第第頁廣東省惠州市2022-2023學年高一下學期期末數學試題一、單選題1．已知z=2+i，則1+A．1+i B．1?i C．352．“幸福感指數”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態的滿意程度的指標，常用區間[0A．7 B．7.5 C．8 D．93．若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b∥c，則直線a與c（）A．一定平行 B．一定垂直C．一定是異面直線 D．一定相交4．在△ABC中，已知b2+A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形5．已知點A(1，1)，B(0A．(105，C．(15，6．如圖所示，一個物體被兩根輕質細繩拉住，且處于平衡狀態，已知兩條繩上的拉力分別是F1，F2，且F1，F2與水平夾角均為A．20N B．102N C．107．已知圓臺的上、下底面的圓周都在半徑為2的球面上，圓臺的下底面過球心，上底面半徑為1，則圓臺的體積為（）A．533π B．53π 8．已知函數f(x)=2cos(ωA．(0，53] B．(2二、多選題9．如果a，A．a=b B．a=±b C．10．下列說法正確的是（）A．數據1，2，3，3，4，5的平均數和中位數相同B．數據6，5，4，3，3，3，2，2，1的眾數為3C．有甲、乙、丙三種個體按3：1：2的比例分層抽樣調查，如果抽取的甲個體數為9，則樣本容量為30D．甲組數據的方差為4，乙組數據為5，6，9，10，5，則這兩組數據中較穩定的是乙組11．函數f(x)=Asin(ωA．x=13B．f(x)的增區間為C．函數y=f(D．若f(α2)12．如圖，點M是棱長為1的正方體ABCD?A1BA．有無數個點M滿足CM⊥AB．當點M在棱DD1上運動時，MA+MC．若MB1=2D．在線段AD1上存在點M，使異面直線MB1三、填空題13．在復數范圍內，方程4x2+8=014．側面均為面積為4的正方形的正三棱柱的表面積為．15．將y=f(x)的圖像向左平移π4個單位，再向上平移1個單位之后，可得y=16．古希臘數學家托勒密在他的名著《數學匯編》里給出了托勒密定理，即圓的內接凸四邊形的兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．已知AC，BD為圓的內接四邊形ABCD的兩條對角線，sin∠CBD：sin∠BDC：sin∠BAD=1：1：3，AC=4，則△ABD面積的最大值為．四、解答題17．如圖，在正方體ABCD?A1B1C（1）試判斷直線BD1與平面（2）若正方體ABCD?A1B1C18．已知向量a=(sin2x，cos2x（1）求函數f(（2）求函數f(19．某企業生產某批產品按產品質量（單位：g）從高到低依比例劃定A，B，C，D，E五個等級，A等級優于B等級，B等級優于C等級，C等級優于D等級，D等級優于E等級．其中A等級產品占該批產品的12%，B等級產品占該批產品的32%，C等級產品占該批產品的37%，D等級產品占該批產品的15%，E等級產品占該批產品的4%．現從該批產品中隨機抽取100件產品對其質量進行分析，并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，其中5a=2b．（1）求圖中a，b的值；（2）根據頻率分布直方圖，估計企業生產的該批產品的質量的平均數（同一組的值用該組區間的中點值作為代表）；（3）用樣本估計總體的方法，估計該批產品中C等級及以上等級的產品質量至少為多少g？20．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，側面PAD是正三角形，側面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中點．（1）求證：AM⊥平面PCD（2）求側面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值．21．△ABC的內角A，B，C（1）求A；（2）若△ABC為銳角三角形，b=2，求△22．已知函數y=f(x)，x∈D，如果對于定義域D內的任意實數x，對于給定的非零常數P，總存在非零常數T，恒有f(x+T)<P?f（1）判斷函數f(（2）已知T=π2，y=f(x)是[0，+∞)上的P級周期函數，且y=f(（3）是否存在非零實數k，使函數f(

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由z=2+i，根據復數乘除運算得1+故答案為：C.

【分析】由復數乘除運算化簡即可得解.2．【答案】A【解析】【解答】該組數據從小到大排列為：4，5，5，6，7，8，9，且7×60%所以第60百分位數是第5個數，即7.故答案為：A.

【分析】利用百分位數定義規則，即可求得這組數據的第60百分位數.3．【答案】B【解析】【解答】解：由a⊥b，b∥c，得a⊥c.故答案為：B.

【分析】由空間中直線的位置關系，即可判斷.4．【答案】C【解析】【解答】由余弦定理知b2+c2?a2=2bccosA，又b2+c2?a2=bc，∴cosA=12，∴A=π3，

由2cosBsin5．【答案】C【解析】【解答】解：易得AB→=-1，1，BC→=-1，-3，AB→=2，BC→=故答案為：C.

【分析】根據向量的坐標運算先求AB，BC以及向量的模和夾角，再根據投影向量公式計算即可.6．【答案】A【解析】【解答】解：根據題意可知物體的重力大小等于兩條繩子拉力F1，F2的合力大小，由圖可知：F1故答案為：A.

【分析】分析題意可知物體重力的大小為兩繩子拉力F1和F7．【答案】C【解析】【解答】解：設圓臺的下底面的圓心為O，上底面的圓心為O1，球半徑為R，點A為上底面圓周上任意一點，則O1A=1，R=OA=2再設圓臺的高為h，則h=OO故答案為：C.

【分析】根據已知條件先求出圓臺的高，再根據圓臺的體積公式計算即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：由x∈(0，2π)，可得ωx?π3∈-π3，2ωπ-π故答案為：A.

【分析】由x∈(0，2π)，得9．【答案】C,D【解析】【解答】解：因為a，b是單位向量，所以|a故答案為：CD.

【分析】根據單位向量的定義以及求模公式判斷即可.10．【答案】A,B【解析】【解答】解：A、數據1，2，3，3，4，5的平均數為1+2+3+3+46=3，中位數為3+32=3，故A正確；

B、數據6，5，4，3，3，3，2，2，1的眾數為3，故B正確；

C、設樣本容量為x，由題可知D、乙組數據5，6，9，10，5的平均數為5+6+9+10+55=7，則方差為S2=4+1+4+9+4

【分析】求數據的平均數與中位數即可判斷A；利用眾數的定義可判斷B；根據分層抽樣的定義及抽樣比求解即可判斷C；利用方差的定義以及方差的意義可判斷D.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：易知A=1，由圖可得f0=sinφ=32，因為|?|<π2，所以φ=π3，又因為f(7π12)=sin(ω7π12+π3)=-1，解得ω=2+24k，k∈Z，由ω>0，且T>7π12，即2πω>7π12，可得0<ω<247，當k=1時，ω=2，故函數的解析式為故答案為：ABD.

【分析】由圖象先確定函數f(x)=Asin(ωx+φ12．【答案】A,C【解析】【解答】解：B、旋轉平面ADD1A1與平面BB1D1D共面時，如圖中A'A1'D1D，連接A'B1交DD1于點M，此時MA+MB1最短為A'B1，即A'B1=12+1+22≠3+1，故B錯誤；

A、根據正方體性質可得CD⊥平面ADD1A1，所以CM⊥AD1，又A1D⊥AD1，CD∩A1D=D，所以AD1⊥平面A1DC，因為CM?平面A1DC，所以AD1⊥CM，故有無數個點M滿足CM⊥AD1故答案為：AC.

【分析】根據模型，旋轉平面將折化為直，結合勾股定理即可判斷B；根據線面垂直的性質定理以及判定定理即可判斷A；利用直觀想象圓錐的模型，利用勾股定理，先求底面的軌跡從而判斷C；根據異面直線的夾角定義，平移直線利用數形結合以及三角函數的定義即可判斷D.13．【答案】2i或【解析】【解答】解：由4x2+8=0，可得x2=-2故答案為：2i或?

【分析】根據復數的性質直接接方程即可.14．【答案】12+2【解析】【解答】解：如圖所示：由題可知四邊形ABB1A1，BCC故答案為：12+23

【分析】根據題意可知該正三棱錐時由3個邊長為2的正方形和2個邊長為2的等邊三角形構成，從而求正三棱錐的表面積即可.15．【答案】0【解析】【解答】解：根據題意，將y=sin2x的圖象向下平移1個單位，再向右平移π4個單位可得y=f(故答案為：0.

【分析】由已知條件逆推函數y=f(16．【答案】3【解析】【解答】如圖，可知∠BAD+∠BCD=180sin∠BAD=sin∠BCD故sin∠CBD：sin∠BDC：sin∠BCD=1：1：3，在△BCD中，由正弦定理得CD：故∠BCD=120°，∠BAD=60即k?AD+k?AB=3k?4，即AD+AB=43，又當且僅當AB=AD時取等號.故△ABD面積的最大值為33故答案為：33

【分析】根據圓的內接四邊形的性質及正弦定理，推出CD：BC：BD=1：1：17．【答案】（1）直線BD1//理由如下：在正方體ABCD?A1B1C1D1中，連接因為四邊形ABCD為正方形，則O為BD中點，又E為DD1中點，因此又OE?平面AEC，BD1?平面AEC，所以B（2）解法一：（等體積法）在三棱錐B?AB1C則S△△ABC的面積S設點B到平面AB1C由VB?AB1于是h=S△ABC?BB1S解法二：（直接法）連接B1O，在平面B在正方形ABCD中，AC又∵B1B⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，又∵B1B∩BD=B，B1B∴AC⊥平面BB1D1D，而B同理可得：B1又∵AC∩B1C=C，AC，B∴BD1⊥平面AB1所以BH為點B到平面AB由題意可知，在直角三角形B1BO中，B1B=2由B1B?BO=B1O?BH得BH=23【解析】【分析】（1）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，連接BD交AC于點O，連接OE，根據線面平行判定定理證明即可；

（2）解法一（等體積法）在三棱錐B?AB1C中，設點B到平面AB1C的距離h，根據VB?AB1C=V18．【答案】（1）解法一：由題意可得：f所以此函數的最小正周期T=2令2x+π4=kπ，k∈Z∴函數的對稱中心為(kπ2解法二：由題意可得：f所以此函數的最小正周期T=2令2x?π4=π2+kπ∴函數的對稱中心為(3π8（2）解法一：因為f由π2+2kπ解得：π8+kπ∴函數f(x)的單調遞減區間為[解法二：∵f由2kπ≤2x?π解得：π8+kπ∴函數f(x)的單調遞減區間為[【解析】【分析】（1）由題意，根據向量的數量積求得函數f(x)=sin(2x+π4)，再由三角函數的性質求解即可；

19．【答案】（1）由題意，得10(解得a=0.010，（2）企業生產的該批產品的質量的平均數約為10×(（3）等級達到C及以上的占比為12%設該批產品中C等級及以上等級的產品質量至少為xg，易得50<x<60，則(0解得x=59，所以該批產品中C等級及以上等級的產品質量至少為59g．【解析】【分析】（1）根據頻率分布直方圖中頻率之和等于1以及5a=2b列式求解即可；

（2）根據頻率分布直方圖數據直接計算即可；

（3）等級達到C及以上的占比為81%，設該批產品中C等級及以上等級的產品質量至少為xg，易得50<x<60，再根據頻率分步直方圖列式求解即可.20．【答案】（1）證明：證法一：在正方形ABCD中，CD⊥AD又側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD=AD，CD?底面ABCD，所以CD⊥平面PAD，因為AM?平面PAD，所以CD⊥AM，因為△PAD是正三角形，M是PD的中點，所以AM⊥PD又CD∩PD=D，CD，PD?平面PCD，所以證法二：在正方形ABCD中，CD⊥AD又側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD交底面ABCD于AD，所以CD⊥平面PAD，又CD?平面PCD，故平面PCD⊥平面PAD，△PAD是正三角形，M是PD的中點，所以又平面PCD交平面PAD于PD，AM?平面PAD，故AM⊥平面PCD（2）解：取AD，BC的中點分別為E，F，連接EF，PE，PF，則EF=CD，EF//CD，因為AD⊥CD，所以EF又在正△PAD中，PE因為EF∩PE=E，EF，PE?平面PEF，AD⊥平面正方形ABCD中，AD//BC，BC⊥平面所以∠PFE是側面PBC與底面ABCD所成二面角的平面角，因為CD⊥平面PAD，EF//CD，所以EF⊥平面因為PE?平面PAD，所以EF⊥PE，設正方形ABCD的邊長AD=2a，則EF=2a，PE=3所以PF=PE2即側面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值為27【解析】【分析】（1）證法一：利用面面垂直的性質定理證明CD⊥平面PAD，從而得到CD⊥AM，由正三角形的性質可得AM⊥PD，再利用線面垂直的判定定理證明即可；

證法二：利用面面垂直的性質定理得到CD⊥平面PAD，再利用面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥平面PCD，由正三角形的性質可得AM⊥PD，再利用面面垂直的性質定理證明即可；

（2）取AD、BC的中點分別為E、F，連接EF、PE、PF，利用線面垂直的判定定理證明AD⊥平面PEF，則可得BC⊥