍋燒熱IT將油燒熱r翦燒

例2.用一只平底鍋煎餅，每次能同時放兩個餅.如果煎一個餅需要4分鐘（假定正、反面各

需2分鐘），問煎15個餅至少需要幾分鐘？

例3.趙師傅要加工某項工程急需的5個零件，如果加工零件A、B、C、【）、E所需時間分別是

5分鐘、3分鐘、4分鐘、7分鐘、6分鐘.問應該按照什么次序加工，使工程各部件組裝所耽誤的

時間總和最少？這個時間是多少？

例4.小芳為家里做飯，她擇菜需要8分鐘，洗菜5分鐘，空水3分鐘，洗米3分鐘，煮飯10

分鐘，切菜4分鐘，炒菜6分鐘.若小芳家使用的是單火眼燥氣灶，她怎樣安排做飯順序最省時合

理？若小芳家使用的是雙火眼煤氣灶，又將怎樣安排才合理？最省時間分別是多少？

例5.在一條公路上，每隔100千米有一座倉庫，共有五座，圖中數字表示各倉庫庫存貨物的

重量.現在要把所有的貨物集中存放在一個倉庫里，如果每噸貨物運輸1千米需要運費（）.5元，那

么集中到哪個倉庫運費最少，需要多少錢？

ABCDE

10噸30噸20噸10噸60噸

例6.有兩個面粉廠供應三個居民區的面粉，甲廠月產60噸，乙廠月產100噸.第一居民區每

月需要面粉45噸，第二居美區每月需要75噸，第三居民區每月需要40噸.甲、乙兩廠與三個居民

區的距離如下表所示，問如何分配面粉，才能使運費最省？（單位：千米）

一區二區三區

面粉入

甲1056

乙4815

練習一

1、用一只平底鍋煎餅，每次能同時放兩個餅.如果煎一個餅需要4分鐘（假定正、反面各需2分鐘）,

問煎15個餅至少需要幾分鐘？

2、小明、小華、小強同時去衛生室找張大夫治病.小明打針要5分鐘.小華換紗布要3分鐘，小強點

眼藥水要1分鐘.問張大夫如何安排治病次序，才能使他們耽誤上課的時間總和最少？并求出這個時

間.

3、理發室里有甲、乙兩位理發師，同時來了五位顧客，根據他們所要理的發型，分別需要10、12、

15、20和24分鐘，怎樣安排他們理發的順序，才能使這五人理發和等候所用時間的總和最少？最少

時間為多少？

第二講巧求周長

一、法與技巧

周長是指圍繞一個封閉圖形一周的線段或曲線的長度。

長方行的周長二正方形的周長二

用字母表示是：

二、典型例題

例1試求下左圖的周長（單.位：匣米）。

個5

~7

例2上頁右下圖是由邊長為1厘米的11個正方形堆成的“土”字圖形。試求出其周長。

例3右圖是某小學教學樓的平面示意圖，設計者在圖上只標明了三條線段的長度（單位：米）。請

你算出它的周長。

50

28

--------16

例4下圖是由七個長5厘米、寬3厘米的相同長方形經過豎放、橫放而成的圖形。求這個圖形的

周長。

3

n±Tj10

6

10

5.下圖的小正方形邊長為1厘米。這個圖形的外沿的周長是多少厘米？

6.下圖的小正方形邊長為1厘米。這個圖形的外沿的周長是多少厘米？

第三講計數問題

一、方法與技巧

要學會在觀察、思考、分析中總結、歸納出解決問題的規律和方法。有些題比較簡單，只要按

照一定的規律就能很快地數出；有些題比較復雜，不僅要巧用規律，還要細心、耐心，才能不重復、

不遺漏地數出圖形的個數。

二、典型例題

例1數一數下面共有多少條線段？

ABCDEFG

線段數=

例2數一數下面共有多少條線段?

例3數一數，圖中有多少個三角形？

例4數一數下圖中有多少長方形？

長方形的個數=

例5、數一數下圖中各有多少個正方形？

正方形的個數=

例6這堆木方塊共有多少塊?你能用幾種不同的方法數匕來和算出來嗎？

例7如圖所示，一個木制的正方體，棱長為3寸，它的六個面都被涂成了紅色.如果沿著圖中畫出

的線切成棱長為1寸的小正方體.

求：（1）3面涂成紅色的有多少塊?

（2）2面涂成紅色的有多少塊？

（3）1面涂成紅色的有多少塊？

（4）各面都沒有涂色的有多少塊？

（5）切成的小正方體共有多少塊?

練習三

I、圖中有多少個正方形?

電w

⑴(2)

圖3?9

2.數一數，圖形中有幾個長方形？

3.數一數，下圖中有多少個二角形？多少個F方形？

4.數一數，下圖中共有多少條線段?有多少個三角形?

5.數-?數，下圖中共有多少個小于180°角？

6.數一數，下圖中共有多少個三角形？

第四講速算與巧算

例1、用簡便方法求和:

①536+(541+464)+459②588+264+148③8996+3458+7546

例2、用簡便方法求差:

①1870-280-520②4995-(995-480)③4250-294+94

例3、用簡便方法計算下列各題:

①478-128+122-72②464-545+99+345③537-(543-163)-57

例4、計算下面各題。

①23X11②45X99③72X125

@25X36⑤123X25X4

練習四

1、用簡便方法求和:

63+184+137+48+169+99+999+99998+98+998+9998+99998

2、用簡便方法求差:

916-263-1371625-239-363-461-137628-(186+328)

3、用簡便方法計算下列各題:

728-478+462-122555-896+445+7965389-928-1072-1387-1613

4、計算下面各題。

456X10125X3623X99

第五講加法原理和乘法原理

在生活、生產和科學研究中，常常需要計算“完成一件事情，共有多少種不同的方法”的問題。

正確的運用加法原理和乘法原理，就可以幫助我們不重復，不遺漏地計算這類問題的結果。

1.乘法原理

例1從甲地到乙地有3條路可走，從乙地到內地又有4條路可走。從甲地經過乙地到內地共有多

少種不同的走法？

例2從4個男生，5個女生中各選一人擔任組長，的多少種不同的選法？

例3從5個不同圖案的文件盒，4支不同牌子的鉛筆，3支不同型號的鋼筆和2把不同材料的直尺

中，各取一件，配成一套學習用具，最多有多少套不同的學習用具？

如果完成一件事情，有幾類個必不可少的步驟,，而每個步驟又有若干種不同的方法，那么完成

這件事的方法總數等于每個步驟的方法種數的乘積。這就是乘法原理。

2.加法原理

例4從甲地到乙地可以乘坐火車、輪船、飛機。在一天中，從甲地到乙地有4班火車，3班輪船,

3班飛機。那么一天中從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

例5從4個男生，5個女生中選一人擔任組長，有多少種不同的選法?

例6商店有5個不同的圖案的文件盒，4支不同牌子的鉛筆，3支不同型號的鋼筆和2把不同材料

的直尺，從這些文具中任意買一件，共有多少種不同的買法？

如果完成一件事情有幾類不同的方法，而每一類又有若干種方法，那么完成這件事的方法總數

等于每類的方法種數的和。這就是加法原理。

例7用數字2、3、5、7四個數字可以組成（1）多少個三位數？（2）多少個沒有重復數字的

三位數？

例8用紅色或黃色的彩旗掛在旗桿上，不同的順序表示不同信號。用3面彩旗可以表示多少種不

同信號？試把它們寫出來。

例9如圖有6個點，9條線段。一只甲蟲從A點出發，沿著某幾條線段爬到F點，行進中，同一

個或同一條線段只能經過一次，這只甲蟲最多有多少種不同走法？

A

F

例10已知一種三位數，它的三個數位上的數字之和是24。這樣的三位數共有多少個?

練習五

1.用1、3、5、7可以組成（1）多少個二位數？（2）多少個沒有重復數字的二位數？

2.一天上午要上語文、數學、體育各一節課。這半天的三節課有幾種不同的排法?

3.用兩位數做被除數，一位數做乘數，一共有多少不同的乘法算式？

4.年晚會上，用紅、黃兩種顏色的彩色粉筆在黑板上寫“新年好”三個字，有多少種不同的寫法?

5.如上圖，從A地到B地有兩條路；從B地到D地有兩條路；從A地到C地只有一條路；從C地到

D地有3條路。那么從A地到D地有多少種不同走法？

D

A

6從甲、乙、丙、丁四個小朋友中選兩名去參加圍棋賽。有多少種不同的選法

7.數字比個位上的數字大的兩位數一共有多少個？

8.有《中國少年報》、《少年文藝》、《少兒科學》、》《中國兒童》四種雜志，學校要求每人訂閱其中

一種或兩種，共有多少種不同的訂閱方式？

9.四年級一、二、三班舉辦的聯歡會共演出10個節目，每班至少演出3個。三個班承擔節目個數

有多少種不同的分配方式？

10.一本故事書有122頁，為這本書編頁碼共用了多少個阿拉伯數字?

三個數位上的數字之和等于26的三位數，一共有多少個？

第六講等差數列

1、3、5、7、（）、11、（）；①

2、5、8、11、（）、17.（）；②

2、3、5、7、2、3、（）、7；③

1、1、2、3、5、8、（）、（）。④

1.等差數列的項

數列1、3、5、7、（）、11、（）的各項的規律是：

數列2、5、8、11、（）、17、（）的各項的規律是：

等差數列的某一項=首項+公差X（項數-1）

例1數列2、5、8、11、14……,（1）它的第10項是多少？（2）它的第100項是多

少？（3）197是這個數列中的第幾項？（4）這個數列各項被幾除有相同的余數？

等差數列的項數=（末項-首項）+公差+1

等差數列的每1項除以它的公差，余數相等。

例2有一串數1、5、9、13……、189,（1）這串數一共有多少個數？（2）這串數第1

8項是多少？

2.等差數列的和

德國數學家高斯小時侯就想出了最簡便的方法計算1+2+3+……+100,他的方法你們

知道嗎？

例3.計算5+9+13+17+21+25+29+33+37

解法一：

解法二;

由例3解法?可以得到求等差數列若干項的和的方法：

由例3解法二可知，等差數列奇數項的和又一解便求法:

例4.已知五個連續偶數的和是210,求這五個數。

例5.計算3+8+13+18+23+28+……+378

練習六

1.一串數：I、4、7、10、13、……199o(1)它的第20項是多少？(2)這串數共有多少個？

2.有一串數組成等差數列，第一項是4,第51項是154。(1)它的公差是多少？(2)它的第90項

是多少？

3.一列數：2、6、10、14……，(1)它的第100項是多少？(2)這100項的和是多少?

4.用不同的方法計算

(1)1+2+3+44-5+6+7+……+997+998+999+1000

(2)7+11+15+19+23++399+403

(3)9+19+29+39+……+99

(4)1+3+5+7+……+97+99

5.有3個相鄰奇數的和是381,求這三個奇數。

6.從1到100的整數中，3的倍數有多少個？它們的和是多少？

7.從1到100的整數中，被4除余1的數1、5、9、13、……有多少個？

8.一輛公共汽車，第一站（起點）上1位乘客，第二站上2位乘客，第三站上3位乘客（不下車）。

照這樣，在第幾站上了乘客后，車上共有45位乘客？

9.鐘樓上的鐘每到整點就敲打，幾點就敲打幾下，最多只能敲12下，這個鐘一晝夜24小時共敲

多少下？

10.右邊三角形邊長是I米，每邊上從頂點開始每隔2厘米取一點，如圖把分點連接起來，得到許

多個邊長的2厘米的三角形，這樣的三角形共有多少個？

第七講最大與最小

在日常生活和生產中，我們經常考慮以下問題：交通運輸中，怎樣使路程最短，運費最省；生

產的安排、調配、設計，怎樣使工期最短，效率最高，最省原材料。總之，都考慮一個“最”的問

題卜.面我們初步學習這類問題涉及到的最大值和最小值問題有關的一些規律。

例1觀察下面兩組算式的結果怎樣變化，由此得出什么規律？

(1)10=1+91X9=9

10=2+82X8=16

10=3+73X7=21

10=4+64X6=24

10=5+55X5=25

(2)16=1X161+16=17

16=2X82+8=10

16=4X44+4=8

由（1）、（2）可以得到以下規律：

規律（1）：兩個數的和一定時，這兩個數越接近，它們的乘積越大；當兩個數相等時，它們的乘積

最大。

規律（2）：兩個數的積一定時，這兩個數越接近，它們的和越小；當兩個數相等時，它們的和最小。

例2周長為36米的竹籬色圍成一個長方形菜園，要使菜園的面積最大，它的長和寬應該是多少？

這時的最大面積是多少？

例3用竹籬笆圍一個面積為25平方米的長方形菜地。這個長方形菜地的長、寬各等于多少時，最

省材料？周長最少多少米？

由例2、例3可以知道：（1）周長相等的長方形中，以正方形的面積最大。（2）面積相等的長方形

中，以正方形的周長最小。

例4把14拆成兩個數的和，再求出這兩個數的乘積。如何拆可以使乘積最大？最大積是多少？

例5把14拆成幾個自然數的和，再求出這些自然數的乘積。如何拆可以使乘積最大？最大積是多

少？

規律（3）：把一個自然數拆成若干個自然數的和，如果要使這些自然數的乘積最大，那么，拆出的

數中3的個數盡量多，2的個數不多于2個。

例6不計算出積，比較12489X12356與12359X12486的大小。

練習七

La、b兩個自然數，a+b=16,那么aXb最大是多少？

2.a、b是兩個自然數，aXb=49,那么a+b最小是多少？

3.用40厘米長的鐵絲圍成的長方形（不計接頭長度）中，最大一個的面積是多少平方米？

4.教室一個窗戶的面積是225平方分米，怎樣設計窗戶的形狀和尺寸最省材料?

5.把17分成幾個自然數的和，再求出這些數的積，要使得積盡可能大，最大的枳是多少？

6.把1、2、3、4、5、9,填入下面方框里，要使兩個三位數的積最大，怎樣填？

□□□X□□□

7.比較下面兩個積的大小。

A=987654321X123456789

B=687654321X423456789

8.從0、1、2、4、6、8、9這七個數字中，選出五個數字組成一個能被5整除并且盡可能大的五位

數，這個五位數是多少？

9.小軍有1元錢的硬幣，其中5分的有9枚，2分的有1D枚，其余都是1分的。他要從中拿出0.68

元買文具，而且拿出的硬幣的枚數要盡可能少，應該怎樣拿法，共要拿多少枚硬幣？

*10.某班有6個同學參加數學競賽，6人的得分各不相同，得分最高的是63分，他們所得分數的

和是344分，得分最低的同學最少是多少分？

第八講包含與排除

把各個部分數相加，求總和時，有時需要去掉重復相加的部分。這樣的問題叫包含與排除的問

題，也稱重登問題或容斥問題。

例1一天老師統計四（1）班學生完成作業的情況是：每人至少完成了語文、數學中的一門作業，

完成語文作業的有40人，完成數學作業的有36人，語文、數學作業都完成的有28人。這個班學生

有多少人？

例2某班40名學生每人至少訂一種報紙，訂《少年報》的有27人，訂《科技報》的21人，兩種

都訂的有多少人？

例3一個班有42人，參加體育隊的有30人，參加文藝隊的有25人，每人至少參加一個隊，（1）

問兩隊都參加的有幾人？：2）只參加體育隊的有多少人？

例4某班有50名學生，其中23人參加數學競賽，15人參加作文競賽，有5人既參加了數學競賽

又參加了作文競賽，那么

（1）只參加數學競賽的有幾人？

（2）參加競賽的一共有多少人？

（3）沒有參加競賽的共有多少人？

例5如圖，邊長是6厘米和邊長是4厘米的兩個正方形紙片放在桌子上，它們所蓋住的面積是多

少平方厘米？

練習八

1.某班學生，每人家里至少有彩電和冰箱中的一樣，已知家中有彩電的有39人,有冰箱的有32

人，兩樣都有的有24人，這個班級共有多少人？

2.一張圓紙的面積是10平方厘米，一張正方形紙片的面積是16平方厘米，兩張紙片一部分重放

在桌面，覆蓋的面積為18平方厘米，問：兩張紙片重合的面積是多少平方厘米？

3.在100人中，會下中國象棋的有72人，會下國際象棋的有54人，這兩種棋都不會的有20人，

兩種棋都會下的有幾人？

4.38人參加測試，答對第一題的有25人，答對第二題的有23人，兩題都答對的有15人，問：有

幾人兩道題都沒有答對？

5.光明小學四年紀一班學生到野外每人都采集到標本，采集昆蟲標本的喲偶32人，采集植物標本

的有27人，兩種標本都采集的有7人。全班學生共有多少人？

6.某校四年級有學生135人，報名參加體育組的有120人，參加文藝組的有98人，規定：每人至

少參加一項，問：只參加體育小組和只參加文藝小組的各有多少人？

7.學校組織了50名隊員的文藝演出隊，有19人排練唱歌的節目，有15人排練舞蹈，既唱歌又跳

舞的有7人。問：

(1)只唱歌的有幾人？

(2)跳舞的有幾人？

8.在100人學生中，音樂愛好者有56人，體育愛好有75人，那么，既愛好音樂，又愛好體育

的最少有多少人？最多時，可達到多少人？

綜合練習題

1.簡便計算

(1)9+99+999+9999+99999+999999

(2)1-2+3-4+5-6+???+1991-1992+1993

(3)1000+999-998-997+996+995-994-993+…+108+107-106-105+104

+103-102-101

(4)6254-25(5)9600+25+4

(6)54X99(7)9999+9999X9999

2.等差數列求和

(1)9+18+27+36+…+261+270

(2)求所有被7除余數是1的三位數的和.

3.數陣圖。

(1)將1?11這十一個數分別填入下圖中的

11個。內，使每條線上三個O內數的和都相等。

(2)1?6這6個數分雙填入

右圖中的小圓圈內，使每個大圓

圈上的4個數之和都等于15o

4.巧求周長

5.數圖形。

6.包含與排除。

(I)一個班有55名學生，訂閱《小學生數學報》的有12人，訂閱《今日少年報》的有9人，兩種

報紙都訂閱的有5人。求：(1)訂閱報紙的總人數是多少？(2)兩種報紙都訂閱的有多少人？

（2）一個旅行團有36人，其中會英語的有24人,會俄語的有18人，兩樣都不會的有4人。問兩

樣都會的有多少人？

（3）在不超過50的自然數中，2的倍數和3的倍數共有多少個？既是2的倍數又是3的倍數的一

共有多少個？

7.最大與最小。

（1）把1、2、4、5、7、9,填入下面的方框里，要使兩個三位數的積最大，怎樣填？

□□□X□□□

（2）把。?6這七個數字填入下式，使結果盡可能大，這個結果是多少？

□□XX□

（2）把16分成幾個自然數的和，再求出這些數的積，要使得積盡可能大，最大的積是多少？

（3）不用算出結果，比較下面兩個乘積的大小。

A=987654321X123456789

B=987654322X123456788

8.算式謎

加減法算式謎：

6□□□0□□

+2□15—3□17

□0912856

□0□□