其次章資金的時間價值

一、例題

【例2.2］有一筆50000元的借款，借期3年，年利率為8%,試分別計算計息

方式為單利和復利時，其應歸還的本利和。

【解】用單利法計算：

F=P(l+i?n)=50,000X(1+8%X3)=62,000(元)

用復利法計算：

Fn=P(l+i)n=50,000X(1+8%)3=62,985.60(元)

【例題2-3］現設年名義利率r=15%,則計息周期為年、半年、季、月、日、

無限小時的年實際利率為多少？

解：年名義利率r=15%時，不同計息周期的年實際利率如下表

年名義利率年計息次數計息周期利年實際利率

計息周期

(r)(m)率(i=r/m)(ieff)

年115%15.00%

半年27.5%15.56%

季43.75%15.87%

15%月121.25%16.08%

周520.29%16.16%

日3650.04%16.18%

無限小CO無限小16.183%

二、練習

(1)若年利率i=6%第一?年初存入銀行100元，且10年中每年末均存入100元,

試計算：

1.到第十年末時的本利和？

2.其現值是多少？

3.其年金是多少？F

解：首先畫出現金流量圖如圖1所示，圖1可轉化［圖2

1000110011

圖I圖2

則結果為：

11

(1+0.06)-1

L1F=A(F/A,6%,11)=100-------------------=1497.16(元)

0.06

2、P=A(P/A,6%10)+A=100(1+0?呼-1+100=836.01元)

(1+0.06)1°x0.06

3'A=P(A/P,6%10)=836.01”°13.59(元)

(1+0.06--1

(2)已知年利率i=12%,某企業向金融機構貸款100萬元。

(1)若五年后一次還清本息共應償還本息多少元？

(2)若五年內每年末償還當年利息，第五年末還清本息，五年內共還本息多

少元？

(3)若五年內每年末償還等額的本金和當年利息，五年內共還本息多少元？

(等額本金還款)

(4)若五年內每年末以相等的金額償還這筆借款，五年內共還本息多少元？

(等額本息還款)

(5)這四種方式是等值的嗎？

解:

F=P(1+i)n=100(1+0.12)5=176.23(萬元)

(1)

(2)T=Pxixn+P=12x5+100=160(萬元)

(3)T=100xi+80xi+60xi+40xi+20xi+100

=12+9.6+7.2+4.8+2.4+100=136(萬元)

U萬元)

)A=P(A/P,12%5)=100(112^X0J2=2774c

g0.12)5—1

T=Ax5=27.74x5=138.7(萬元)

(5)以上四種方式是等值的。

三.某人存款1000元，8年后共得本息2000元，這筆存款的利率是多少？若欲

使本息和翻兩番，這筆錢應存多少年?

解：由F=P(1+i)n

彳？2000=1000(1+i)8

j=\/2-1=9.05%

同理，由F=P(1+i)n

得8000=1000(1+0.0905)°

1.090f=8

In8

n=------------=24(年)

ln1.0905

四、復利計算：

(1)年利率112%,按季計息，1000元現款存10年的本息和是多少？

(2)年利率r=12%,按月計息，每季末存款300元，連續存10年，本利和是多

少？

(3)年利率r二9%,每半年計息一次，若每半年存款600元，連續存10年，本

利和是多少？

解：(1)由F=P(1十?

10x4

0.12

=3262.04(元)

4

3

0.03

-1=3.03%

3

1

g…元)

r0.09八c.u

(3)由?半年=m=丁=°,045

F=600(l+O045)”T=18822.85(元)

0.045

五、證明：

(1)(P/A,i,n)=(P/A,i,n-l)+(P/F,i,n)

證明：(1+i)e_[1

右式二(1+嚴"W

通分后有：

(1+i)n-[l+i)+i

=J=(尸/AL")二左式

(1+巾(1+1)I

(2)P(A/P,i,n)-L(A/F,i,n)=(P-L)(A/P,i,n)+Li

P為原值，L為殘值的固定資產的折舊(年金)的計算

證明:(1+巾i

七t(1+爐-廣(1+i”1

左式二

上式中加一個Li,減一個Li,有

口(1+巾Ii-

=P---------------L——------bLi-Li

(1+i)n-1(1+i)n-1

二P\「

(1+巾

(1+爐一1

二右式

六.假設你從9年前起先，每月月初存入銀行50元，年利率為6%,按月復利計

息，你連續存入71次后停止，但把本息仍存在銀行。你安排從現在起一年后，

租一套房子，每月月末耳卜00元租金，為期10年。試問：你的存款夠支付將來

10年房租嗎？|

(1+0,005)71-1

F=50(F/A,i,71)(14-i)50=50(1+0.005=5452.68

A=5452.68(M,i,n)=5452.6喘器絆

=60.54（元）＜100元

故這筆存款不夠支付10年房租。

七.某人借了5000元，準備在48個月中以等額按月每月末償還，在歸還25次

之后，他想以一次支付的方式償還余額，若年利率為12%,按月計息，那么，

（1）若他在第26個月末還清，至少要還多少？

（2）若他在第48個月末還清，至少要還多少？

解：首先畫出現金流量圖

A5000

0”w48月

WI

T26二？VT48=?

爸=1%

12

（1+0.01）48xQ.P1

A=R（A/P,12^48）=5000=131.67

（1+0.01嚴-1

26那月06127148

VT26

qT26

丁26=A（P/A,1%22）+A

=131a~+0吧J十131.67=2720.35阮）

（1+0.01）22X0.01

同理

48月____25^26

V68月

?=?=oV123

uT148

（1+0.01）23-1

=A（F/AJ%23）=131.67=3386.07（元）

0.01

A.某公司1998年1月1日發行2004年1月1日到期、利息率為8%的半年計息

并付息一次、面值為1000元的債券。假如某人擬購此債券，但他希望能獲得年

利率為12%,按半年計息的復利酬勞，問在1998年1月1日該債券的價值是多

少？

解:A1000

40

八

12半牽

i=6%

P=A(P/A,6%,12)+1000(P/F,6%,12)

12

4nnn8%(1+0.06)-11000_QQO

—1000x———x-F-Try-832?32(TU)

12

2(1+0.06)12X0.06(1+0.06)

九.某工廠購買了一臺機器，估計能運用20年，每4年要大修一次，每次大修

費用假定為5000元，現在應存入銀行多少錢才足以支付20年壽命期間的大修

費支出？按年利率12%,每半年計息一次。

解：畫出現金流篤So50(X)50005000

TTTt----->,

48121620年

r=12%

P=?

轉化為5000

i

I2345(4年)

vp=?

12%?丫

----x8

1+—------1=59.38%

4年一8

(1+0.5938)』

P=A(P/A,i,n)=5000=7115.39(元)

(1+0.5938)4x0.5938

第三章投資方案的評價指標

一、練習

一.若某項目現金流量圖如下，ic=10機試求項目的靜態、動態投資回收期，凈

R=80

現值和內部收益率。眼位：5至不

八

0123412年

V

^150ic=10%

100

解:上圖可轉化為

R=80

單位：萬元A30A50AA

01-3412。

V100V150

ic=10%

Vi*

1.項目的靜態投資回收期

1=100+150-30-50=170(萬元)

P,=-3=——+3=5.13

'R80

2.項目的動態投資回收期

r=100(1+10%)3+150(1+10%)2-30(1+10%)-50

=231.6(萬元)

^^231,6x0.1

9\80

P.=+3=6.59(年)

ln(1+O.1)

3.項目的凈現值

.（吟…。一禹+帚+遙^+皿虐蒜喘

=172.14(萬元)

4.項目的內部收益率

NPV（IRR）=-W0-品+湍守+正器物+8。高器鼻=。

設：rl=20%,則NPV=11.3873

r2=25%,則NPV=-33.3502

11.3873

故IRR20%+(25%-20%)=21.27%

11.3873+33.3502

二.假如期初發生一次投資，每年末收益相同，在什麼條件下有:

PtxIRR=1

解：畫出該項目的現金流量圖

________R__________

A

01n年

Vi

依據定義有At=J_

R

NPV(IRR)=-I+R+=0

'*7(1+IRR)IRR

由卜式'J__(l+IRR)”一1

IR—(1+IRR)C|RR

亦即吁能璃溫

1+inR11

所以px|RR-()--1――

m么P.xIRR-(1+|RR)n(1+IRR)-

又因為lKl<>0

即(1+IRR)>1

所以，當n趨于8馬？+晅^丫-8

--------=o

(1+IRR)”

因而，當n-8|件「舊R=1

此題表示假如建設項目壽命較長，各年的凈現金流量穩定且大致相等的話,

項目的IRR等于Pt的倒數。

三.現金流量如下圖，試求Pt與IRR：M、N之間的關系。

A

A_A

01MM+lN

7V

I

解：依據指標的定義，有:

cMl一

P,=--4-M

A

.(1+IRR)M—1_(1-i-IRR)NM-1

IRR=A^(iTlRRT^IRR

所以有擊=2^

I=____(1+IRR)WM-1

A=(iTlRRy^Kl^FlRRy^l]

即P,-M=+

M=(14^IRR)N~(1ZIRR)NM

NM

D..(1+IRR)-11Ml

*—M(1+IRR)M-(1+IRR)NM+

=MSWT_____

(1+IRR)N—(1+IRR)w

此式表明項目建設期M、項目總壽命N、靜態投資回收期Pt與內部收益率IRR

之間的關系。

四.若現金流量圖如下，試求證當nftP昨Ap-P：

NPV=A(P，in)-l

證明:Ac5

NPV=A

(1+Ec

A(1+i)n-1.

KN1POVW=—xvc/-----

L(z1+L)Xn

(i+Ly-i

因為也0+icy

所以ZPV=4I一表〕

又因為「=太

所以NPV=

第四章多方案的比選

一、例題

【例】有4個方案互斥，現金流如下，試選擇最佳方案。ic=15%。

項目1234

現金流00-5000-8000-10000

（萬1-10年00

元）

解：因為1方案凈現值為零，故取2方案為基準方案（NPV2X））。

NPV（15%=-5000+14呵（1+6尊°-1=2026.18（75元）

（1+O.15）10x0.15

比較方案3與2,依據現金流量差額評價原則，應有

△NPV（15）3.2=-（8000-5000）X1900-1400）（P/A,15%,10）=-490.62（萬元）＜0

說明方案2優于3。

再比較方案2和4。

△NPV（15）4_2=-（10000-5000）+（2500-1400）（P/A,15%,10）=520.65（萬元）＞0

說明方案4優于2o

因為方案4是最終一個方案，故4是最佳方案。

【例】有,4個方案互斥，現金流如下，試選擇最佳方案。ic=15%。

項目1234

現金流00-5000-8000-10000

（萬1?10年00

元）

解：同理，因為1方案凈現值為零，故取2方案為基準方案。

（1）比較方案3與2,依據現金流量差額評價原則，應有

△NPV(AIRR3_2)3_2=-3000+500(P/A,AIRR3_2J0)=0

得.AIRR_=10.59%<i=15%

32c說明方案2優于3。

⑵再比較方案2和4o

△NPV(AIRR4_2)4_2=-5000+1100(P^,AIRR4_2,10)=0

得：△IRR4_2=17.69%>IC=15%說明方案4優于2o

因為方案4是最終一個方案，故4是最佳方案。

【例】4種具有相同功能的設備A、B、C、D,其運用壽命均為10年，殘值為0,

初始投資和年經營費如下。若ic=10%,試選擇最有利設備。

4種設備的原始數據（單

位：萬元）

設備ABCD

初始投資30384550

年經營費1817.714.713.2

解：由于功能相同，故可只比較費用；又因為各方案壽命相等，保證了時間可

比，故可利用凈現值指標的對稱形式一一費用現值指標PC選優。判據是選擇諸

方案中費用現值最小者。

解;PCA(10)=30+18(9(,10%,10)=140.6

PCB(10)=38+17.7^,10%,10)=146.8

PCc(10)=45+14.7^,10%,10)=135.3

PCD(10)=50+13.2^,10%,10)=131.1

所以，應當選擇設備D。

(2)經濟性工學的解法

第一步：按投資額由小到大排序后，先依據靜態數據淘汰無資格方案。單位:

萬元

年經營A%i無資重算無資重算

投資（=』）△%

設備費格格

I

C方案方案

A3018署=。.6黑=。6莖=0.6

303030

18-17.7—

B3817.738-30B

=0.0375

17.7-14.718-14.7

45-30

C4514.745-38C

=0.22

=0.4286

14.7-13.218—13.2

D5013.250-4550-30

=0.3=0.24

其次步：從剩余方案中比選最優方案。本例中僅剩A、D兩種設備備選，若用△

IRR指標,4儆^")一由二。

代入數據，則有（蘇,AIRRD_A，10）=0.24

△IRRc八=20%>ic=10%

\,J_A

故應選擇設備Do

【例】假如設備A、B、C、D的投資、收益數據如下表所示，各方案壽命均為無

限大。

設備

ABCD

項目

初始投資（萬20304050

元）

年凈收益（萬2.05.46.27.8

元）

試問：（1）若：ic=10%,應選哪種設備?

（2）ic在什么區間，選擇B設備最為有利？

解：第一步，按投資額由小到大排序后，先依據靜態數據淘汰無資格方案。單

位：萬元

△R/△FV

投資△1無資格方案△1△TRR排序

設備年收益C

I

A202.00.1A—

B305.40.340.1818%①

C406.20.08C—

D507.80.160.1212%②

因為D--->8,(P/A,i,8)=1為，

所以，由△NPV=Z\R(P/A,AIRR,8)-Al=0，

可知，n>8時的△IRR=4R/4I。

△IRR

18

其次步：依據上表計算結果繪出排序圖。

12

ic=10%

0—>BB—>D

012345I(萬元)

△IRR排序圖

第三步：可依據△IRRNic,選優：

（1）當ic=10%時;明顯△11^0—>13和△IRRB—W都符合標準，因此應選擇D

設備。

（2）依據上述準則，12%<ic<18%,應選B設備。因為這是由B到D的增量投

資的△IRRB—>D=12%<ic,不符合選中的標準。

也就是說，按經濟性工學應選擇aIRR由大于ic轉變為小于ic之前的增量

方案。如（1）中的B—>D,即D設備和（2）中的0—>B,即B設備。

【例】有A、B兩種設備均可滿意運用要求，數據如下:

設備投資I（萬元）每年凈收益（萬元）壽命（年）

A10004004

B20005306

若有吸引力的最低投資收益率MARR=10%,試選擇一臺經濟上有利的設備。

解：A、B壽命期不同，恭網金流如下:

A|0

1000

530

A

01L年

R

其最小公倍數為12年。

400400400

小八小小小小)

A'如~1p一~5^8912年

100010001000

530530

/T八個

B'016712年

VV

20002000

,(1+01)-1

NPVA=[-1000+400-——--------]xfl++]=575.96(萬元)

(l+().l)4x().l(1+().I)4(1+().I)8

NPVB=f-2000+530(1+叫)T]x[14--~!—]=482.31(萬元)

(l+0.1)6x0.1(1+0.1)6

因為NPVA'>NPVB',又因為A'項目與A項目等效；B'項目與B項目等

效，故A項目優于B項目。

【例】某廠為增加品種方案，考慮了兩種方案（產量相同，收入可忽視不計）,

假定ic=15%,現金流如下:

項AB

目

初期投資（萬元）12501600

年經營成本（萬元）340300

殘值（萬元）100160

壽命（年）69

解：畫出現金流量圖

%

A0

V340

1250

A160

%

B

1600

（1）第一種不承認方案未運用價值。

取6年為探討期:

PCA+34。（北浮工5-0^7=249349（萬兀）

（1+0.15）6-1160

PCDi=1600+300=2666.1（萬元）

ol（1+0.15）6X0.15（1+0.15）6

因為PCAVPCB1,此時A方案優于B方案。

（2）預料方案未運用價值在探討期末的價值并作為現金流入量。（這種方法取

決于對處理回收預料的精確性。假如重估值有困難，一般采納回收固定資產余

值。）

殘值=?+若圖E64。

640

PC=1600+300（1+。取T=2458.66（萬元）

B2（1+0.15）x0.15（1+0.15）6

因為PCA〉PCB2,所以B方案優于A方案c

二、練習

一.兩個互斥的投資方案A、B,基準貼現率在什么范圍內應選擇方案A?在什么

范圍內應選擇方案B?凈現金流量如下表：

方案年末凈現金流量(元)

01234

A-10850

B-100200

解：首先計算出A、B項目與A、B差額項目的內部收益率。

IRRA=23%

IRRB=34%

△IRRA-B=13%(NPVA=NPVB)

但由于這里A、B項目的投資相等，所以不能用前面的原理來選擇，即用投

資多的項目減去投資少的項目，若此時的△IRR>ic,則投資多的項目優于投

資少的項目。

我們可以通過畫圖的方式來選擇。

由上圖看出：

當0MC413%時，選A項目

當13%<ic434%時，選B項目

一.具有同樣功能的設備A、B,有關資料如下表；不計設備殘值，若兩臺設備的

運用年限均為8年，貼現率為13機

設備初始投資產品加工費

A20萬元8元/件

B30萬元6元/件

(1)年產量是多少時，設備A有利？

(2)若產量為13000件/年，貼現率i在什麼范圍時，A設備有利？

(3)若產量為15000件/年，貼現率為13%,運用年限為多長時，A設備有利？

解：(1)設年產量為Q萬件，若A設備有利，則：

PCA<PCB

20+QX8(1+。?呼〈30+QX6-。?呼一1

(1+0.13)bx0.13(1+0.13)bx0.13

解得：Q<1.042(萬件)

此時選擇設備A有利。

(2)PCr.*<PCO

20+1-3x8(Wxi<30+13x6(i5x7

<3.8462

(14-i)8xi

設i=20%,則不等式左邊二3.837

設i=15%,則不等式左邊二4.487

由三角形比例關系,有：ic>19.93%

此時選擇設冬A有利。

(3)PCA<PCB

(1+0.13)n-1(1+0.13)n-1

20+1.5x8<30+1.5x6

(1+0.13)nx0.13(1+0.13)nx0.13

(1+0.13)n-1

<3.3333

(1+0.13)nx0.13

(1-3.3333x0.13)x1.13n<1

nxln1.13<ln1.7647

1.13n<1.7647

解得n<4.65(年)

此時選擇設備A有利。

三.有A、B、C、D四個互斥方案，壽命相同。有關資料如下：若ic=15%,應選

哪個方案？

△IRR.

方案(j)初始投資IRR.j-k

J

k=Ak二Bk二C

⑴(元)

A10000019%————

B17500015%9%——

C20000018%17%23%—

D25000026%12%17%13%

解：IRRA=19%>15%選A為臨時最優方案

=9%<15%

△IRRB。-AA故，A優于B

△iRRcC-AA：=17%>15%故,C優于A

=13%<15%

△IRRD、-C「:故，C優于D

一.有A、B、C、D四方案互斥，壽命為7年，現金流如下。試求ic在什麼范圍

時，B方案不僅可行而且最優。

各方案現金流量（單位:

萬元）

ABCD

投資25000

凈收益580

△NPV>0

解：（1）凈現值法BD-AA

△0v°

NPVG^—3

欲使B方案不僅可行而且最優,貝ij有:ANPyDTV。

NPVN0

6O

-1OOO+4OoJ1+IC^-1>0/有（1+ic）7-1

>2.5

（1+ic）xic（1+ic）7xic

-1000+200,+ic）―1<o（1+ic）7-1

<5

（1+ic）xic（1+ic）7xic

-2000+480（1+lc）-1<o（+ic]—1

<4.1667

（14-ic）xic（1+ic）7xic

-3000+900（1+IC）T*0（1+ic）7-1

N3.3333

（1+ic）xic（1+ic）7xic

<3.33334（1+2,T<4.1667

當ic=15%（1+ic）xic

=4.16041

（1+ic）Xic

當ic=10%<得ic>14?96%

<（1+匕丫=4.8684

（1+ic）xicI

,當ic=25%得14.96%<ic^

23.06%

（1+ic/1=3i6ii〕

（1+ic）xic

>

當ic=20%得icW23.06%

(1+ic)7—1

=3.6046

(14-ic)7xic

2）差額內部收益率法

欲使方案不僅可行而且最優，則有：(

BIl1++A￡A|Rlr\Rr\vI—1I

-1000+400/'g-A，=o

(1+AIRRfXAIRR

\DB-AA/BD-AA

(1+NRRJ-

-1000+200/-=---o-------------------------------

△,RRB-A>ic(1+AIRRccJxNRRcc

\C-B/C-B

A,RR<ic

C-B(l+AIRR^DV-1

-2000+480/'=o

△IRR口<ic

D-B(1+AIRR^YXAIRR^

\D-B/D-BD

IRRaNic(7

D1+IRRD)-1

----------二

-3000+900r--------岸70

(1+IRRB)XIRRB

對于方程1

=35J5%>ic

當rl=35%,方程1左邊二3.002)△iRRB-A

當r2=40%,方程1左邊=-94.8645

對于方程2

當rl=10%,方程2左邊二-26.3產>AIRR^B=9.28%<ic

當r2二5%,方程2左邊=157.2746

對于方程3

當rl=15%,方程3左邊=4.160^^——AIRR=14.96%<ic

Dn-BD

當r2=10%,方程3左邊=4.8684

對于方程4

當rl=25%,方程4左邊當,1611：〉IRR=23.06%^ic

D

當r2=20%,方程4左邊二3.6046

聯立以上4個方程結果，有

14.96%vicM23.06%

（3）經濟性工學解法

△R/重算重算

△1無資格無資

△R/z

年收益△1

設備投資I方案格方

R

案

典=0.25

A20005002000A

900-500

晅=0.3

3000-2000蟠=0.3

B300090030003000

=0.4

1100-900

C400011004000-3000C

=0.2

1380-11001380-900

D500013805000-30005000-300C

=0.28=02

由上表可淘汰A、C方案，故只需計算B、D方案。

NPVB^0IRRB^ic

ANPVD-?<°或△，RRD-B<iC

所以有14.96%<icM23.06%

思索：

能否求出ic在什么范圍時，A或者C方案不僅可行而且最優。

A或者C方案為無資格方案，無論ic在什么范圍都不行能成為最優方案。

二.假如有A、B、C、D四個互斥投資方案，壽命期為無窮大，其它數據如下:

方案ABCD

投資M萬元）1

凈現金流量R（萬10364560

(1)

元）

若

ic=10%,應選哪個方案?

(2)若希望B為最優投資規模，ic應調整在什麼范圍？

解：(1)求各個方案的NPV

因為壽命為無窮大，故NPV可表示如下;

NPV(10)=T+R(1+ic)'1-1+e

(1+ic)11xicic

NPVA(io)=-1004-^=0

NPVB(10)=-200+^=160

45

NPV^(10)=-300+—=150

c0.1

NPVD(10)=-400+號=200

因為NPVD最大，所以方案D最優。

(2)若B為最優規模，則

-(200-100)+超T0>Q

[IC

‘△NPVB_A(ic)>0

-(300-200)+<o

△NPV.(ic)<0匚

<DR<-(400-200)+6°~36<0

△NPVD_B(iC)<°

、NPVB(ic)^0-200+理NO

ic

得

26>100icicv26%

9<100icic>9%

24<200icic>12%

36、200icic<18%

所以有12%<ic,18%

解：采納淘汰無資格方案的方法

重算重算

方案△R/無資無資

/△I△R/