專題拓展：與直線有關的距離最值一、常用距離公式1、點到點的距離公式：平面內兩點，間的距離公式為：．2、點到直線的距離公式：點到直線的距離．3、直線到直線的距離公式：兩條平行直線，，它們之間的距離為：．二、點關于直線的對稱1、實質：軸（直線）是對稱點連線段的中垂線．2、（1）當直線斜率存在時：方法：利用”垂直“和”平分“這兩個條件建立方程組，就可求出對稱點的坐標，一般地：設點關于直線的對稱點，則（2）當直線斜率不存在時：點關于的對稱點為三、線段和與差的最值問題解題思路1、定直線的動點到兩定點距離和的最小值，直線將其中一點對稱，使兩點在直線異側，三點共線最短；2、定直線的動點到兩定點距離差的最大值，直線將其中一點對稱，使兩點在直線同側，三點共線最短．考點一：兩點間的距離最值例1．（2023高二上·全國·專題練習）若動點P的坐標為，，則動點P到原點的最小值是.【答案】/【解析】由兩點間的距離公式得P到原點的距離為：.故答案為：【變式1-1】（23-24高二上·山東德州·月考）若三條直線相交于同一點，則點到原點的距離d的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】聯立，解得，把代入，得，，點到原點的距離，當且僅當時取等號．點到原點的距離的最小值為．故選：D．【變式1-2】（23-24高二上·全國·專題練習）已知，，則S的最小值是.【答案】2【解析】表示點到點與點的距離之和，即，如圖所示：由圖象知：，當點在線段上時，等號成立.所以取得最小值為2.故答案為：2.【變式1-3】（22-23高二上·浙江紹興·期末）已知，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【解析】如圖，設，，，，表示點與之間的距離；表示點與之間的距離；表示點與之間的距離；表示點與之間的距離；所以，其中是以1為邊長的正方形內任意一點，，；故，當且僅當時，，等號成立，所以原式的最小值為.故選：B考點二：點到直線的距離最值例2.（23-24高二上·河北張家口·月考）已知定點和直線，則點到直線的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直線，即，由解得，所以直線過定點，所以的最大值為.故選：B【變式2-1】（23-24高二上·山西呂梁·月考）點到直線的距離的最大值（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】直線，即，由，解得，所以直線過定點，，點到直線的距離的最大值為.故選：C【變式2-2】（23-24高二上·四川內江·月考）點到直線l：的距離最大時，其最大值以及此時的直線方程分別為（

）A．； B．；C．； D．；【答案】A【解析】將直線l：變形可得，解可得，所以直線過定點.當時，點到直線l：的距離最大，最大值為.又，直線的斜率為，所以，，解得，所以，直線的方程為，整理可得.故選：A.【變式2-3】（23-24高二上·江蘇·單元測試）在平面直角坐標系中，直線與直線相交于點P，則當實數變化時，點P到直線的距離的最大值為()A． B． C．3 D．【答案】D【解析】當時，，所以交點，所以；當時，由解得，所以，所以到的距離，若，則，當且僅當時取等號，若，則，當且僅當時取等號，所以，所以，所以，所以的最大值為，綜上可知，點P到直線的距離的最大值為，故選：D.考點三：平行線間的距離最值例3.（23-24高二上·河南洛陽·月考）已知點A，B分別是直線與直線上的點，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知直線，所以當，且時，有最小值，其最小值為平行直線與的距離，直線的方程可化為，所以故選：C.【變式3-1】（23-24高二上·云南楚雄·月考）已知點分別是直線與直線上的點，則的最小值為．【答案】/【解析】由題意可知直線，直線，即，則兩直線斜率均為-2，且兩直線不重合，所以直線，所以當且時，有最小值，其最小值為平行直線與的距離，所以，故答案為：【變式3-2】（22-23高二上·四川成都·期中）已知，兩點的坐標分別為，，若兩平行直線，分別過點A，B，則，間的距離的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】由題可知，，如圖，兩平行直線，分別過點A，B，因為，所以，間的距離即點到直線的距離，由圖可知，當，垂直時，，間的距離取最大值，即最大值為，又由兩點間的距離公式可知，.故選：D．【變式3-3】（22-23高二上·福建龍巖·月考）已知直線，，則直線與之間的距離最大值為.【答案】5【解析】直線化簡為：，令且，解得，，所以直線過定點，直線化簡為：，令且，解得，，所以直線過定點，，當與直線，垂直時，直線，的距離最大，且最大值為，故答案為：5．考點四：距離之和的最值例4.（23-24高二上·福建福州·期末）已知點，，H是直線：上的動點，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．【答案】A【解析】設點關于直線的對稱點為，則，解得，即，所以．故選：A.【變式4-1】（23-24高二上·重慶·期末）的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，，設，則的幾何意義為的值，如圖，作點關于x軸的對稱點，連接，與x軸的交點即為所求點P，此時取得最小值，為.而，即的最小值為，所以的最小值為.故選：D【變式4-2】（23-24高二上·河南信陽·期中）已知，則的最小值是（

）A． B． C． D．6【答案】C【解析】設點為直線l：的動點，則，可看作與點，的距離之和.設關于直線l的對稱點為，則，解得，所以，則，當且僅當與共線時（即圖中位置P），取等號即的最小值是.故選：C.【變式4-3】（23-24高二上·江蘇南通·月考）直線與直線相交于點P，對任意實數m，直線,分別恒過定點A，B，則的最大值為(

)A．4 B．8 C． D．【答案】A【解析】直線，當，得，即點，直線，當，得，即點，且兩條直線滿足，所以，即，，，當時，等號成立，所以的最大值為4.故選：A考點五：距離之差的最值例5.（23-24高二上·重慶黔江·月考）已知點，點是直線上的動點，則的最大值為.【答案】【解析】設點關于的對稱點為，則，解得，故，由對稱性可知，，當可組成三角形時，根據三角形三邊關系得到，連接并延長，交于點，則此時，即當三點共線時，取得最大值，最大值為.故答案為：【變式5-1】（23-24高二上·重慶九龍坡·月考）直線分別交軸和于點，，為直線上一點，則的最大值是．【答案】.【解析】由直線分別交軸和于點，可得，如圖所示，設點關于直線的對稱點為，則，解得，即，又由，即，則，當且僅當三點共線時，等號成立，即的最大值為，即的最大值為.故答案為：.【變式5-2】（23-24高二上·廣東廣州·期中）已知實數滿足，則的最大值是．【答案】【解析】表示直線上的點到點與的距離之差，設點關于直線的對稱點為，則，解得，即，則，當且僅當三點共線時取等號，所以的最大值為.故答案為：.【變式5-3】（23-24高二上·山東棗莊·月考）已知點，直線，點在直線上，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】如圖，作出點關于直線的對稱點，連接延長交直線于點，此時點使取得最大值.(原因如下：根據點關于直線的對稱圖形特征，知，此時,在直線上另取點,連接，則,)不妨設點，則有：解得：即,故故選：C.考點六：將軍飲馬綜合應用例6.（23-24高二上·寧夏銀川·期中）“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”是唐代詩人李頎《古從軍行》這首詩的開頭兩句.詩中隱含著一個數學問題——“將軍飲馬”：將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標系中，設軍營所在區域為，若將軍從點處出發，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區域即認為回到軍營，那么“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．13 B．11 C．9 D．7【答案】C【解析】設點關于直線的對稱點坐標為，故，解得，即對稱點，故原點到點的距離，又軍營所在區域為，則，因為，所以“將軍飲馬”的最短距離為．故選：C【變式6-1】（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）在平面直角坐標系中，軍營所在區域的邊界為，河岸所在直線方程為，將軍從點處出發，先到河邊飲馬，然后再返回軍營，如果將軍只要到達軍營所在區域即回到軍營，則這個將軍所經過的最短路程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，設將軍去河岸的B點喝水，回到軍營的C點，所以需求出最小值即可，圓的圓心為，半徑，設關于直線的對稱點為，則，解得，所以，此時，所以“將軍飲馬”的最短路程為．故選：D．【變式6-2】（23-24高二上·上海奉賢·月考）2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術性最強的一部分，唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設將軍的出發點是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發點到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則（）A．將軍從出發點到河邊的路線所在直線的方程是B．將軍在河邊飲馬的地點的坐標為C．將軍從河邊回軍營的路線所在直線的方程是D．“將軍飲馬”走過的總路程為5【答案】B【解析】如圖所示：由題意可知在的同側，設點關于直線的對稱點為，三點共線滿足題意，點為使得總路程最短的“最佳飲水點”，則，解得，即，對于A，直線的斜率為，所以將軍從出發點到河邊的路線所在直線的方程是，即，故A正確；對于B，聯立，解得，即將軍在河邊飲馬的地點的坐標為，故B正確；對于C，由C選項分析可知點，直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故C錯誤；對于D，，即“將軍飲馬”走過的總路程為，故D錯誤.故選：B.【變式6-3】（23-24高二上·山西·開學考試）（多選）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標系中有兩條河流，，其方程分別為，，點，，則下列說法正確的是（

）A．將軍從出發，先去河流飲馬，再返回的最短路程是7B．將軍從出發，先去河流飲馬，再返回的最短路程是7C．將軍從出發，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是D．將軍從出發，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是【答案】AC【解析】由關于，的對稱點分別為，而，

從出發，先去河流飲馬，再返回的最短路程是，A對；從出發，先去河流飲馬，再返回的最短路程是，B錯；由關于，的對稱點分別為，從出發，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程，C對；從出發，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是，D錯.故選：AC一、單選題1．（23-24高二上·全國·期中）已知，點為軸上一動點，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知點關于軸的對稱點為，，直線方程為，令得，所以直線與軸交點為，，當且僅當是與軸交點時等號成立．故選：A．2．（23-24高二上·貴州貴陽·期末）點，點在軸上，則的最小值為（

）A． B．5 C．4 D．【答案】B【解析】如圖所示，關于軸的對稱點為,則，當三點共線時等號成立，又，故的最小值為5,故選：B.3．（23-24高二上·北京豐臺·期末）已知點在由直線，和所圍成的區域內（含邊界）運動，點在軸上運動.設點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由直線，和圍成,如圖所示，點在內（含邊界）運動，在軸上運動，作點關于軸的對稱點，則，的最小值為到直線的距離，即.故選：B.4．（23-24高二上·浙江紹興·期末）原點到直線的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設原點到直線l的距離為d，由點到直線的距離公式得：，顯然當時，有最大值，此時，因為，當且僅當時等號成立，所以，所以.故選：D.5．（23-24高二上·浙江·期中）設，若過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值是（

）A． B．2 C．3 D．5【答案】A【解析】依題意，直線過定點，直線可整理為，故直線過定點，又因為直線和直線始終垂直，為兩直線交點，所以，則，由基本不等式可得，當且僅當時取等號，所以的最大值是.故選：A.6．（23-24高二上·四川成都·月考）的最小值所屬區間為（

）A． B． C． D．前三個答案都不對【答案】C【解析】如圖，設．根據題意，設題中代數式為M，則，等號當P，Q分別為直線與x軸，y軸交點時取得．因此所求最小值為13．故選：C.二、多選題7．（23-24高二上·江蘇·開學考試）已知點，，且點在直線：上，則（

）A．存在點，使得 B．存在點，使得C．的最小值為 D．最大值為3【答案】BCD【解析】對于A：設，若時，此時的斜率不存在，，與不垂直，同理時與不垂直，當且時，，若，則，去分母整理得，，方程無解，故與不垂直，故A錯誤；對于B：設，若，則，即，由，所以方程有解，則存在點，使得，故B正確；對于C：如圖設關于直線的對稱點為，則，解得，即，所以，當且僅當、、三點共線時取等號（在線段之間），故C正確；

對于D：如下圖，，當且僅當在的延長線與直線的交點時取等號，故D正確.故選：BCD8．（23-24高二上·江西·月考）2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術性最強的一部分，唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設將軍的出發點是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發點到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則（

）A．將軍從出發點到河邊的路線所在直線的方程是B．將軍在河邊飲馬的地點的坐標為C．將軍從河邊回軍營的路線所在直線的方程是D．“將軍飲馬”走過的總路程為【答案】BD【解析】由題可知在的同側，設點關于直線的對稱點為，如下圖所示：則，解得；即.將軍從出發點到河邊的路線所在直線即為，又，所以直線的方程為，故錯誤；設將軍在河邊飲馬的地點為，則即為與的交點，聯立兩直線方程解得，故B正確；將軍從河邊回軍營的路線所在直線為，又，所以直線的方程為，故C錯誤；總路程，所以“將軍飲馬”的總路程為，故D正確.故選：BD.三、填空題9．（23-24高二上·江蘇泰州·月考）已知點，，點在直線上，則的最小值為.【答案】【解析】如圖所示，設點關于直線的對稱點為，則，解得，即，所以，等號成立當且僅當點與點重合，其中點為與直線的交點.故答案為：.10．（23-24高二上·安徽·期末）已知直線，，則直線，之間距離的最大值為．【答案】【解析】由題意可知：直線的斜率為，過定點；直線的斜率為，過定點；可知，所以兩直線之間距離的最大值為．故答案為：.11．（23-24高二上·福建三明·月考）2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術性最強的一部分．唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望