廣東省2021年中考數學試卷

一、單選題

1.（2021?廣東）下列實數中，最大的數是（）

A.TIB.V2C.|-2|D.3

2.（2021?廣東）據國家衛生健康委員會發布，截至2021年5月23日，31個省（區、市）及新疆生產建設

兵田累計報告接種新冠病毒疫苗51085.8萬劑次，將“51085.8萬.〃用科學記數法表示為（）

A.0.510858X109

B.51.0858x107

C.5.10858x104

D.5.10858x108

3.（2021?廣東）同時擲兩枚質地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點數之和為7的概率是（?

4.（2O2L廣東）己知9m=3,27"=4,貝I]32w+3n=（）

A.1B.6C.7D.12

5.（2021?廣東）若|Q-+V9a2—12ab+4垃=。,則ab=（

7.（2021?廣東）如圖，AB是O0的直徑，點C為圓上一點，AC=3,ZABC的平分線交AC于點。

CD=1,則OO的直徑為（）

A.V3B.2V3C.1D.2

8.（2021?廣東）設6-同的整數部分為a,小數部分為b,則（2a+V10）b的值是（）

A.6B.2A/T0C.12D.9V10

9.（2021?廣東）我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何

學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為。，b，C，記口=亨，則其面積

S=y/p（p-aXp-b）（p-c）.這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式.若p=5,c=4,則此三角形面積

的最大值為（）

A.V5B.4C.2V5D.5

10.（2021?廣東）設。為坐標原點，點A、8為拋物線y=x2上的兩個動點，且。41。8.連接點4

B,過。作。于點C,則點C到y軸距離的最大值（）

A-BWC.叵D.1

222

二、填空題

11.（2021.廣東）二元一次方程組｛益義:7的解為________

LX-Ty-L

12（2021?廣東）把拋物線y=2x2+1向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物

線的解析式為.

13.（2021?廣東）如圖，等腰直角三角形ABC中，〃=90。，BC=4.分別以點8、點C為圓心，線

段BC長的一半為半徑作圓弧，交AB、BC、AC于點D、E、F，則圖中陰影部分的面積為

2

14.（2021?廣東〉若■一元二次方程x+Z7X+c=0（6,c為常數）的兩根JClfx2滿足-3VxiV-1,1<

次V3,則符合條件的一個方程為.

15.（2021?廣東）若》+[=蔡且0VXC1,則一一專=

16.（2021?廣東）如圖，在^ABCD中，4。=5,AB=12,sinA=g.過點。作DE1AB,垂足為E

17.（2021?廣東）在AABC中，^ABC=,AB=2,BC=3.點。為平面上一個動點，ZADB=

45°，則線段CD長度的最小值為.

三、解答題

2x-4>3（x-2）

18.（2019?宿遷模擬）解不等式組｛入、x-7.

19.（2021?廣東）某中學九年級舉辦中華優秀傳統文化知識競賽.用簡單隨機抽樣的方法，從該年級全體

600名學生中抽取20名，其競賽成績如圖：

人數A

8

7

6

5

4

3

2

1

0XOX5909510（）成績/分

（1）求這20名學生成績的眾數，中位數和平均數；

（2）若規定成績大于或等于90分為優秀等級，試估計該年級獲優秀等級的學生人數.

20.（2021?廣東）如圖，在。中，4=90。，作BC的垂直平分線交AC于點。，延長

AC至點E,使CE=.

（1）若力E=1,求△48。的周長；

（2）若40=和。，求tan/WC的值.

21.（2021?廣東）在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=依+b（k>0）的圖象與x軸、y軸分別交于

A.B兩點，旦與反比例函數y=圖象的一個交點為P（l,m）.

（1）求m的值；

（2）若P4=2AB,求k的值.

22.（2021?廣東）端午節是我國入選世界非物質文化遺產的傳統節口，端午節吃粽子是中華民族的傳統習

俗,市場上豆沙粽的進價比豬肉粽的進價每盒便宜10元，某商家用8000元購進的豬肉粽和用6000元購

進的豆沙粽盒數相同.在銷售中，該商家發現豬肉粽每盒售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提

高1元時，每天少售出2盒.

（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進價：

（2）設豬肉粽每盒售價x元（50W%W65）,y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求y關

于x的函數解析式并求最大利潤.

23.（2021?廣東）如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD的中點.連接BE,將ZiABE沿BE

折疊得到"BE,BF交AC于點G,求CG的長.

D

24.(2021?廣東)如圖，在四邊形ABCD中，AB“CD,AB工CD,^ABC=90"，點、E、F分別在線

段BC、40上，且EF“CD,AB=Ah',CD=DF.

(1)求證：CF1FB；

(2)求證：以AD為直徑的圓與BC相切；

(3)若EF=2,ZDFE=120",求△AOE的面積.

25(2021?廣東)已知二次函數y=ax2+bx-￥c的圖象過點(-1,0),且對任意實數x,都有4%-

12<ax2+bx+c<2x2-8x+6.

(1)求該二次函數的解析式；

(2)若(1)中二次函數圖象與x軸的正半軸交點為川，與y軸交點為G點M是(1)中二次函數圖

象上的動點.問在x軸上是否存在點N,使得以4、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在，

求出所有滿足條件的點N的坐標：若不存在，請說明理由.

答案解析部分

一、單選題

1.【答案】A

【考點】實數大小的比較

【解析】【解答】解：

n=3.14,72=1.414,|-2|=2,

3.14>3>2>1.414

n>3>|-2|>V2

故幾最大。

故答案為：A.

【分析】本題考查實數的大小比較，需要記住常用的無理數的近似數，然后排序即可。

2.【答案】D

【考點】科學記數法一表示絕對值較大的數

【解析】【解答】解：51085.8)j=510858000=5.10858x103

故答案為：D.

【分析】考查科學記數法的表示方法，將一個大于10或小于1的整數表示為2、10乂1￡同〈10,「為正整

數)的記數法叫做科學記數法。注意其中a的范圍和小數點移動的位數。

3.【答案】B

【考點】列表法與樹狀圖法

【解析】【解答】

解：

123456

1234567

2345678

3456789

45678910

567891011

6789101112

同時擲兩枚質地均勻的骰子，可能出現的情況共36種，其中點數和為7的次數為6,

故概率為《=

OOO

故答案為：B.

【分析】考查概率的計算，可以用列表法將所有可能出現的點數情況列出來，然后計算和為7的情況占總

情況的幾分之幾即為所求概率。<

4.【答案】D

【考點】同底數幕的乘法，暴的乘方

【解析】【解答】

解：9m=(32)m=327n=3

27n=(33)n=33n=4

32m+3n=327nx33n=3x4=12

故答案為：D.

【分析】考查新的運算公式的逆運用，先將條件和結論的底數統?為3,然后觀察結論的式子需要將同底

數幕的乘法公式反向運用，即〃n+n=Qmxan,最后將條件變形整體代入運算即可。

5.【答案】B

【考點】非負數之和為0

【解析】【解答】

解：|a_陰+-12ab+4b2=0

|a-V3|+J(3"2b/=o

丁.a-V5=0,且(3a-2b尸=0

a=V5,b=苧

ab=T

故答案為：B.

【分析】考行絕對值與二次根式的非負性問題，當幾個非負數相加為。時，這幾個非負數只能都為0,所

以令各部分等于0,計算出a與b的值即可。

6.【答案】C

【考點】幾何體的展開圖

【解析】【解答】

解：根據正方體展開圖的四種情況，一四一"、"二三一”、"二二二”、"三三〃，

第一個圖屬于"二三一"；

第二個圖是"三二一"排列順序不對；

第三個圖屬于"二二二〃；

第四個圖屬于"三三"；

所以正確的只有3個。

故答案為：C.

【分析】考查正方體展開圖的情況，正方體展開圖有“一四一"、"二三一"、"二二二"、"三三”幾種情況，而

且要注意排列的順序，本題中第二個圖是“三二一"的排列，順序出錯，故正確的只有三個。

7.【答案】B

【考點】圓的綜合題

【解析】【解答】

解：作DE_LAB于點E

c

AB是QO的直徑

/.AC±BC,ZACB=90°

BD為NABC的角平分線，DE±AB,CD=1

/.DE=CD=1

,/AC=3

二AD=AC-CD=2

在ADE中，AD=2,DE=1,

AE=V3?s\n^CAB=-

2

ZCAB=3O°,

ZABC=60°,ZABD=ZCBD=30°

??.△ABD為等腰三角形

又;DE±AB

一.E點為AB中點，即E點與。點重合，AO=AE=V3

/.AB=2AO=2A/3

所以。。的直徑為2b

故答案為：B.

【分析】本題考查圓周角定理、銳角三角函數值、勾股定理、角平分線的性質的結合運用，先作DE垂直

AB,根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等，確定出點D到AB的距離DE,再在△ADE中通過邊的關系

計算出NCAB的度數，從而確定&ABD為等腰三角形，E點與O點重合，計算出AE的長度的2倍即為直徑

AB的長度。

8.【答案】A

【考點】估算無理數的大小，代數式求值

【解析】【解答】

解：V9<VTo<V16

.,.3<>/l0<4

-4<-V10<-3

?'?6-4V6—V10V6—3

2<6-VTO<3

二6-VT5的整數部分a=2,小數部分b=6-710-2=4-V10

二（2a+y/T0）b=（2x2+V10）（4-V10）=（4+炳）（4-V10）=16-10=6

故答案為：A.

【分析】考查無理數的估算、整數部分與小數部分，先估算出無理數的范圍，確定整數部分，再用無理數

減去整數部分，得到小數部分，最后再計算表達式的數值。

9.【答案】C

【考點】二次函數的最值

【解析】【解答】

解：將p=5,c=4代入p=得,a+b=6

代入面積公式S=Jp(p-a)(p-b)(p—c)得

S=J5(5-a)(5-b)(5-4)=J125-25(a+C)+5ab=V-5a24-30a-25

當a=3時，S取得最大值同=26

故答案為：C.

【分析】考查二次函數最值的計算，講已知條件p.與c的值分別代入兩個公式，并將面積公式整理可以得

到被開方數為關于a的二次函數，然后求最大值即可。

10.【答案】A

【考點】圓-動點問題

【解析】【解答】解：如下圖所示：過C點作y軸垂線，垂足為H,A8與x軸的交點為。，

故答案為：A.

【分析】本題屬于隱形圓，先證出點C在以點E為圓心，OD長為半徑的圓上，再結合圖象可知，當點H

和點E重合時，CH最大，也就是半徑。

二、填空題

11?【答案】｛)二m

【考點】解二元一次方程組

【解析】【解答】

解：方法一：加減消無法，

x+2y=-2①

[2x+y=2(2)

0x2-②得，3y=6

解得y=-2

將y=-2代入②得，x=2

所以原方程組的解為｛：二12

方法二：代入消元法，

x+2y=-2①

[2x+y=2②

由①得，x=-2-2y③，

將③代入②得，2(-2-2y)+y=2

解得，y=-2

將y=-2代入③得，x=2

所以原方程組的解為｛;二芻

【分析】考查二元一次方程組的解法，本題用代入消元法和加減消元法都可以，按照正確的步驟解出來即

可，最后不要忘記寫結論。

12.【答案】y=2x2+4x

【考點】二次函數圖象的幾何變換

【解析】【解答】解：拋物線y=2/+1向左平移1個單位長度變為y=2。+1/+1

再向下平移3個單位長度變為y=2(%+1)2+1-3

整理得y=2x2+4x

故平移后拋物線的解析式為y=2/+4%

【分析】考查二次函數圖象拋物線的平移規律“上加下減，左加右減"，左右移動x變化，左加右減，上下

移動y變化，上加下減，左右移動時x要單獨加減，根據題目要求平移并整理成一般式即可。

13.【答案】4-71

【考點】扇形面積的計算，幾何圖形的面枳計算-割補法

【解析】【解答】

解：,「△ABC為等腰直角三角形，ZA=90°,BC=4

/.ZB=ZC=45°,BE=CE=2,AB3c=2或

??S陰釬-S而形皿-S應形CFE=2夜x2&x＞卷箸-磬=4-兀

【分析】考杳與圓有關的不規則圖形面積的計算、扇形面積計算問題，先計算出等腰直角三角形ABC的

面積減去左右兩邊兩個扇形的面積，即可得到陰影部分的面積。

14.【答案】X2-4=0(答案不唯一)

【考點】一元二次方程的根

【解析】【解答】

解：.?.方程的兩根石,不滿足-3＜%1＜-1,1＜孫＜3,

二在范圍內任選兩個值，比如xi=-2,x2=P.

然后代入方程/+日+c=0得

所以方程可以寫為X2-4=0

【分析】考查一元二次方程的根，根據題目兩個根的范圍，任意選擇合適的兩個根，代入原方程求出系數

的值，即可寫出方程。

15.【答案】~

【考點】代數式求值

【解析】【解答】

解：,.?》+工=9

X6

.(.1\221o11169

.{+1)=>+2+彳=主

0<x<1,

—>1,x――V0

xX

?V1-5

??X—————

X6

"2-A(x+3d)=￡x(-9=卷

【分析】本題考查分式的化簡求值問題中的互倒式題型，計算的時候要運用好兩個公式1+32=/+

2+或，1_/=/_2+或，找到平方和與兩部分和差的關系，最后再利用平方差公式計算即

可得到結果。

16.【答案】源

50

【考點】平行四邊形的性質，解直角三角形

【解析】【解答】

在RtAADE中，sin/1==^=7

AD55

DE=4,/f=V52-42=3

AB=12

/.BE=AB-AE=9

???四邊形ABCD為平行四邊形，

ACD=AB=12,ZDCE=ZBEC,DE±CD

在R3CDE中，CD=12,DE=4

.?.tan/DCE=4=U

CD123

.?.tan/BEC=H

在RSBEF中,設BF=x,那么EF=3x,

x2+(3x)2=92解得%=答

BC=AD=5

gg.—

?'-sin=鋁=W=源

BC550

【分析】本題考杳平行四邊形的性質，三角函數的定義，勾股定理的計算，首先根據問題構造好直角三

角形，然后利用勾股定理計算出AADE與ACDE各邊的長度，再利用平行四邊形的性質內錯角相等以及正

切值相等計算4BEF的各邊，找到所求正弦值需要用到的各邊，最后求值即可。

17.【答案】V5-V2

【考點】三角形?動點問題

【解析】【解答】如圖所示

D

由題意可知：NADB=45。，AB=2,作△ABD的外接圓0,連接0C.當0、D、C三點共線時，CD的值最

小，

?/ZADB=45°,二NAOB=90°,「.△AOB為等腰直角三角形，AO=BO=sin45°xAB=&。

?/ZOBA=45°,ZABC=90°,ZOBC=45\作OE_LBC于點E,「.△OBE為等腰直角三角形。

/.OE=BE=sin45°xOB=l,/.CE=BC-BE=3-1=2,在RSOCD中，QC^OE2+CE2=VT+4=V5,當0、

D、C三點共線時，CD最小為CD=OC-OD=V5-VL

故答案為：y/S—V2

【分析】本題屬于隱形圓中的一種題型，先畫出草圖，再利用圓周角和草圖可以將題目轉換成圓外一點

到包上的最短距離求解即可。

三、解答題

2x-4>3(x-2)@

18.【答案】解:

4x>?②

由①得:X42：

由②得：x>-1,

則不等式組的解集為-1VXC2.

【考點】解一元一次不等式組

【解析】【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出解集的公共部分即可.

19.【答案】（1）解：由列表中90分對應的人數最多，因此這組數據的眾數應該是90,

由于人數總和是20人為偶數，招數據從小到大排列后，第10人和第11個數據都是90分，因此這組數據

的中位數應該是90,

眾數：90,中位數：90,

80x2+85x3+90x8+95x5+160x2

平均數=90.5

20

答：這20名學生成績的眾數90,中位數90,和平均數90.5：

（2）解：20名中有8+5+2=15人為優秀,

??.優秀等級占比：落/

.??該年級優秀等級學生人數為：600x9=450（人）

答：該年級優秀等級學生人數為450人.

【考點】用樣本估計總體，分析數據的集中趨勢

【解析】【分析】（1）利用眾數、中位數和平均數的定義求解即可；

（2）根據條形統計圖求出優秀的人數，再除以總人數，最后乘以600即可。

20.【答案】（1）解：如圖，連接80,設BC垂直平分線交BC于點F,

?「DF為BC垂直平分線，

BD=CD,

C^ABD—48+AD+BD

=AB+AD+DC=AB+AC

?/AB=CE,

CAABD=AC+CE=AE=1.

（2）解：設40=x,BD=3x,

又BD=CD,/.AC=AD-^CD=4x,

在Rt△ABD中，AB=7BD?-AD?=V（3x）2-x2=2^2x.

tan^ABC=-AB=2y/2x=V2.

【考點】線段垂直平分線的性質，銳角三角函數的定義

【解析】【分析】（1）連接BD,設BC垂直平分線交BC于點F,再根據線段垂直平分線的性質求解即可;

（2）設AD=x,則BD=CD=3x,AC=4x,由勾股定理可表示出AB=2&x,從而可計算出tan/4BC=若=

21.【答案】（1）解：?.￥為反比例函數y=；上一點,

「?代入得m=^=4,

m=4.

(2)解：令y=0,即kx+b=0,

?x=一，做一/，。),

令x=0,y=b，.二B（0,匕），

?「PA=2AB.

由圖象得，可分為以下兩種情況,

①B在y軸正半軸時，b>0,

,/PA=2AB,

過P作PHLx軸交x軸于點H,又B[01ArH,ZPAXO=,

△AiOB1A1HP,

4歷_AiO_BiO_1

41P-41H-PH~2

...當。/PH=4X；2,瞿=錯號,

即48i=B]P,Ai0=0H,

b=2,

AjO=OH=1,

「?I-=l，k=2.

②B在y軸負半軸時，b<0,過P作PQLy軸,

PQ1BQ,AO1，

22B2Q,ZA2B2O=ZA2B2Q

△A2OB2-△PQB?，

.A2B2_1_42。_Bz。

f

??PB2~3~PQ~B2Q

??.A2O=\^\=^PQ=1,

B20=lB2Q=^OQ=\b\=2,

b<0,

???b--2,代入

k=6,

綜上，k=2或k=6.

【考點】反比例函數與一次函數的交點問題，相似三角形的判定與性質

【解析】【分析】（1）把P點坐標代入反比例函數解析式即可求得；

（2）分兩種情況，通過證得三角形相似，求得B0的長度，進而即可求得k的值。

22.【答案】（1）解；設豬肉粽每盒進價a元，則豆沙粽每盒法價（a-10）元.

ftnno_6nnn

則

aa-10

解得：a=40,經檢驗a=40是方程的解.

???豬肉粽每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元.

答：豬肉粽每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元.

(2)解：由題意得，當x=50時，每天可售100盒.

當豬肉粽每盒售x元時，每天可售［100-2。-50)］盒.每盒的利潤為(x-40)

y=(X-40)?［100-2(x-50)］,

=-2x2+280%-8000

配方得：y=-2(X-70)2+1800

當％=65時，y取最大值為1750元.

y=-2x24-280x-8000(50<x<65),最大利潤為175。元.

答：y關于x的函數解析式為y=-2/+280%—8000(504x465),且最大利潤為1750元.

【考點】分式方程的實際應用，二次函數的實際應用-銷售問題

【解析】【分析】(1)設豬肉粽每盒進價a元，則豆沙粽每盒進價(。-10)元.根據“某商家用8000元

購進的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數相同〃列出分式方程，解方程即可；

12)由題意得，當％=50時，每天可售100盒.當豬肉粽每盒售x元時，每天可售［100-2(%-

50)］盒.列出每天銷售豬肉粽的利潤y與豬肉粽每盒售價x元的函數關系式，根據二次函數的性質即x的

取值范圍求利潤的最大值即可。

23.【答案】解：延長桿交CD于H連EH,

AFBE由△48E沿BE折疊得到，

EA=EF,ZEFB=ZEAE=90°,

E為AD中點，正方形ABCD邊長為L

EA=ED=^,

2

ED=EF=之，

2

西邊形ABCD是正方形，

ND=/EFB=/EFH=90"，

在Rt△EDH和Rt△EFH中，

ED=EF

=EH

Rt△EDH三Rt△EFH(HL),

NDEH=NFEH，

又；ZAEB=/FEB,

NDEH+^AEB=90

ZABE+ZAEB=90

ZABE=NDEH,

△DHEAEB,

PH_AE_1

DE~AB~2

DH=-

4t

CH=CD-DH=1--=-,

44

CH||AB,

△HGC-△8G/1,

,CGCH一3

AG~AB-4'

CG=-AG=-(AC-CG)，

44

AB=1,CB=1,ZCBA=90°

AC=

CG二式企-CG),

CG=^V2.

【考?點】翻折變換（折疊問題），相似三角形的判定與性質

【解析】【分析】根據題意，延長BF交CD于H,連接EH,通過證明/^△￡7）HwRta￡TH（HQ,△

”GC?△BGA得到CH=：,再由△〃GC-△"/!得到CG=*我一圓）,進而即可求得CG的長。

24.【答案】（1）證明：:CO=OF,設ZDCF=ZDFC=a,

ZFDC=180°-2a,

CDIIAB,

ZBAF=180°-(180°-2a)=2a,

又/AB=AF,

ZABF=ZAFB=180~2g=90'-a，

2

NCFB=1800-NCFD-ZBFA=180°-a-(900-a)=90

CF1BF.

（2）證明：如圖，取AD中點0,過點。作OM_LBC,

I)

?/CDIIAB,ZBCD=90°,

NDCB=90°，

又OM1BC,

OMIIAB,

M為BC中點，

OM=14?+CD),

AD=AF+DF,

又AF=ABfDF=DC,

AD=AB+CD=2OM,

又AD=2OA,

OA=OM=OD,

二.以AD為直徑的圓與BC相切.

(3)解:VZDFE=120°,CDIIEFIIAB,

NCDA=60°,/RAD=120°,^AFE=60°，

又DC=DF

△DCF為等邊三角形，ZDFC=ZFCD=60°，

,/CDIIEF,

???4FE=/FCD=60°，

由l：2)得：NCFB=90°,

???NEFB=30°，

ZBFA=NFBA=30°,

EF=2,在Rt△BFE中，三邊之比為1：V3:2，

■■■BE盜孕,

在Rt△CEF中，三邊之比為1：VJ：2,

■,*CE=痘EF=2V3，

如織，過點D,點A分別向EF作垂線交EF于點M,N,

?「"CEM="EMD="ECD=90°，

四邊形CDME為矩形，

二CE=DM=2V3,

同理,四邊形BENA為矩形，

/.BE=AN=,

SAADE=S^EFD+SAEFA=]EF?DM+g?EF?AN

=”F?（DN+AN）

=-x2x（2V3+-V3）

23

=衿?

【考點】幾何圖形的面積計算-割補法，四邊形的綜合

【解析】