專題01平面向量及其應(yīng)用一、知識(shí)聚焦二、題型聚焦知識(shí)點(diǎn)1：平面向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．模的特點(diǎn)：（1）向量的模；（2）向量不能比較大小，但是實(shí)數(shù)，可以比較大小．2、零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．3、單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．將一個(gè)向量除以它的模，得到的向量就是一個(gè)單位向量，并且它的方向與該向量相同．4、相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．5、向量的共線或平行：方向相同或相反的非零向量。規(guī)定：與任一向量共線．知識(shí)點(diǎn)2：平面向量的運(yùn)算1、向量的加法、減法、數(shù)乘向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算交換律：；結(jié)合律：減法求與的相反向量的和的運(yùn)算數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量的積的運(yùn)算，當(dāng)λ>0時(shí)，與的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，與的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，；；知識(shí)點(diǎn)3：向量共線與基本定理1、向量共線定理：如果，則，反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使.2、三點(diǎn)共線定理：平面內(nèi)三點(diǎn)、、三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點(diǎn)．3、平面向量基本定理（1）定義：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使（2）基底：若不共線，我們把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．（3）對(duì)平面向量基本定理的理解=1\*GB3①基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可以作為基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．=2\*GB3②基底給定時(shí)，分解形式唯一．是被唯一確定的數(shù)值．=3\*GB3③是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，則當(dāng)與共線時(shí)，；當(dāng)與共線時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．=4\*GB3④由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底中的向量．知識(shí)點(diǎn)4：向量的數(shù)量積與向量坐標(biāo)運(yùn)算1、向量的夾角（1）定義：已知兩個(gè)非零向量和，作，，則∠AOB就是向量與的夾角．（2）范圍：設(shè)θ是向量與的夾角，則0°≤θ≤180°.（3）共線與垂直：若θ＝0°，則與同向；若θ＝180°，則與反向；若θ＝90°，則與垂直．2、向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為θ，則數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即．（2）幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積．（3）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)，都是非零向量，是單位向量，θ為與(或)的夾角．則=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，特別地，或；=4\*GB3④cosθ＝；=5\*GB3⑤（4）向量數(shù)量積的運(yùn)算律=1\*GB3①；=2\*GB3②(λ為實(shí)數(shù))；=3\*GB3③；=4\*GB3④兩個(gè)向量，的夾角為銳角?且，不共線；兩個(gè)向量，的夾角為鈍角?且，不共線．=5\*GB3⑤平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式知識(shí)點(diǎn)5平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、向量的線性運(yùn)算坐標(biāo)表示（1）已知，則，．結(jié)論：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．（2）若，則結(jié)論：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)．2、向量平行坐標(biāo)表示：已知，則向量，共線的充要條件是．3、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知非零向量，，與的夾角為θ.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模夾角的充要條件與的關(guān)系4、線段的定比分點(diǎn)及λ（1）定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若點(diǎn)，，為實(shí)數(shù)，且，則點(diǎn)坐標(biāo)為，我們稱為點(diǎn)分所成的比．（2）點(diǎn)的位置與的范圍的關(guān)系：①當(dāng)時(shí)，與同向共線，這時(shí)稱點(diǎn)為的內(nèi)分點(diǎn)；②當(dāng)()時(shí)，與反向共線，這時(shí)稱點(diǎn)為的外分點(diǎn)．（3）若分有向線段所成的比為，點(diǎn)為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則；特別地為的中點(diǎn)．題型歸納【題型1平面向量的概念辨析】滿分技法在解決向量的概念問(wèn)題時(shí)，要注意兩點(diǎn)：①不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量的方向；②考慮零向量是否也滿足條件．1．（22-23高一下·新疆·期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù) B．零向量沒有方向C．單位向量的模等于1個(gè)單位長(zhǎng)度 D．零向量就是實(shí)數(shù)0【答案】C【解析】對(duì)于A，零向量的模等于零，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)單位向量的定義可C知正確；對(duì)于D，零向量有大小還有方向，而實(shí)數(shù)只有大小沒有方向，故D錯(cuò)誤.故選：C.2．（23-24高一下·山東泰安·月考）下列命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】對(duì)于A：若，則只是大小相同，并不能說(shuō)方向相同，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：向量不能比較大小，只能相同，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，則方向相同，C正確；對(duì)于D：若，如果為零向量，則不能推出平行，D錯(cuò)誤.故選：C.3．（22-23高一下·吉林四平·月考）（多選）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．零向量與任一向量平行 B．方向相反的兩個(gè)非零向量不一定共線C．單位向量是模為的向量 D．方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等【答案】ACD【解析】對(duì)于A，零向量的方向是任意的，零向量與任一向量平行，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B，根據(jù)共線向量的定義，可知方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)單位向量的定義，可知C項(xiàng)正確；對(duì)于D，方向相同且模相等的兩個(gè)向量相等，因此方向相反的兩個(gè)非零向量一定不相等，D項(xiàng)正確．故選：ACD．4．（23-24高一下·河南鄭州·期中）（多選）下列結(jié)論不正確的是（

）A．若與都是單位向量，則 B．直角坐標(biāo)平面上的軸，軸都是向量C．若與是平行向量，則 D．海拔、溫度、角度都不是向量【答案】ABC【解析】對(duì)于A，若與都是單位向量，則它們的模都是1，但方向不一定相同，即與不一定相等，故A符合題意；對(duì)于B，直角坐標(biāo)平面上的軸，軸都有方向，但是沒有長(zhǎng)度，即直角坐標(biāo)平面上的軸，軸不是向量，故B符合題意；對(duì)于C，若與是平行向量，則它們的方向可能相反，長(zhǎng)度也不一定相等，即與不一定相等，故C符合題意；對(duì)于D，海拔、溫度、角度只有大小沒有方向，故它們都不是向量，故D不符合題意.故選：ABC.【題型2向量相等與向量共線】滿分技法1、向量共線或平行的定義：方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量)。規(guī)定：與任一向量共線.2、共線向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．5．（23-24高一下·云南·月考）如圖，在中，向量是（

）A．有相同起點(diǎn)的向量 B．模相等的向量C．共線向量 D．相等的向量【答案】B【解析】對(duì)于A，根據(jù)圖形，可得向量，，不是相同起點(diǎn)的向量，∴A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)镺是圓心，那么向量，，的模長(zhǎng)是一樣的，∴B正確；對(duì)于C，共線向量知識(shí)點(diǎn)是方向相同或者相反的向量，∴C錯(cuò)誤；對(duì)于D，相等的向量指的是大小相等，方向相同的向量，∴D錯(cuò)誤，故選：B．6．（23-24高一下·湖北·月考）已知點(diǎn)是平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】為相反向量，故A錯(cuò)誤；為相反向量，故B錯(cuò)誤；方向相反，故，C正確；因?yàn)槠叫兴倪呅尾灰欢榫匦危詫?duì)角線不一定相等，故D錯(cuò)誤.故選：C7．（23-24高一下·重慶巴南·月考）如圖，四邊形中，，則必有（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】四邊形中，，則且，所以四邊形是平行四邊形；則有，故A錯(cuò)誤；由四邊形是平行四邊形，可知是中點(diǎn)，則，B正確；由圖可知，C錯(cuò)誤；由四邊形是平行四邊形，可知是中點(diǎn)，，D錯(cuò)誤．故選：B．8．（22-23高一下·新疆烏魯木齊·期中）如圖，在正六邊形中，點(diǎn)為其中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，由正六邊形的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，故，故A正確.對(duì)于B，因?yàn)椋剩蔅正確.對(duì)于C，由正六邊形的性質(zhì)可得，故，故C正確.對(duì)于D，因?yàn)榻挥冢什怀闪ⅲ蔇錯(cuò)誤，故選：D.【題型3平面向量的線性運(yùn)算】滿分技法在平面幾何中，利用三角形法則和四邊形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算，需注意向量的起點(diǎn)。9．（23-24高一下·山西大同·月考）如圖，在矩形中，（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在矩形中，.故選：B10．（23-24高一下·四川成都·月考）如圖，向量，，，則向量可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖可知，故選：C11．（23-24高一下·福建廈門·期中）已知x、y是實(shí)數(shù)，向量不共線，若，則．【答案】3【解析】因?yàn)橄蛄坎还簿€，由，得，即，所以.12．（23-24高一下·河北滄州·月考）已知，是兩個(gè)不共線的向量，，若與共線，則．【答案】/【解析】由已知，是兩個(gè)不共線的向量，則，又因?yàn)榕c共線，則，即，解得.【題型4平面向量的基本定理應(yīng)用】滿分技法1、應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．2、用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．13．（23-24高一下·江蘇鹽城·期中）已知?是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中不能作為基底的一組是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【解析】因?yàn)?是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則?不共線，對(duì)于選項(xiàng)A：若、共線，則，可得，無(wú)解，所以、不共線，可以作為基底向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋芍凸簿€，不能作為基底向量，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若、共線，則，可得，無(wú)解，所以、不共線，可以作為基底向量，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：若、共線，則，可得，無(wú)解，所以、不共線，可以作為基底向量，故D錯(cuò)誤；故選：B.14．（23-24高一下·山東泰安·期中）如圖，中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，以為一組基底，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖形可知：.故選：C.15．（23-24高一下·吉林長(zhǎng)春·期中）在矩形中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，若（m，），則的值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【解析】由E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，得，則，在矩形中，，因此，即，而，所以，.故選：B16．（23-24高一下·江蘇無(wú)錫·月考）如圖，在中，點(diǎn)滿足，是線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)，.（1）若，求的值；（2）若()，()，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)椋裕驗(yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋O(shè)，則有，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得，所以，，所以.（2）因?yàn)椋桑?）可知，，所以因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.【題型5向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示】滿分技法利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示解決有關(guān)問(wèn)題的基本思路1.向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的,若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo),然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算,另外解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用.2.利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示解題,主要根據(jù)相等向量的坐標(biāo)相同這一原則,通過(guò)列方程(組)進(jìn)行求解.3.利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示,先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出相應(yīng)系數(shù).17．（23-24高一下·天津·開學(xué)考試）已知兩點(diǎn)，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，，又，所以，即，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：A18．（23-24高一下·云南昆明·月考）已知向量，，，若，則.【答案】3【解析】因?yàn)橄蛄浚遥裕獾茫?19．（23-24高一下·上海·期中）已知平面上兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是為直線上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【解析】設(shè)，由，即，可得，即，解得，即.20．（23-24高一下·重慶·期中）已知，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，若，，，且、、三點(diǎn)共線.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，.（ⅰ）求；（ⅱ）若，，，，恰好構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）①；②【解析】（1）則則；（2）（ⅰ），向量的坐標(biāo)為；（ⅱ）設(shè)的坐標(biāo)為，∵，，，恰好為構(gòu)成平行四邊形則，，解得：，∴的坐標(biāo)為【題型6向量數(shù)量積的計(jì)算】滿分技法1、定義法求平面向量的數(shù)量積（1）方法依據(jù)：當(dāng)已知向量的模和夾角θ時(shí)，可利用定義法求解，即（2）適用范圍：已知或可求兩個(gè)向量的模和夾角。2、基底法求平面向量的數(shù)量積（1）方法依據(jù)：選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個(gè)向量分別用這組基底表示出來(lái)，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量級(jí)的運(yùn)算律和定義求解。（2）適用范圍：直接利用定義法求數(shù)量積不可行時(shí)，可將已知模和夾角的兩個(gè)不共線的向量作為基底，采用“基底法”求解。3、坐標(biāo)法求平面向量的數(shù)量積（1）方法依據(jù)：當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若，，則；（2）適用范圍：=1\*GB3①已知或可求兩個(gè)向量的坐標(biāo)；=2\*GB3②已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)法求數(shù)量積。21．（23-24高一下·遼寧·期中）在中，，，，則等于（

）A．12 B．6 C．－6 D．－12【答案】B【解析】，故選：B.22．（23-24高一下·江蘇鎮(zhèn)江·月考）在平行四邊形中，已知，，，點(diǎn)在邊上，滿足，則（

）A． B．0 C． D．1【答案】B【解析】作出圖形設(shè)，由圖可得：，所以因?yàn)樵谄叫兴倪呅沃校阎裕獾茫瑒t點(diǎn)在點(diǎn)，所以，則,故選：B23．（23-24高一下·江蘇·月考）在中，滿足，則．【答案】【解析】在中，由，可得，所以為直角三角形，以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，所以.24．（23-24高一下·遼寧·期中）如圖，在四邊形中，分別在邊上，且，，，，與的夾角為，則.【答案】【解析】由圖形結(jié)合向量線性運(yùn)算可得：，由，可得，由可得，由上面兩式相加得：，即又由，，與的夾角為，可得，所以.【題型7投影向量問(wèn)題】滿分技法求向量的投影（或其數(shù)量）的關(guān)注點(diǎn)和計(jì)算方法：1、關(guān)注點(diǎn)：注意在上的投影與在上的投影不投，審題時(shí)要看清；2、向量在所在直線上的投影是一個(gè)向量，向量在所在直線上的投影的數(shù)量是一個(gè)實(shí)數(shù)；25．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知向量在的投影向量為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，所以.故選：D.26．（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知向量，，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得：，則，所以向量在向量方向上的投影向量為.故選：D.27．（23-24高一下·江西·月考）已知向量，，若，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，兩邊平方解得，或，易知，故舍去，，，故在上的投影向量為.故選：C.28．（23-24高一下·山西·月考）已知是單位向量，，則向量在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意以及投影向量定義得向量在上的投影向量是：.故選：B.【題型8平面向量模有關(guān)的問(wèn)題】滿分技法1、定義法：利用及，把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算；2、坐標(biāo)法：當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時(shí)，可用模的計(jì)算公式；3、幾何法，利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解．29．（23-24高一下·廣東河源·期中）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，又，所以，故.故選：D.30．（23-24高一下·廣西南寧·期中）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，則（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】由已知可得，在上的投影向量為，又在上的投影向量，所以.所以，D正確．故選：D.31．（23-24高一下·江蘇·月考）已知向量滿足，則（）A．13 B．7 C． D．【答案】C【解析】由得，即，得，所以，.故選：C.32．（23-24高一下·河南濮陽(yáng)·月考）已知向量，的夾角為，，，在中，，，，則（

）A．2 B． C． D．6【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄浚膴A角為，，，所以，又因?yàn)椋?故選：A【題型9平面向量的夾角問(wèn)題】滿分技法1、兩向量的夾角其實(shí)就是從同一起點(diǎn)出發(fā)的表示兩個(gè)非零向量的有向線段構(gòu)成的不大于平角的角；2、求兩個(gè)向量夾角的方法：求兩向量的夾角，關(guān)鍵是利用平移的方法使表示兩個(gè)向量的有向線段的起點(diǎn)重合，根據(jù)向量夾角的概念確定夾角，再依據(jù)平面圖形的知識(shí)求解向量的夾角。過(guò)程簡(jiǎn)記為“一作、二證、三算”。33．（23-24高一下·甘肅天水·期中）已知向量與是非零向量，且滿足在上的投影為，，則與的夾角余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)與的夾角為，因?yàn)樵谏系耐队盀椋裕瑒t，即，所以.故選：A.34．（23-24高一下·重慶沙坪壩·月考）已知，，且，則．【答案】【解析】，即，，解得；故，又，故.35．（23-24高一下·江蘇鹽城·期中）設(shè)，且的夾角為鈍角，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)榈膴A角為鈍角，則且不共線，可得，解得且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.36．（23-24高一下·浙江·期中）已知，，且滿足（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，求非零向量與的夾角的余弦值．【答案】（1）；（2）【解析】（1），，，，（2）設(shè)，，，所以都不等于0，設(shè)與的夾角為，，則.【題型10向量平行與垂直計(jì)算】滿分技法1、向量，共線的充要條件是；2、已知兩向量垂直，可利用其數(shù)量積為0列出方程，通過(guò)解方程求出其中的參數(shù)值。在計(jì)算數(shù)量積時(shí)可根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算法則進(jìn)行整體計(jì)算，把這個(gè)數(shù)量積的計(jì)算轉(zhuǎn)化為基本的向量數(shù)量積的計(jì)算。37．（23-24高一下·浙江·月考）已知向量，，若與共線，則（

）A． B．4 C． D．或4【答案】D【解析】由兩向量共線可知，即，解得或.故選：D.38．（23-24高一下·福建寧德·月考）已知向量，，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄浚裕郑裕獾?故選：C39．（23-24高一下·安徽·月考）已知，，，且與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋裕驗(yàn)榕c垂直，所以，得，得，解得.故選：A.40．（23-24高一下·云南·期中）已知向量，．（1）若與共線，求的值；（2）若與垂直，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)橄蛄浚瑒t，．又因?yàn)榕c共線，則，解得．（2）由題意可知：，因?yàn)榕c垂直，則，解得．【題型11利用向量判斷多邊形形狀】滿分技法由已知條件建立數(shù)量積、向量的長(zhǎng)度、向量的夾角等之間的關(guān)系是關(guān)鍵，利用移項(xiàng)、平方等手段，可以得出數(shù)量積及向量的長(zhǎng)度的等信息，為得到邊相等、變垂直指明方向。41．（15-16高一下·河北石家莊·課后作業(yè)）在四邊形中，，，，則四邊形的形狀是（）A．梯形 B．菱形 C．平行四邊形 D．矩形【答案】A【解析】因?yàn)椋?所以，所以且，所以四邊形為梯形..故選：A42．（2011·黑龍江·三模）P是所在平面上一點(diǎn)，滿足，則的形狀是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】B【解析】由，可得，即，即，將等式兩邊平方，化簡(jiǎn)得，∴，即，因此，是直角三角形，故選：B．43．（23-24高一下·山西臨汾·月考）在四邊形中，，下列對(duì)四邊形形狀描述最準(zhǔn)確的是（

）A．矩形 B．平行四邊形 C．菱形 D．正方形【答案】C【解析】因?yàn)闉樗倪呅危遥剩?/，則四邊形為平行四邊形；又，即，即，四邊形的對(duì)角線垂直；綜上所述，四邊形為菱形.故選：C.44．（23-24高一下·四川攀枝花·月考）若非零向量與滿足，，則為（

）A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【解析】顯然是與分別同向的單位向量，由，得的角平分線與BC垂直，于是，而，即，又，因此，所以是等邊三角形.故選：D【題型12利用向量判斷三角形四心】滿分技法1、常見重心向量式：設(shè)O是?ABC的重心，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)=1\*GB3①OA+OB+=2\*GB3②PO=13=3\*GB3③若AP=λAB+AC或OP=OA+λAB=4\*GB3④若AP=λABABsinB+ACACsinC或OP2、常見垂心向量式：O是?ABC的垂心，則有以下結(jié)論：=1\*GB3①OA?OB==2\*GB3②OA2+BC=3\*GB3③動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+λABABcosB+ACACcosC3、常用外心向量式：O是?ABC的外心，=1\*GB3①OA=OB==2\*GB3②OA+OB?=3\*GB3③動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OB+OC2+λABABcosB+=4\*GB3④若OA+OB?AB=OB+OC4、常見內(nèi)心向量式：P是?ABC的內(nèi)心，=1\*GB3①ABPC+BCPA+CA其中a，b，c分別是?ABC的三邊BC、AC、AB的長(zhǎng)，=2\*GB3②AP=λABAB+ACAC，λ[0,+∞)45．（23-24高一下·新疆烏魯木齊·期中）已知點(diǎn)在所在平面內(nèi)，且，，，則點(diǎn)依次是的（

）A．重心、外心、垂心 B．外心、重心、垂心C．重心、外心、內(nèi)心 D．外心、重心、內(nèi)心【答案】B【解析】因?yàn)椋缘巾旤c(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)為的外心；由，則，取的中點(diǎn)，則，所以，所以點(diǎn)是的重心；由，得，即，所以，同理，所以點(diǎn)為的垂心.故選：B.46．（23-24高一下·天津·月考）點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上的三個(gè)頂點(diǎn)，，分別是邊AC，AB的對(duì)角.有以下四個(gè)命題：①動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；②動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；③動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；④動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的垂心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中.其中正確命題的個(gè)數(shù)為.【答案】2【解析】①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P滿足時(shí)，則點(diǎn)P是的重心，所以①不正確；②顯然在的角平分線上，而與的平分線所在向量共線，所以的內(nèi)心一定在滿足條件的點(diǎn)P集合中，因此②正確；③變形為，而，表示點(diǎn)A到邊的距離，設(shè)為，所以，而表示邊的中線向量，所以表示邊的中線向量，因此的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中，所以③正確；④當(dāng)時(shí)，的垂心與點(diǎn)A重合，但顯然此時(shí)垂心點(diǎn)P不滿足公式，所以④不正確；47．（23-24高一下·江蘇蘇州·月考）（多選）已知三角形ABC滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若點(diǎn)O為的重心，則，B．若點(diǎn)O為的外心，則C．若點(diǎn)O為的垂心，則，D．若點(diǎn)O為的內(nèi)心，則．【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A：如圖，點(diǎn)O為的重心時(shí)，，故A正確；選項(xiàng)B：若點(diǎn)O為的外心，如圖，為線段的垂直平分線，則，同理，，故B正確；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，則為的垂心，，重合，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：若點(diǎn)O為的內(nèi)心，在的平分線上，則，故D正確.故選：ABD48．（23-24高一下·重慶·月考）（多選）點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，則以下說(shuō)法正確的有（

）A．若，則點(diǎn)是的重心B．若，則點(diǎn)是的內(nèi)心C．若，則點(diǎn)是的外心D．若為三角形外心，且，則為的垂心【答案】BCD【解析】對(duì)于A，在AB，AC上分別取點(diǎn)D，E，使得，則，以AD，AE為鄰邊作平行四邊形ADFE，如圖，則四邊形ADFE是菱形，且，所以平分，因?yàn)榧矗裕矗裕匀c(diǎn)共線，即在的平分線上，同理可得O在其它兩角的平分線上，所以O(shè)為的內(nèi)心，錯(cuò)誤；對(duì)于B，在AB，AC上分別取點(diǎn)D，E，使得，如圖，則，且，因?yàn)椋矗种椒郑恚傻闷椒郑蔕為的內(nèi)心，正確；對(duì)于C，取的中點(diǎn)分別為，如圖，因?yàn)椋裕矗設(shè)是的外心，正確；對(duì)于D，因?yàn)椋裕碠為AC中點(diǎn)，又為三角形外心，所以，則為的垂心，正確.故選：BCD【題型13奔馳定理及其應(yīng)用】滿分技法1、奔馳定理：O是內(nèi)的一點(diǎn)，且QUOTEx?OA+y?OB+z?OC=02、奔馳定理推論：QUOTEx?OA+y?OB+z?OC==1\*GB3①=2\*GB3②，，QUOTES?AOBS?ABC=zx+y+z.由于這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”．3、對(duì)于三角形面積比例問(wèn)題，常規(guī)的作法一般是通過(guò)向量線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化出三角形之間的關(guān)系。但如果向量關(guān)系符合奔馳定理的形式，在選擇填空題當(dāng)中可以迅速的地得出正確答案。49．（23-24高一下·河南安陽(yáng)·月考）設(shè)M為內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積之比為．【答案】/0.25【解析】在取中點(diǎn)，則，可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，即，所以與的面積之比為.50．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知是的垂心，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】是的垂心，延長(zhǎng)，，分別交邊，，于點(diǎn)，，，如圖，則，，，，，因此，，同理，于是得，又由“奔馳定理”有即，所以，故選：A51．（20-21高一下·江蘇常州·期末）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足.則（

）A．為的外心B．C．D．【答案】BCD【解析】因?yàn)椋恚蕿榈拇剐模蔄錯(cuò)誤；，所以，又，所以，又，所以，故B正確；故，同理，延長(zhǎng)交與點(diǎn)，則，同理可得，所以，故C正確；，同理可得，所以，又，所以，故D正確．故選：BCD．52．（23-24高一下·吉林通化·月考）（多選）幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且.以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若，，為的外心，則D．若為的垂心，，則【答案】ABC【解析】對(duì)A：如圖：取邊中點(diǎn)，連接，由，所以，所以、、三點(diǎn)共線，且，所以為的重心，故A正確；對(duì)B：如圖：因?yàn)閯t為內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則有，，，所以，故B正確；對(duì)C：如圖：因?yàn)闉榈耐庑模O(shè)外接圓半徑為，有，，所以，，故，所以.故C正確；對(duì)D：由為的垂心，，所以.如圖：則，.設(shè)，，則，，所以.所以.故D錯(cuò)誤.故選：ABC【題型14平面向量極化恒等式應(yīng)用】滿分技法極化恒等式：1、平行四邊形模式：平行四邊形ABCD，O是對(duì)角線交點(diǎn)．則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[|AC|2－|BD|2]．2、三角形模式：如上圖，在△ABC中，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2．53．（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·月考）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的四分之一，即如圖所示，，我們稱為極化恒等式.已知在中，是中點(diǎn)，，，則（

）A． B．16 C． D．8【答案】A【解析】由題設(shè)，可以補(bǔ)形為平行四邊形，由已知得．故選：A．54．（23-24高一下·福建泉州·期中）在中，，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在斜邊BC的中線AD上，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題，所以由點(diǎn)P在斜邊BC的中線AD上得，故，故選：A.55．（23-24高一下·云南昆明·期中）在中，，點(diǎn)為三邊上的動(dòng)點(diǎn)，是外接圓的直徑，則的取值范圍是.【答案】【解析】如圖，設(shè)外接圓的圓心為，半徑為，可得因?yàn)闉槿吷系膭?dòng)點(diǎn)，可知的最大值為到三角形頂點(diǎn)的距離，即為半徑，且的最小值為到邊的距離，過(guò)作，垂足為，則，所以的最大值為，最小值為，故的取值范圍是.56．（22-23高一下·遼寧鞍山·期中）在中，，，，P，Q是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值為．【答案】3【解析】如圖，取中點(diǎn)，連接，，，兩式相減得，要使有最大值，則最小，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為.【題型15平面向量的最值范圍問(wèn)題】滿分技法1、定義法：（1）利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系；（2）運(yùn)用基本不等式求其最值問(wèn)題；（3）得出結(jié)論。2、坐標(biāo)法：（1）根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并推導(dǎo)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化；（3）運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解。3、基底法：（1）利用基底轉(zhuǎn)化向量；（2）根據(jù)向量運(yùn)算化簡(jiǎn)目標(biāo)；（3）運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想、三角函數(shù)等得出結(jié)論；4、幾何意義法：（1）結(jié)合條件進(jìn)行向量關(guān)系推導(dǎo)；（2）利用向量之間的關(guān)系確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡；（3）結(jié)合圖形，確定臨界位置的動(dòng)態(tài)分析求出范圍。57．（23-24高一下·山西·月考）如圖，在正方形中，,和相交于點(diǎn)G，且F為上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，則的最小值為（

）A． B． C． D．15【答案】B【解析】由題可設(shè)，則由題意得，因?yàn)椤ⅰ⑷c(diǎn)共線，故，所以，所以，又、、三點(diǎn)共線，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故選：B.58．（2024·河北滄州·一模）如圖，在等腰直角中，斜邊，點(diǎn)在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A． B．8 C． D．12【答案】D【解析】如圖：以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.則，，可設(shè)，則，所以所以.又因?yàn)椋?故選：D59．（23-24高一下·上海·月考）已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】以中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，因?yàn)椋裕缘娜≈捣秶?故選：B.60．（23-24高一下·河南·月考）如圖，在面積為的中，M，N分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上，若，則的最小值是．【答案】3【解析】取邊上的中點(diǎn)Q，設(shè)P到的距離為h，由，所以，，.（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立）．則的最小值為3．【題型16平面向量在物理中的應(yīng)用】滿分技法向量在物理中的應(yīng)用主要解題思路分四步（1）轉(zhuǎn)化問(wèn)題：將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；（2）建立模型：建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型；（3）求解參數(shù)：求向量的模長(zhǎng)、夾角、數(shù)量積等；（4）回答問(wèn)題：把所得到的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問(wèn)題。61．（23-24高一下·河北石家莊·期中）一物體在力的作用下，由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，已知，則對(duì)該物體所做的功為（

）A． B． C．1 D．41【答案】A【解析】由題意可知，，，所以對(duì)該物體所做的功為．故選：A．62．（23-24高一下·安徽宿州·期中）若同一平面內(nèi)的三個(gè)力作用于同一個(gè)物體，且該物體處于平衡狀態(tài).已知，且與的夾角為，則力的大小為（

）A．37 B． C．13 D．【答案】D【解析】由題意可知，所以所以故，則力的大小為.故選：D.63．（22-23高一下·浙江嘉興·月考）加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分．某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學(xué)生的體重（單位：）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為）A．63 B．69 C．75 D．81【答案】B【解析】如圖，設(shè)該學(xué)生的體重為,則.由余弦定理得.所以.故選：B64．（23-24高一下·江蘇泰州·期中）（多選）長(zhǎng)江某處的南北兩岸平行，江面寬度為，一艘船從江南岸邊的處出發(fā)到江北岸.已知如圖，船在靜水中的速度的大小為，水流方向自西向東，且速度的大小為.設(shè)和的夾角為，北岸的點(diǎn)在的正北方向，則（

）A．當(dāng)船的航行距離最短時(shí)，B．當(dāng)船的航行時(shí)間最短時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，船航行到達(dá)北岸的位置在的左側(cè)D．當(dāng)時(shí)，船的航行距離為.【答案】BD【解析】對(duì)于A，當(dāng)船的航行距離最短時(shí)，的方向與河岸垂直，從而，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，船的航行時(shí)間為（），若要船的航行時(shí)間最短時(shí)，則最大，也就是說(shuō)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，船的航行時(shí)間最短時(shí)，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，游船水平方向的速度大小為，方向水平向右，故最終到達(dá)北岸時(shí)游船在點(diǎn)的右側(cè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意設(shè)位移分量為，位移為，則，其中，所以（km/h），故D正確.故選：BD.過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（23-24高一下·廣東廣州·期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．對(duì)任意非零向量，是和它同向的一個(gè)單位向量 D．零向量沒有方向【答案】C【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，任意向量都與共線，則不一定共線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，向量不能比較大小，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，對(duì)任意非零向量，是和它同向的一個(gè)單位向量，C正確；對(duì)于D，零向量有方向，其方向是任意的，D錯(cuò)誤.故選：C2．（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知向量，滿足，，且，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋瑒t，解得.故選：B.3．（23-24高一下·四川瀘州·期中）如圖，在平行四邊形中，E、F分別是邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)A：由題意知，E、F分別是邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且與方向相同，則，故A正確；對(duì)B：由圖可知，，，所以，故B正確；對(duì)C：，故C正確；對(duì)D：，故D錯(cuò)誤.故選：D.4．（23-24高一下·河北保定·月考）已知向量，滿足，，，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知：，因?yàn)椋瑒t，即，可得，所以向量在向量方向上的投影向量為.故選：C.5．（23-24高一下·湖南常德·期中）在中，，，則的形狀為（

）A．等腰直角三角形 B．三邊均不相等的三角形C．等邊三角形 D．等腰（非直角）三角形【答案】A【解析】因?yàn)椋矗矗裕矗瑒t，又表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，所以，又，所以，所以，所以是等腰直角三角形．故選：A6．（23-24高一下·四川成都·期中）如圖，在中，點(diǎn)是上的點(diǎn)且滿足，是上的點(diǎn)且滿足，與交于點(diǎn)，且，則（

）A． B．