第27頁(yè)（共27頁(yè)）專題02勾股定理1．勾股定理勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：．2．勾股定理的應(yīng)用勾股定理是直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，它把直角三角形有一個(gè)直角的“形”的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為三邊“數(shù)”的關(guān)系．利用勾股定理，可以解決與直角三角形有關(guān)的計(jì)算和證明問(wèn)題，還可以解決生活、生產(chǎn)中的一些實(shí)際問(wèn)題．其主要應(yīng)用如下：（1）已知直角三角形的任意兩邊求第三邊；（2）已知直角三角形的任意一邊確定另兩邊的關(guān)系；（3）證明包含平方（算術(shù)平方根）關(guān)系的幾何問(wèn)題；（4）構(gòu)造方程（或方程組）計(jì)算有關(guān)線段的長(zhǎng)度，解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問(wèn)題．3．勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，我們稱它為勾股定理的逆定理．4．勾股數(shù)（1）能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，即a2+b2=c2中，a，b，c為正整數(shù)時(shí)，稱a，b，c為一組勾股數(shù)．（2）勾股數(shù)的求法：如果a為一個(gè)大于1的奇數(shù)，b，c是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，且有a2=b+c，那么a，b，c為一組勾股數(shù)．如3為大于1的奇數(shù)，4，5為兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，且32=4+5，則3，4，5為一組勾股數(shù)，還有：5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，60，61；…．6．互逆命題與互逆定理（1）互逆命題如果兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，那么這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題．如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題．（2）互逆定理一般地，如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是正確的，那么它也是一個(gè)定理，則稱這兩個(gè)定理互為逆定理，其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理．考點(diǎn)01與勾股定理相關(guān)的計(jì)算與證明1．已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊長(zhǎng)，關(guān)鍵是先明確所求邊是斜邊還是直角邊，再?zèng)Q定用勾股定理的原式還是變式．2．根據(jù)各圖形間的邊長(zhǎng)關(guān)系，結(jié)合勾股定理得到線段的平方的關(guān)系，利用線段平方與所求圖形面積間的關(guān)系求圖形面積．3．求不規(guī)則圖形的面積常用的方法是割補(bǔ)法，即把不規(guī)則圖形分割或拼補(bǔ)成規(guī)則圖形，通過(guò)規(guī)則圖形的面積的和差求不規(guī)則圖形的面積．4．在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．【典例1】（2025春?福鼎市期中）如圖，在△中，，，是△的角平分線，，相交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)是A．2 B． C． D．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線定義得到，，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，得到，即△為等腰直角三角形，由此得到，再利用勾股定理即可求出．【解答】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，平分，平分，，，，，，，△為等腰直角三角形，又，，，．故選：．【典例2】（2025春?雙流區(qū)校級(jí)期中）如圖，△中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)．點(diǎn)在右側(cè)，，且，射線交于點(diǎn)，若△為等腰三角形，則線段的長(zhǎng)為．【答案】或．【分析】分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，作于，分三種情況討論，由全等三角形的性質(zhì)得到，由三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)得到，，由勾股定理，射影定理即可解決問(wèn)題．【解答】解：分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，，，，△△，，，，，，，，是△的中位線，，，△△，，，，①當(dāng)時(shí)，是△的斜邊的中線，，．②當(dāng)時(shí)，作于，，，，，③當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)△為等腰三角形，則線段的長(zhǎng)為或．故答案為：或．【典例3】（2025春?大連期中）在△中，．（1）若，，求；（2）若，，求．【答案】（1）25；（2）2．【分析】（1）根據(jù)勾股定理求解即可；（2）根據(jù)題意得出三角形是等腰直角三角形即可推出結(jié)果．【解答】解：（1）由勾股定理得，；（2）△中，，，，，又，．考點(diǎn)02勾股定理與圖形面積勾股定理的證明是通過(guò)拼圖法或割補(bǔ)法完成的，探索時(shí)利用面積關(guān)系，將“形”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問(wèn)題．【典例4】（2025春?梁溪區(qū)校級(jí)期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為，較短直角邊長(zhǎng)為，若，大正方形的面積為17，則小正方形的面積為A．5 B．7 C．9 D．11【答案】【分析】根據(jù)大正方形的面積和勾股定理推出，然后結(jié)合完全平方公式的變形得出，最后由小正方形的面積為，即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖所示，由題意，，，大正方形的面積為17，，，，，，，小正方形的邊長(zhǎng)為（負(fù)值舍去），小正方形的面積為11，故選：．【典例5】（2025春?洪山區(qū)期中）某數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)完勾股定理后，類比“趙爽弦圖”將八個(gè)全等的直角三角形拼接構(gòu)造成如圖所示的弦圖，圖中正方形，正方形，正方形的面積分別記為，，，若，則的長(zhǎng)是A． B．4 C．5 D．【答案】【分析】利用勾股定理結(jié)合正方形的面積公式以及面積關(guān)系列出等式，即可求解．【解答】解：設(shè)直角三角形的長(zhǎng)直角邊為，短直角邊為，斜邊長(zhǎng)為，則：，由題意，得：，，，，，，即，，故選：．【典例6】（2025春?淮北期中）三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為《周髀算經(jīng)》作注解寫(xiě)《勾股圓方圖注》時(shí)給出了“趙爽弦圖”，如圖1，連接四條線段得到如圖2的新的圖案．如果圖1中的直角三角形的較長(zhǎng)直角邊為4，斜邊為，那么圖2中陰影部分的面積為．【答案】12．【分析】先利用勾股定理求出直角三角形較短的直角邊的長(zhǎng)，再根據(jù)陰影部分面積等于四個(gè)直角三角形面積加上中間一個(gè)正方形面積求解即可．【解答】解；直角三角形的較長(zhǎng)直角邊為4，斜邊為，較短的直角邊的長(zhǎng)度為，，所以圖2中陰影部分的面積為12，故答案為：12．考點(diǎn)03勾股定理與圖形折疊圖形折疊問(wèn)題，本質(zhì)是軸對(duì)稱問(wèn)題，必然出現(xiàn)三角形全等．在審題和思考時(shí)，一定要重視“折”的過(guò)程，關(guān)注“疊”的表現(xiàn)，找到相等的角和邊進(jìn)行轉(zhuǎn)化．同時(shí)，尋找和構(gòu)造全等直角三角形，尤其是特殊的直角三角形，然后利用勾股定理建立方程來(lái)解題．【典例7】（2025春?合肥期中）如圖，長(zhǎng)方形紙片中，，，將此長(zhǎng)方形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，折痕為，則的面積為A． B． C． D．【分析】設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可求得，的長(zhǎng)，從而不難求得的面積【解答】解：設(shè)，由折疊可知：，在中，，故選：．【典例8】（2024?西安校級(jí)二模）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為12，，將正方形邊沿折疊到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為．【答案】24．【分析】連接，證明得出，設(shè)，則，，勾股定理求得，則，，進(jìn)而勾股定理求得，即可求解．【解答】解：連接，如圖所示，由折疊可知，，，，，，正方形邊長(zhǎng)是12，，設(shè)，則，，由勾股定理得：，即：，解得：，，，，的周長(zhǎng)為，故答案為：24．【典例9】（2023?東莞市校級(jí)二模）有一塊直角三角形紙片，兩直角邊分別為：，，現(xiàn)將直角邊沿直線折疊，使它落在斜邊上，且與重合，求的長(zhǎng)．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，利用勾股定理列式求出，從而求出，設(shè)，表示出，然后在△中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．【解答】解：△與△關(guān)于成軸對(duì)稱，，，，在△中，，，，設(shè)，則，在△中，由勾股定理，得，解得，即．考點(diǎn)04利用勾股定理求立體圖形表面上的最短路徑（1）把立體圖形展開(kāi)為平面圖形，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求解．（2）當(dāng)兩點(diǎn)位于立體圖形內(nèi)外兩側(cè)時(shí)，需用“將軍飲馬”模型對(duì)稱到同側(cè)；若立體圖形有多種展開(kāi)方式，需分別求出距離后作比較．【典例10】（2024秋?大東區(qū)期中）如圖，長(zhǎng)方體的高為，底面是邊長(zhǎng)為的正方形．一只螞蟻從頂點(diǎn)開(kāi)始爬向頂點(diǎn)，那么它爬行的最短路程為A． B． C． D．【答案】【分析】將立體圖形展開(kāi)，有三種不同的展法，連接，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，找出最短的即可．【解答】解：①如圖，將長(zhǎng)方體的正面和上面展開(kāi)在同一平面內(nèi)，，，；②如圖，將長(zhǎng)方體的正面和右面展開(kāi)在同一平面內(nèi)，，，，③將長(zhǎng)方體的正面和左面展開(kāi)在同一平面內(nèi)，同理可得，由于，所以螞蟻爬行的最短路程為．故選：．【典例11】（2023春?乾安縣期末）如圖，有一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別是、、，點(diǎn)和點(diǎn)是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)，有一只壁虎從點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬向點(diǎn)去吃可口的食物；請(qǐng)你想一想，這只壁虎至少需要爬．【答案】130．【分析】首先畫(huà)出到的最短路徑的展開(kāi)圖，然后利用勾股定理求出答案．【解答】解：如圖所示：，，，由勾股定理得：，故答案為：130．【典例12】（2024春?古浪縣期中）如圖，是一個(gè)長(zhǎng)，寬，高的倉(cāng)庫(kù)，在其內(nèi)壁的（長(zhǎng)的四等分點(diǎn)）處有一只壁虎，（寬的三等分點(diǎn)）處有一只蚊子，則壁虎爬到蚊子處的最短距離為多少米．【分析】將點(diǎn)和點(diǎn)所在的面展開(kāi)，則為矩形，連接，分類探討壁虎爬到蚊子處的距離，找到最短距離即可．【解答】解：①將正面和左面展開(kāi)，過(guò)點(diǎn)向底面作垂線，垂足為點(diǎn)，則為直角三角形，，，．故壁虎爬到蚊子處的最短距離為．②將正面和上面展開(kāi)，則到的水平距離為，垂直距離為，此時(shí)的最短距離為③將下面和右面展開(kāi)，則到的水平距離為，垂直距離為，此時(shí)的最短距離為．綜上所述，壁虎爬到蚊子處的最短距離為米．考點(diǎn)05勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用利用勾股定理解應(yīng)用題的關(guān)鍵是尋找直角三角形，若不存在直角三角形，可通過(guò)添加輔助線構(gòu)造出直角三角形．【典例13】（2025春?蒙陰縣期中）如圖所示，一根樹(shù)在離地面5米處斷裂，樹(shù)的頂部落在離底部12米處．樹(shù)折斷之前米．A． B． C． D．【分析】根據(jù)圖形，可以知道兩直角邊的長(zhǎng)度，從而構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出斜邊的長(zhǎng)．【解答】解：，，（米．樹(shù)折斷之前有18米．故選：．【典例14】（2025?羅定市一模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？這道題的意思是：如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是尺．（丈和尺是長(zhǎng)度單位，1丈尺）A．5，6 B．10，11 C．11，12 D．12，13【答案】【分析】，設(shè)尺，則：尺，在△中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【解答】解：水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如圖，設(shè)尺，則尺，由題意，得：（尺，在△中，由勾股定理得：，解得：，，即水深為12尺，蘆葦長(zhǎng)13尺，故選：．【典例15】（2025春?防城區(qū)期中）某校八年級(jí)（1）班的小華和小軒學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得風(fēng)箏的垂直高度，他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)得水平距離的長(zhǎng)為12米；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線的長(zhǎng)為20米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米．（1）求風(fēng)箏的垂直高度；（2）如果小明想風(fēng)箏沿方向下降11米到點(diǎn)，則他應(yīng)該往回收線多少米？【答案】（1）17.6米；（2）7米．【分析】（1）利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再加上的長(zhǎng)度，即可求出的高度；（2）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）在△中，由勾股定理得，，（負(fù)值舍去），（米，答：風(fēng)箏的高度為17.6米；（2）由題意得，米，米，（米，（米，他應(yīng)該往回收線7米．考點(diǎn)06利用勾股定理的逆定理判斷三角形形狀利用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形的一般步驟：①確定三角形的最長(zhǎng)邊；②分別計(jì)算出最長(zhǎng)邊的平方與另兩邊的平方和；③通過(guò)比較來(lái)判斷最長(zhǎng)邊的平方與另兩邊的平方和是否相等；④作出結(jié)論，若相等，則說(shuō)明這個(gè)三角形是直角三角形，否則不是直角三角形．【典例16】（2025春?道里區(qū)校級(jí)期中）由下列線段，，可以組成直角三角形的是A．，， B． C．，， D．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．【解答】解：、，，，不能組成三角形，故不符合題意；、，，，不能組成直角三角形，故不符合題意；、，，，不能組成直角三角形，故不符合題意；、，，，能組成直角三角形，故符合題意；故選：．【典例17】（2025春?香坊區(qū)校級(jí)期中）以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形的是A．1、1、 B．5、12、13 C．5、7、8 D．4、5、6【答案】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．【解答】解：、，，，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；、，，，能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；、，，，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；、，，，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；故選：．【典例18】（2025春?大余縣期中）若，，是△的三邊長(zhǎng)，且，，滿足．（1）求，，的值；（2）△是直角三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1），，；（2）是，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求出，，的值；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）由題意得：，，，，，，；（2）△是直角三角形，，，，故△是直角三角形．考點(diǎn)07勾股數(shù)常見(jiàn)的勾股數(shù)有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15．常見(jiàn)的勾股數(shù)需牢記，平時(shí)在解決問(wèn)題時(shí)常用，有利于打開(kāi)思路．【典例19】（2025春?滑縣期中）下列屬于勾股數(shù)的是A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5 C．1，2，3 D．，2，【答案】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理和勾股數(shù)的概念求解即可．【解答】解：．，3，4，5屬于勾股數(shù)，符合題意；．，但0.3，0.4，0.5不是正整數(shù)，不屬于勾股數(shù)，不符合題意；．，1，2，3不屬于勾股數(shù)，不符合題意；．，，不屬于勾股數(shù)，不符合題意；故選：．【典例20】（2025春?防城區(qū)期中）下列幾組數(shù)是勾股數(shù)的是A．1，2，3 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理和勾股數(shù)的概念求解即可．【解答】解：．，1，2，3不屬于勾股數(shù)，不符合題意；．，5，12，13屬于勾股數(shù)，符合題意；．，但0.3，0.4，0.5不是正整數(shù)，不屬于勾股數(shù)，不符合題意；．，1，，不是正整數(shù)，不屬于勾股數(shù)，不符合題意；故選：．【典例21】（2025春?蜀山區(qū)期中）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是A．1，2，3 B．4，5，6 C．，， D．5，12，13【答案】【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義，三個(gè)正整數(shù)，兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于較大數(shù)的平方，這三個(gè)正整數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)，進(jìn)行判定即可．【解答】解：、，故不是勾股數(shù)，不符合題意；、，故不是勾股數(shù)，不符合題意；、，，不是整數(shù)，故，，不是勾股數(shù)，不符合題意；、，且都是整數(shù)，故是勾股數(shù)，符合題意，故選：．考點(diǎn)08勾股樹(shù)在解決勾股樹(shù)問(wèn)題時(shí)，常常用到“同一直角三角形兩直角邊上的兩個(gè)正方形面積和等于斜邊上的正方形的面積”．【典例22】（2025春?淮北期中）如圖是用三塊正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案．現(xiàn)有五種正方形紙片，面積分別是3，4，5，7，9．選取其中三塊（可重復(fù)選取）按圖的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是A．3，4，5 B．3，4，7 C．4，5，9 D．3，7，9【答案】【分析】設(shè)三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：、、，根據(jù)勾股定理可得，則小的兩個(gè)正方形的面積等于大正方形的面積，再分別進(jìn)行判斷，即可得到面積最大的三角形．【解答】解：設(shè)三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：、、，且使所圍成的三角形是直角三角形，，兩個(gè)較小的正方形面積等于最大的正方形面積；．，不能圍成直角三角形，．，能圍成直角三角形，且該直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，三角形的面積為；．，能圍成直角三角形，且該直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，三角形的面積為；．，不能圍成直角三角形，，面積最大的一組是4，5，9，故選：．【典例23】（2024春?杭錦后旗期中）畢達(dá)哥拉斯樹(shù)也叫“勾股樹(shù)”，是由畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理所畫(huà)出來(lái)的一個(gè)可以無(wú)限重復(fù)的樹(shù)狀圖形，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如圖，若正方形，，，的邊長(zhǎng)分別是2，3，1，2，則正方形的邊長(zhǎng)是A．8 B． C． D．5【答案】【分析】分別設(shè)中間兩個(gè)正方形和最大正方形的邊長(zhǎng)為，，，由勾股定理得出，，即最大正方形的面積為，則可求出答案．【解答】解：設(shè)中間兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為、，最大正方形的邊長(zhǎng)為，則由勾股定理得：；；；即最大正方形的面積為：，最大正方形的邊長(zhǎng)為．故選：．【典例24】（2025?雁江區(qū)一模）如圖①，直角三角形的兩個(gè)銳角分別是和，其三邊上分別有一個(gè)正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個(gè)小正方形向外分別作銳角為和的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長(zhǎng)作正方形．圖②是1次操作后的圖形．圖③是重復(fù)上述步驟若干次后得到的圖形，人們把它稱為“畢達(dá)哥拉斯樹(shù)”．若圖①中的直角三角形斜邊長(zhǎng)為3，則10次操作后圖形中所有正方形的面積和為．【答案】108．【分析】根據(jù)勾股定理易得圖①中所有正方形的面積和為18，那么經(jīng)過(guò)一次操作后增加的4個(gè)小正方形的面積的和為9，那么經(jīng)過(guò)一次操作后所有正方形的面積和，同理可得經(jīng)過(guò)2次操作后增加的8個(gè)小正方形的面積的和也為9，那么經(jīng)過(guò)2次操作后所有正方形的面積和，那么可推斷10次操作后所有正方形的面積和圖1中所有正方形的面積和．【解答】解：把圖②中各個(gè)小正方形標(biāo)上字母，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為．正方形的面積為，正方形的面積為．由題意得：正方形的邊長(zhǎng)為3，并且是直角三角形的斜邊．正方形的面積為9．根據(jù)勾股定理可得：．正方形的面積正方形的面積；圖①中所有正方形的面積和．同理可得：正方形的面積正方形的面積正方形的面積，正方形的面積正方形的面積正方形的面積，正方形的面積正方形的面積正方形的面積正方形的面積正方形的面積正方形的面積．圖2中所有正方形的面積和圖1中所有正方形的面積和．即一次操作后所有正方形的面積和圖1中所有正方形的面積和．同理可得2次操作后增加的8個(gè)小正方形的面積和也是9．次操作后所有正方形的面積和圖1中所有正方形的面積和．次操作后所有正方形的面積和圖1中所有正方形的面積和，故答案為：108．考點(diǎn)09互逆命題與互逆定理互逆命題與互逆定理的關(guān)系：（1）命題有真有假，而定理都是真命題；（2）每個(gè)命題都有逆命題，但不是所有的定理都是逆定理；（3）互逆的兩個(gè)命題不一定同真或同假，互逆的兩個(gè)定理都是真命題．【典例25】（2024春?岫巖縣月考）下列命題