4.1.3三角形的高線、中線和角平分線【新知探究】1.從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線,頂點和垂足之間的

叫作三角形的高線,簡稱三角形的高。

如圖所示的△ABC中,AF⊥BC,則線段AF是△ABC的BC邊上的高。2.三角形的三條高所在的

相交于一點。

線段三角形的高線直線【例1-1】如圖所示,在△ABC中,AD⊥BC,垂足為D,EC⊥BC交AB于點E,CF⊥AB,垂足為F,BG⊥AC,垂足為點G。(1)分別寫出△ABC各條邊上的高;(2)CF是哪幾個三角形的高?解:(1)由題圖知,在△ABC中,AB邊上的高是CF,BC邊上的高是AD,AC邊上的高是BG。(2)CF是△BCF,△BCE,△BCA,△FCE,△FCA,△ECA的高。【例1-2】如圖所示,AD,CE是△ABC的兩條高,AB=6cm,BC=12cm,CE=9cm。求:(1)△ABC的面積;(2)AD的長。【新知鞏固】1.下面的說法正確的是()A.三角形的高都在三角形內B.直角三角形的高只有一條C.三角形的高至少有一條在三角形內D.鈍角三角形的三條高都在三角形外面C2.如圖所示,在△ABC中,∠BAC是鈍角,完成下列畫圖,并用適當的符號在圖中表示。(1)AC邊上的高;(2)BC邊上的高。解:畫圖如圖所示。(1)線段BE為AC邊上的高。(2)線段AD為BC邊上的高。3.如圖所示,在△ABC中,∠B=40°,∠ACB=110°,AE是△ABC的角平分線,AD是BC邊上的高,求∠DAE的度數。【新知探究】1.在三角形中,連接一個頂點與它對邊

的線段,叫作這個三角形的中線。如圖所示的△ABC中,線段AE是邊BC的中線,則BE=

。2.三角形的三條中線交于一點,這個點稱為三角形的

。

中點三角形的中線CE重心【例2-1】如圖所示,在△ABC中,點E是△ABC的重心,連接AE并延長,交BC于點D。已知AB=6,AC=7,△ABD的周長為16,求△ACD的周長。解:因為點E是△ABC的重心,且點E在AD上,所以AD為BC邊上的中線。所以BD=CD。因為△ABD的周長為16,AB=6,所以AD+BD=10,即AD+CD=10,所以AD+CD+AC=10+7=17,即△ACD的周長為17。【例2-2】如圖所示,AD是△ABC中線,DE是△ADB的中線,(1)圖中有幾對面積相等的三角形?把它們寫出來;(2)如果S△ADB=12,求△ABC的面積。解:(1)題圖中有2對面積相等的三角形,它們為△ABD和△ACD,△EBD和△EAD。(2)S△ABC=S△ABD+S△ACD=2S△ABD=2×12=24。三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個面積相等的三角形。【新知鞏固】1.如果三角形三條中線的交點在三角形的內部,那么這個三角形是()A.銳角三角形

B.直角三角形C.鈍角三角形 D.無法確定2.如圖所示,G是△ABC的重心,則下列結論正確的是()A.AD⊥BCB.BD=CDC.∠BAD=∠CADD.BD=CD且AD⊥BCDB3.如圖所示,點D,點E分別是△ABC的邊BC和AC的中點,若△DEC的面積是2cm2,則△ABC的面積為

cm2.

84.如圖所示,在△ABC中,AB>AC,AD是BC邊上的中線,已知△ABD與△ACD的周長的差為6cm,求AB-AC的值。解:因為AD是△ABC的中線,所以BD=CD。所以△ABD和△ACD的周長差為(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC。因為△ABD與△ACD的周長的差為6cm,所以AB-AC=6cm。【新知探究】1.在三角形中,一個內角的角平分線與它的對邊相交,該角的頂點與交點之間的線段叫作三角形的

。如圖所示,線段AD是△ABC的一條角平分線,則∠1=

。

2.三角形的三條角平分線交于一點。三角形的角平分線角平分線∠2【例3】如圖所示,AD平分∠BAC,其中∠B=35°,∠ADC=82°,求∠BAC,∠C的度數。解:因為∠ADC=82°,所以∠ADB=180°-82°=98°。所以∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-35°-98°=47°。因為AD平分∠BAC,所以∠BAC=2∠BAD=2×47°=94°。所以∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-35°-94°=51°。【新知鞏固】1.如圖所示,在△ABC中,BD是∠ABC的平分線,點E是AB上一點,且DE∥CB。若∠A=60°,∠C=70°,則∠BDE的大小為()A.20° B.25° C.30° D.35°2.如圖所示,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分線BD,CE交于點O。若∠A=80°,則∠BOC的度數為

。

B130°3.如圖所示,在△ABC中,若點O是∠ABC,∠ACB的平分線的交點,且∠ABC=50°,∠ACB=60°,則∠OAB=

。

35°4.如圖所示,在△ABC中,∠A=60°,∠ABC=80°,BD是△ABC的高線,BE是△ABC的角平分線,求∠DBE的度數。解:因為∠ABC=80°,BE平分∠ABC,所以∠ABE=40°。又因為∠A=60°,所以∠AEB=180°-∠A-∠ABE=80°。因為