數學幾何高中題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.若直線\(l\)與平面\(\alpha\)所成角為\(30^{\circ}\)，直線\(l\)的方向向量為\(\vec{a}\)，平面\(\alpha\)的法向量為\(\vec{n}\)，則\(\sin\theta\)（\(\theta\)為\(\vec{a}\)與\(\vec{n}\)的夾角）的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)2.正方體\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，異面直線\(A_{1}B\)與\(AD_{1}\)所成角為（）A.\(30^{\circ}\)B.\(45^{\circ}\)C.\(60^{\circ}\)D.\(90^{\circ}\)3.已知圓錐的底面半徑為\(1\)，母線長為\(3\)，則該圓錐的側面積為（）A.\(3\pi\)B.\(4\pi\)C.\(\pi\)D.\(2\pi\)4.若一個球的體積為\(4\sqrt{3}\pi\)，則它的表面積為（）A.\(12\pi\)B.\(8\pi\)C.\(4\pi\)D.\(16\pi\)5.直線\(l\)過點\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行，則直線\(l\)的方程為（）A.\(2x-y=0\)B.\(2x-y-4=0\)C.\(x+2y-5=0\)D.\(x+2y-4=0\)6.圓\(x^{2}+y^{2}-4x+6y=0\)的圓心坐標為（）A.\((2,-3)\)B.\((-2,3)\)C.\((-2,-3)\)D.\((2,3)\)7.拋物線\(y^{2}=8x\)的焦點坐標是（）A.\((2,0)\)B.\((0,2)\)C.\((4,0)\)D.\((0,4)\)8.橢圓\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的離心率為（）A.\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)B.\(\frac{\sqrt{7}}{3}\)C.\(\frac{4}{5}\)D.\(\frac{3}{5}\)9.已知三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的側棱與底面垂直，\(AA_{1}=2\)，\(BC=2\)，\(\angleBAC=90^{\circ}\)，則三棱柱外接球的體積為（）A.\(\frac{4\pi}{3}\)B.\(\frac{8\pi}{3}\)C.\(\frac{16\pi}{3}\)D.\(\frac{32\pi}{3}\)10.直線\(x-\sqrt{3}y+1=0\)與圓\((x-1)^{2}+y^{2}=1\)的位置關系是（）A.相切B.相交C.相離D.不確定二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是直線的方程形式（）A.點斜式B.斜截式C.兩點式D.截距式2.正方體\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，下列說法正確的是（）A.\(A_{1}C\)與\(BD\)垂直B.\(A_{1}B\)與平面\(A_{1}B_{1}CD\)所成角為\(45^{\circ}\)C.平面\(A_{1}BD\parallel\)平面\(CB_{1}D_{1}\)D.異面直線\(AD_{1}\)與\(A_{1}C_{1}\)所成角為\(60^{\circ}\)3.關于圓的方程，下列說法正確的是（）A.圓的標準方程\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)中，圓心坐標為\((a,b)\)，半徑為\(r\)B.圓\(x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0\)表示圓的條件是\(D^{2}+E^{2}-4F>0\)C.已知圓\(C_{1}\)：\(x^{2}+y^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}=0\)和圓\(C_{2}\)：\(x^{2}+y^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}=0\)，則兩圓公共弦所在直線方程為\((D_{1}-D_{2})x+(E_{1}-E_{2})y+(F_{1}-F_{2})=0\)D.過圓外一點\(P(x_{0},y_{0})\)作圓\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)的切線，切線長為\(\sqrt{(x_{0}-a)^{2}+(y_{0}-b)^{2}-r^{2}}\)4.橢圓的性質正確的有（）A.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)的長軸長為\(2a\)，短軸長為\(2b\)B.橢圓的離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c\)為半焦距），且\(0<e<1\)C.橢圓上的點到兩焦點距離之和為\(2a\)D.橢圓的焦點在\(x\)軸上時，焦點坐標為\((\pmc,0)\)5.拋物線\(y^{2}=2px(p>0)\)的性質有（）A.焦點坐標為\((\frac{p}{2},0)\)B.準線方程為\(x=-\frac{p}{2}\)C.拋物線上一點\((x_{0},y_{0})\)到焦點的距離為\(x_{0}+\frac{p}{2}\)D.過焦點的弦長\(AB=x_{1}+x_{2}+p\)（\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)）6.以下哪些幾何體是旋轉體（）A.圓柱B.圓錐C.棱錐D.球7.若直線\(l_{1}\)：\(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\)與直線\(l_{2}\)：\(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\)平行，則（）A.\(A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0\)B.\(A_{1}C_{2}-A_{2}C_{1}\neq0\)或\(B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}\neq0\)C.兩直線斜率相等D.兩直線在\(y\)軸上截距不相等8.對于空間向量\(\vec{a}=(x_{1},y_{1},z_{1})\)，\(\vec{b}=(x_{2},y_{2},z_{2})\)，下列說法正確的是（）A.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}\)B.若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，則\(\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}=\frac{z_{1}}{z_{2}}\)（\(x_{2},y_{2},z_{2}\)均不為\(0\)）C.\(|\vec{a}|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}\)D.若\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，則\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)9.三棱錐\(P-ABC\)中，以下哪些條件能推出\(PA\perp\)平面\(ABC\)（）A.\(PA\perpAB\)，\(PA\perpAC\)，\(AB\capAC=A\)B.\(PA\perpBC\)，\(PB\perpAC\)，\(PC\perpAB\)C.平面\(PAB\perp\)平面\(ABC\)，平面\(PAC\perp\)平面\(ABC\)，平面\(PAB\cap\)平面\(PAC=PA\)D.\(PA\perp\)平面\(PBC\)10.已知圓\(C\)：\((x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25\)，直線\(l\)：\(mx-y+1-m=0\)，則（）A.直線\(l\)恒過定點\((1,1)\)B.直線\(l\)與圓\(C\)相交C.當\(m=0\)時，直線\(l\)被圓\(C\)截得的弦長為\(4\sqrt{6}\)D.直線\(l\)被圓\(C\)截得的最短弦長為\(4\sqrt{5}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若直線\(l_{1}\)：\(y=k_{1}x+b_{1}\)與直線\(l_{2}\)：\(y=k_{2}x+b_{2}\)垂直，則\(k_{1}k_{2}=-1\)。（）2.兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。（）3.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)與橢圓\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)的離心率相同。（）4.拋物線\(y^{2}=2px(p>0)\)上一點到焦點的距離等于到準線的距離。（）5.若圓\(C_{1}\)：\((x-a_{1})^{2}+(y-b_{1})^{2}=r_{1}^{2}\)與圓\(C_{2}\)：\((x-a_{2})^{2}+(y-b_{2})^{2}=r_{2}^{2}\)外切，則\(\sqrt{(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}}=r_{1}+r_{2}\)。（）6.空間中，若一條直線與一個平面平行，則這條直線與平面內所有直線平行。（）7.圓柱的側面展開圖是矩形。（）8.雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。（）9.球的體積公式為\(V=\frac{4}{3}\pir^{3}\)（\(r\)為球半徑）。（）10.若直線\(l\)的斜率不存在，則直線\(l\)的傾斜角為\(90^{\circ}\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求過點\((2,-1)\)且與直線\(x-2y+3=0\)垂直的直線方程。答案：已知直線斜率\(k_{1}=\frac{1}{2}\)，所求直線與之垂直，斜率\(k=-2\)。由點斜式\(y-y_{0}=k(x-x_{0})\)，可得\(y+1=-2(x-2)\)，整理得\(2x+y-3=0\)。2.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)，求其長軸長、短軸長、焦距、離心率。答案：\(a=5\)，\(b=3\)，\(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=4\)。長軸長\(2a=10\)，短軸長\(2b=6\)，焦距\(2c=8\)，離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}\)。3.一個圓錐的底面半徑為\(3\)，高為\(4\)，求該圓錐的側面積和體積。答案：母線長\(l=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)。側面積\(S=\pirl=15\pi\)，體積\(V=\frac{1}{3}\pir^{2}h=\frac{1}{3}\pi\times3^{2}\times4=12\pi\)。4.已知正方體\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的棱長為\(2\)，求異面直線\(A_{1}C_{1}\)與\(BD\)所成角的大小。答案：\(A_{1}C_{1}\parallelAC\)，異面直線\(A_{1}C_{1}\)與\(BD\)所成角等于\(A